2023-2024学年山西省高一下学期期末数学质量检测试题(含答案)

2023-2024学年山西省高一下册期末数学质量检测试题
一、单选题
1．已知集合{}ln A x y x ==，集合{}sin ,B y y x x A ==∈，则A B = （）
A ．[)1,-∞
B ．(]
0,1C ．()
0,1D ．()
0,∞+【正确答案】B
【分析】先求出集合,A B ，再求两集合的交集【详解】因为{}()ln 0,A x y x ∞===+，所以{}sin ,[1,1]B y y x x A ==∈=-，所以(]0,1A B = ，故选：B
2．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为（）A ．0.06B ．0.36
C ．0.28
D ．0.64
【正确答案】A
【分析】先根据已知条件，利用互斥事件概率公式求出甲、乙未达到优秀的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算.
【详解】∵甲、乙达到优秀的概率分别为0.4，0.9，∴甲、乙未达到优秀的概率分别为1-0.4和1-0.9,
又∵两人考试成绩互不影响，即两人是否达到优秀相互独立，∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为()()10.410.90.06p =-⨯-=故选：A
3．若复数z 满足1i z =-+，则下列说法正确的是（）
A ．z 的虚部为i
B ．z 的共轭复数为1i z =+
C ．z 在复平面内对应的点在第三象限
D ．z =【正确答案】D
【分析】根据复数的虚部概念和几何意义可判断A,C ，根据共轭复数的概率和模长可判断B,D.
【详解】因为1i z =--则z =D 对，B 错，z 的虚部是1，z 对应的点为()1,1-，在第二象
限，故A,C 错误.故选：D
4．数据22，24，32，33，35，28，56，x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是（）
A ．20
B ．25
C ．30
D ．35
【正确答案】D
【分析】根据百分数位概念求解即可.【详解】865% 5.2⨯=，故35x ≥.故选：D
5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，3
A π=，2b =，8c =，则
2sin 2sin sin a b c A B C -+-+值等于（）
A
B
．C
D
【正确答案】C
【分析】先由余弦定理求得a =，再由正弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理得222
12cos 464228522
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，
解得a =设ABC 外
接圆半径为R ，
则22sin 4sin 2sin sin 2sin sin sin 2sin sin a b c R A R B R C A B C A B C
-+-+=-+-
+2sin a R A ===故选：C.
6．设平面向量a ，b 满足12a =
，(b = ，18a b ⋅= ，则b 在a
方向上的投影向量为（
）
A ．18
a
B ．18b
C ．12a
D ．12
b
【正确答案】A
【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．
【详解】解：12a =
，(b = ，18
a b ⋅= ∴ b 在a
方向上的投影向量
18111212
8a b a a a a a ⋅=⋅=⋅⋅=
.
故选：A.
7．正三棱锥P ABC -的底面边长等于球O 的半径，且正三棱锥P ABC -的高等于球O 的直径，则球O 的体积与正三棱锥P ABC -体积的比值为（
）
A
．
32
πB ．
36
πC ．
833
πD ．83π
【正确答案】C
【分析】设球O 的半径，由球的体积公式及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设球O 的半径为r ，球O 的体积为3
143V r π=，正三棱锥P ABC -的底面积
22133224
S r r =⋅=，2h r =，
棱锥的体积为23
21332346
V r r r =⨯⨯=.所以12833V V π=
.故选：C.
8．已知点P 在ABC 的边BC 上，2AP PC CA ===，ABC 的面积为
53
2
，则sin PAB ∠=（）
A ．
33
B ．
34
C ．
5719
D ．
35738
【正确答案】D
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求BC ，BP 的值，作AD BC ⊥交BC 于D ，利用勾股定理求得AB 的值，进而在ABP △中，由正弦定理可求sin PAB ∠的值．【详解】解：∵2AC PC AP ===∴APC △为等边三角形，π2π
π33
APB ∠=-=由1π53
sin 232
ABC S AC BC =
⋅⋅=
，得5BC =，则523BP =-=作AD BC ⊥交BC 于D
在等边APC △中，3AD =，1PD =则314
BD BP PD =+=+=在Rt ABD △中，2231619
AB AD BD =++在ABP △中，由正弦定理得
sin sin AB PB
APB PAB
=
∠∠
∴
3sin
38PAB ∠=.
故选：D.
9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（
）
A ．直线CD 与直线GH 异面
B ．直线CD 与直线EF 共面
C ．直线AB 与直线EF
异面
D ．直线GH 与直线EF 共面
【正确答案】B
【分析】先将正方体复原，再判断异面或共面即可.
【详解】
如图，点C 与点G 重合，故A 错误；
∵CE BD ∥，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∴CD EF ∥，∴CD 与EF 是共面直线，故B 正确；
∵AB EF B ⋂=，∴AB 与EF 相交，故C 错误；
∵EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，∴EF ，GH 是异面直线，故D 错误.故选：B.
10．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是1
3
，从乙盒中摸
出一个红球的概率是1
2，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列结论错误的是（）
A ．小明得6分的概率为
16
B ．小明得分低于6分的概率为
13
C ．小明得分不少于3分的概率为23
D ．小明恰好得3分的概率为1
2【正确答案】B
【分析】首先设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中模出一个红球”为事件2A ，得到()11
3
P A =，()212P A =，再根据独立事件概率公式依次判断选项即可.
【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中模出一个红球”为事件2A ，则()11
3
P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.
对选项A ，小明得6分的概率为111
326
⨯=，故A 正确；
对选项B ，小明得分低于6分的概率为15
166
-
=，故B 错误；对选项C ，小明得分不少于3分的概率为()()
12212
11323
P A P A -=-⨯=，故C 正确；
在D 中，小明恰好得3分的概率为1211
232
132⨯+⨯=，故D 正确.
故选：B
11．下列四个等式中正确的是（
）
A
．tan 205tan 35tan 205tan 35︒︒︒+︒=B ．
2
tan
8
1
1tan
8
ππ
=-C ．2
21cos sin 882
ππ-=D
．
1
4
sin
cos
18
18
π
【正确答案】D
【分析】由诱导公式结合三角函数的和差角公式以及倍角公式依次化简求解即可.【详解】对于A ，∵(
)tan 205tan 35tan 240tan 205351tan 205tan 35︒+︒
︒=︒+︒=
=-︒︒
，
∴tan 205tan 35205tan 35︒+︒+︒︒=，故A 错误；
对于B ，
22tan
2tan
1118
8tan 22421tan 1tan 88
π
π
πππ=⋅==--，故B 错误；
对于C
，22
cos sin cos
8
8
4
2
π
π
π
-==
，故C 错误；对于D
，
2cos cos sin sin cos
1
183********sin cos sin cos sin 1818
181829
ππππππππππ⎛⎫
-- ⎪
⎝
⎭=74cos 4cos 4sin
291894sin sin sin 999
ππππ
πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=
===，故D 正确.故选：D.
12．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，AP DM ⊥，则线段AP 长度的最大值为（）
A
B
．C ．3
D
．【正确答案】C
【分析】分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，先证得MD ⊥平面ABFE ，进而得到P ∈平面ABFE ，当P 与F 重合时，AF 最大，求解即可.
【详解】
分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，连接EA ，EF ，FB ，首先EF 与CD 平行且相等，CD 与AB 平行且相等，因此EF 与AB 平行且相等，
四边形EFBA 是平行四边形，在同一平面内，易得1ADE DD M ≅ ，1EAD MDD ∠=∠，所以
190EAD MDA MDD MDA ∠+∠=∠+∠=︒，
所以MD AE ⊥，又AB ⊥平面11ADD A ，MD ⊂平面11ADD A ，所以AB MD ⊥，又AE AB A =I ，AB ，AE ⊂平面ABFE ，所以MD ⊥平面ABFE .
而MD AP ⊥，则P ∈平面ABFE ，所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点）.四边形ABFE 是矩形，
当P 与F 重合时，AF 3=.故选：C.二、填空题
13．若幂函数()y f x =的图象过点12,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，则该函数的解析式为_____.
【正确答案】2y x -=.
【分析】设()a f x x =，根据函数过点12,4⎛⎫
⎪⎝⎭
代入求出参数即可.
【详解】解：设()a f x x =，其图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则124a
=，所以2a =-，即函数解析式为()2f x x -=.
故答案为.()2
f x x
-=本题考查待定系数法求幂函数解析式，属于基础题.
14．如图，作用于同一点O 的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，已知11F =，2F 1F 与2
F 的夹角为3
π4
，则3F 的大小为______.
【正确答案】1
【分析】根据力的平衡，可得向量的和为0
，由向量的模长即可求解力的大小.
【详解】1F ，2F ，3F 三个力处于平衡状态1130F F F =++ ，即()
312F F F =-+
则3121F F F =+=故1
15．关于函数()sin sin 64f x x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭有下列结论：
①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭；
②曲线()y f x =关于直线12
x π
=-
对称；
③()f x 在区间,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；
④0,2πα⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()()3f x a f x α+=+恒成立.
其中正确的是______（填写正确的序号）.【正确答案】②③
【分析】对①，根据()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可判断①错误，对②，根据sin 21123ππ⎡⎤
⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
即
可判断②正确，对③，根据正弦型函数的单调性即可判断③正确，对④，根据正弦型函数的周期性即可判断④错误.
【详解】()211cos sin sin sin 224f x x x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭
1cos 211
sin 2sin 2
4442
3x x x π-⎛
⎫=+-- ⎪⎝
⎭，
对①，()11sin 2cos 2cos 223266f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
-=-+≠-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，故①错误.对②，sin 2sin 11232πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故②正确；
对③，当,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，有20,33x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，
因为0,,322πππ⎡⎤⎡⎤
⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，故③正确；
()f x 的最小正周期22
T π
π=
=，若0,2πα⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()()3f x f x αα+=+恒成立，
说明2α是()f x 的一个周期，而()20,απ∈，与“()f x 最小正周期为π”矛盾，故④不正确.故②③
16．如图所示，边长为a 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将ADE ，EBF ，
FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点
在同一个球面上，且该球的表面积为6π，则=a ______.
【正确答案】2
【分析】先由A E A D ''⊥，A D '⊥平面A EF '将三棱锥补成正四棱柱，由正四棱柱的对角线的长度是外接球的直径解出a 即可.
【详解】
由题意可知A EF '△是等腰直角三角形，且90EA F '∠=︒，又易知A E A D ''⊥，A F A D ''⊥，A E A F A '''⋂=，A E '，A F '⊂平面A EF '，
所以A D '⊥平面A EF '，将三棱锥的底面A EF '扩展为边长为2
a
的正方形，然后扩展为底面边长为2
a
，高为a 的正四棱柱.则三棱锥A EFD '-的外接球与正四棱柱的外接球相同，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，
2，所以外接球的半径为4R a =，故球的表面积为2
22
344642S R a a ππππ⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭
，所以2a =.故2.三、解答题
17．已知函数()()222x
f x m m m =--⋅是指数函数.
(1)求实数m 的值；(2)解不等式()()2
2
21m
m x x +<-【正确答案】(1)3m =(2)12,2⎡
⎫--⎪
⎢⎣
⎭
【分析】（1）由题意可得2221,0,1,m m m m ⎧--=⎪
>⎨⎪≠⎩
从而可求出实数m 的值；（2）由（1）可得()
()332
2
21x x +<-，再由幂函数32
y x =的单调性可得201021x x x x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪+<-⎩
，解不等式组
可得答案
【详解】(1)由题可知222101m m m m ⎧--=⎪
>⎨⎪≠⎩
解得3
m =(2)由（1）得()()33
2221x x +<-∵3
2y x =在[)0,∞+上单调递增，
∴20
1021x x x x
+≥⎧⎪
-≥⎨⎪+<-⎩
，解得122x -<-，
故原不等式的解集为12,2⎡
⎫--⎪
⎢⎣
⎭18．为减少水资源的浪费，某市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：组号
分组
频数
频率
频率
组距
1[)0,1012400.31
0.0312[)
10,20m
n
0.0463[)
20,307760.1940.0194
4[)30,40720.018p
5
[)
40,5048
0.012
0.0012
6
[)
50,60q
0.0060.0006
(1)求m ，n ，p ，q 的值；
(2)求所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
(3)若在第4，5，6组用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率.【正确答案】(1)1840m =，0.46n =，0.0018p =，24q =；(2)0.036；(3)13
【分析】（1）直接由频率分布表计算即可求解；（2）直接由第4，5，6组频率求和即可；
（3）先由分层抽样求出各组抽取回访调查的人数，再列出所有的基本事件，找出2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的基本事件，由古典概型求解即可.
【详解】(1)由题意可得()40000.046101840m =⨯⨯=，
0.046100.46n =⨯=，0.018100.0018p =÷=，40000.00624q =⨯=；
(2)所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.0180.0120.0060.036++=；
(3)用分层抽样的方法在第4、5，6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户为a ，b ，c ，d ，e ，f （其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f ），
在这6户中任选2户进行采访，共有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ，
()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 15个基本事件，
其中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的基本事件有()()()()(),,,,,,,,,a f b f c f d f e f 5个，所以“月均用水量不低于50吨”的概率
51
153
=.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且12
DF AB =
(1)证明：EF ∥平面PAD ；
(2)若AB ⊥平面PAD ，PD AD =，PH AD ⊥，且PH AD H ⋂=.记直线PB 与平面ABCD 所成角为
α，直线PB 与平面PAD 所成角为β，比较cos α与sin β的大小，并说明理由.
【正确答案】(1)证明见解析(2)sin cos βα<，证明见解析
【分析】（1）取PA 中点M ，先证得四边形EFDM 为平行四边形，进而证得EF DM ∥，即可证得EF ∥平面PAD ；
（2）先证得PH ⊥平面ABCD ，即可得cos cos BH PBH PB α∠==，再由sin cos AB
PBA PB
β∠==，比较,AB BH 的大小即可求解.
【详解】(1)
取PA 中点M ，连接DM ，EM ，∵E 是PB 的中点，∴EM AB ，且1
2
EM AB =
，又AB CD ∥，1
2
DF AB =
，∴EM DF ∥，且EM DF =，∴四边形EFDM 为平行四边形，∴EF DM ∥，又DM ⊂平面PAD ，
EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ；
(2)
连接BH ，∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ，∴PH AB ⊥，又PH AD ⊥，AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊂平面ABCD ，
∴PH ⊥平面ABCD ，即PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴cos cos BH
PBH PB
α∠==
，∵AB ⊥平面PAD ，即BPA ∠为直线PB 与平面PAD 所成角，又PA ⊂平面PAD ，∴PA AB ⊥，即sin cos AB
PBA PB
β∠==
，∵在PDA 中PD AD =，∴H 与A 不重合，又∵在Rt ABH △中AB BH <，∴sin cos βα<.20．已知复数1i z a b =+，a ∈R ，b ∈R ，0b ≠，211
4
z z z =+，221z -<(1)求实数a 的取值范围；(2)若1122
z z ω-=
+，求2
2|z ω-|的最小值.【正确答案】(1)11,2⎛⎤
- ⎥
⎝
⎦
(2)5
-【分析】（1）先化简出2122221444i a b z z a b z a b a b ⎛⎫⎛⎫
=+
=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，根据2z 是实数，即可求出224a b +=，进而可求a 的范围.（2）根据见复数的除法运算，化简得i
2b a
ω=
+，进而得()224
2252z a a
ω-=
++-+，根据基本不等式即可求解.【详解】(1)2122221444i a b z z a b z a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
∵221z -<∴2z 是实数，∴22
4b
b a b =+，
即224a b +=∴22z a =∵221z -<，∴221a -<，即112a
-<，1z 的实部的取值范围为11,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦；
(2)()2212
2122i 44i 4i i
22i 8422z a b a b b b b z a b a a
a b ω--+-++=====+++++++，()
2
22
22
i 2222b b z a a a a ω-⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭+∵224a b +=∴()
()2
2
22
424
22225222a a z a a a a a
a ω---=+
=+
=++-+++∵11,2a ⎛
⎤∈- ⎥⎝⎦，∴20
a +>∴当()4222a a
=++时，即22a =-+时，2
2z ω-取到最小值425-,由于4250->，故22z ω-的最小值为425
-21．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，
BAD θ∠=，,2πθπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
(1)当5
cos 5
θ=时，求AC ；(2)当四边形ABCD 的面积取最大值时，求BD .【正确答案】37(2)26
BD =【分析】（1）先由余弦定理求得BD ，再由正弦定理求得sin ADB ∠，结合诱导公式求得cos ADC ∠，最后由余弦定理即可求解；
（2）结合（1）得2145BD θ=-，由ABCD ABD BCD S S S =+△△结合面积公式表示出四边形ABCD 的面积，再借助辅助角公式及正弦函数的性质求解即可.【详解】(1)在ABD △中，3AB =，5AD =5
cos 5
θ=，由余弦定理得
2222cos 14cos 14620BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-=+=，
所以BD =因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=
sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠3
sin 5
ADB ∠=
，
解得3sin 5
ADB ∠=，因为BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以2
CDB π
∠=且
CD BD ==，
所以3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛
⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，在ACD △中，由余弦定理得
AC =
(2)由（1）得214BD θ=-，
2
113sin 7sin cos
22ABCD ABD BCD S S S BD θθθ=+=⨯⨯+⨯==
△△
)()157sin 2cos 7sin 2θθθϕ=-=+-，此时sin 5ϕ=，cos 5
ϕ=，且0,
2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，当2πθϕ-=
时，四边形ABCD 的面积最大，
即2π
θϕ=+
，此时sin θ=，cos 5
θ=-，所以2
1414265BD θ⎛=-=--= ⎝⎭
，
即BD =22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ACB ∠=∠=︒，
12C C AC BC ==，D 是BC 的中点.
(1)证明：平面11A B D ⊥平面11BB C C ；
(2)若2BC =，分别求过1A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积.
【正确答案】(1)证明见解析；(2)5和7
【分析】（1）取AC 的中点H ，由1A H AC ⊥证得1A H ⊥平面ABC ，进而证得1A H BC ⊥，结合BC HD ⊥，即可证得BC ⊥平面11A HDB ，即可证得平面11A B D ⊥平面11BB C C ；
（2）先判断出111HDC A B C -是三棱台，结合棱台体积公式求得三棱台111HDC A B C -的体积，再由三棱柱111ABC A B C -的体积减去三棱台111HDC A B C -的体积即可求得剩下部分的体积，即可求解.
【详解】(1)
在三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点H ，连接1A H ，HD ，1AC .因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以HD AB ∥，所以11HD A B ∥，
所以平面11A HDB 即为平面11A B D ，因为160A AC ∠=︒，1AA AC =，所以1A AC 为正三角形，所以
1A H AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，
平面11ACC A 平面ABC AC =，1A H ⊂平面11ACC A ，所以1A H ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1A H BC ⊥.
在ABC 中，2AC BC =，60ACB ∠=︒，由余弦定理可得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，
即AB =，所以222AC AB BC =+，
即AB BC ⊥，因为HD AB ∥，所以BC HD ⊥，因为1A H HD H ⋂=，1A H ⊂平面11A HDB ，HD ⊂平面11A HDB ，
所以BC ⊥平面11A HDB ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以平面11A HDB ⊥平11BB C C ，即平面11A B D ⊥平面11BB C C ；
(2)因为2BC =，所以14AC AA ==，因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，且11HD A B ∥，
111
2
HD A B =
，所以111HDC A B C -是三棱台.
因为ABC 中，AB BC ⊥，
AB =2BC =，所以11
222
ABC S AB BC =
⋅=⨯=△，所以
111A B C S =△，
1
42
HDC ABC S S ==
△△，又1A H ⊥平面ABC ，且1A H =111HDC A B C -的体积(
111111
3
HDC A B C V A H S S =
++△△
1
1
7
3
23⎛⎫ ⎪=⨯⨯+=⨯= ⎪⎝⎭
，
所以剩余几何体的体积11111121
2752
ABC A B C HDC A B C V V V --=-=
⨯⨯⨯-=，所以过A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7.。