分形理论（fractal

分形理论（fractal theory）
分形理论是当今世界⼗分风靡和活跃的新理论、新学科。

分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)⾸先提出的。

1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论⽂。

海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种⼏乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是⾃相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。

在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公⾥长的海岸线与放⼤了的10公⾥长海岸线的两张照⽚,看上去会⼗分相似。

事实上,具有⾃相似性的形态⼴泛存在于⾃然界中,如:连绵的⼭川、飘浮的云朵、岩⽯的断裂⼝、布朗粒⼦运动的轨迹、树冠、花菜、⼤脑⽪层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种⽅式相似的形体称为分形(fractal)。

1975年,他创⽴了分形⼏何学(fractalgeometry)。

在此基础上,形成了研究分形性质及其应⽤的科学,称为分形理论(fractaltheory)。

⼤⾃然的⼏何学的分形（Fractal）理论是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。

它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在⼀定条件下。

过程中，在某⼀⽅⾯（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。

⾃相似原则和迭代⽣成原则是分形理论的重要原则。

它表征分形在通常的⼏何变换下具有不变性,即标度⽆关性。

由⾃相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。

分形形体中的⾃相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。

标准的⾃相似分形是数学上的抽象,迭代⽣成⽆限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。

这种有规分形只是少数,绝⼤部分分形是统计意义上的⽆规分形。

分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的⼜⼀重要原则。

分维,⼜称分形维或分数维,通常⽤分数或带⼩数点的数表⽰。

长期以来⼈们习惯于将点定义为零维,直线为⼀维,平⾯为⼆维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引⼊时间维,就形成四维时空。

对某⼀问题给予多⽅⾯的考虑,可建⽴⾼维空间,但都是整数维。

在数学上,把欧⽒空间的⼏何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。

然⽽,这种传统的维数观受到了挑战。

曼德布罗特曾描述过⼀个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作⼀点(零维);从较近的距离观察,它充满了⼀个球形空间(三维);再近⼀些,就看到了绳⼦(⼀维);再向微观深⼊,绳⼦⼜变成了三维的柱,三维的柱⼜可分解成⼀维的纤维。

那么,介于这些观察点之间的中间状态⼜如何呢?显然,并没有绳球从三维对象变成⼀维对象的确切界限。

数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。

记作Df,⼀般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独⽴⽅向皆扩⼤的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。

显然,Df在⼀般情况下是⼀个分数。

因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数⼤于或等于拓扑维数的集合。

英国的海岸线为什么测不准?因为欧⽒⼀维测度与海岸线的维数不⼀致。

根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。

有了分维,海岸线的长度就确定了。

分形理论既是⾮线性科学的前沿和重要分⽀,⼜是⼀门新兴的横断学科。

作为⼀种⽅法论和认识论,其启⽰是多⽅⾯的:⼀是分形整体与局部形态的相似,启发⼈们通过认识部分来认识整体,从有限中认识⽆限;⼆是分形揭⽰了介于整体与部分、有序与⽆序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从⼀特定层⾯揭⽰了世界普遍联系和统⼀的图景。