人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数单元测试卷含答案解析

第二十二章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A ． y =2x +1
B ． y =(x −2)2−x 2
C ． y =2
x 2 D ． y =2x(x +1) 2．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的对称轴是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣3
3．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ． y=（x +2）2﹣5 B ． y=（x +2）2+5 C ． y=（x ﹣2）2﹣5 D ． y=（x ﹣2）2+5 4．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
5．已知二次函数y =ax 2−bx −2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）
A ． 3
4或1 B ． 1
4或1 C ． 3
4或1
2 D ． 1
4或3
4 6．下列具有二次函数关系的是( )
A ． 正方形的周长y 与边长x
B ． 速度一定时，路程s 与时间t
C ． 三角形的高一定时，面积y 与底边长x
D ． 正方形的面积y 与边长x
7．给出下列四个函数：y=，2x，y=2x，1，y=3
x ，x，0，，y=，x 2+3，x，0），其中y 随x 的增大而减小
的函数有（ ）
A ． 3个
B ． 2个
C ． 1个
D ． 0个
8．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表： x … ，1 0 1 2 2.5 3 4 … y 1 … 0 m 1 ，8 n 1 ，8.75 ，8 ，5 … y 2
…
5
m 2
，11
n 2
，12.5
，11
，5
…
则关于它们图象的结论正确的是（）
A．图象C1，C2均开口向下
B．图象C1的顶点坐标为（2.5，，8.75，
C．当x，4时，y1，y2
D．图象C1，C2必经过定点（0，，5，
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc ＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）
A．B．C．D．
11．如图，抛物线y=−2
3x2+10
3
x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出
发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()
A．√61B．8C．7D．9
12．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）
A．153B．218C．100D．216
二、填空题
13．二次函数y，kx2，x，2经过点(1，5)，则k，_________.
14．若函数y，(m，3)x m2＋2m－13是二次函数，则m，______.
15．若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______，
16．已知抛物线y=ax2+bx+c，a，0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m，，，3，n）在抛物线上，则m_____n（填“，”，“=”或“，”，，
17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．
三、解答题
18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．
（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；
（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）
19．二次函数y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，
，1）求该二次函数的对称轴；
，2）过动点C，0，n）作直线l，y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；
，3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m，
20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
，1，求y与x之间的函数关系式；
，2，设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；
，3，不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．
（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．
22．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．
【详解】
A选项：一次函数，错误；
B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；
C选项：不是整式，错误；
D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．
故选：D．
【点睛】
考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数. 2．A
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．
【详解】
∵y，2，x−1，2，3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x，1，
故选：A，
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y，a，x−h，2，k中，对称轴为x，h，顶点坐标为（h，k，，
3．A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x=﹣b
＜1，
2a
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
5．A
【解析】
【分析】
首先根据题意确定a，b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a，b为整数确定a，b的值，从而确定答案．
【详解】
，0，a+b，2=0，
依题意知a，0，b
2a
故b，0，且b=2，a，
a，b=a，，2，a，=2a，2，
于是0，a，2，
∴，2，2a，2，2，
又a，b为整数，
∴2a，2=，1，0，1， 故a=1
2
，1，3
2
，
b=32
，1，1
2
，
∴ab=3
4或1，故选A， 【点睛】
根据开口和对称轴可以得到b 的范围。

按照左同右异规则。

当对称轴在y 轴的左侧，则a,b 符号相同，在右侧则a,b 符号相反。

6．D 【解析】 【分析】
根据题意，列出函数解析式就可以判定． 【详解】
A 、y=4x ，是一次函数，错误；
B 、s=vt ，v 一定，是一次函数，错误；
C 、y=1
2hx ，h 一定，是一次函数，错误 D 、y=x 2，是二次函数，正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查二次函数的定义． 7．A 【解析】 【详解】
，y=，2x ，正比例函数，k，0，故y 随着x 增大而减小，故正确， ，y=2x，1，一次函数，k，0，故y 随着x 的增大而增大，故错误，
，y=3x ，x，0）反比例函数，k，0，在第一象限内，y 随x 的增大而减小，故正确， ，y=，x 2+3，x，0），二次函数，k，0，故在第四象限内y 随x 的增大而减小，故正确， 故符合题意的有3个. 故选A. 【点睛】
本题考查正比例函数，一次函数，反函数和二次函数的性质，熟练掌握各个函数的增减性是解此题的关键.
8．D
【解析】
【分析】
观察表格可知，x=1与x=3时，y1=-8，y2=-11，那么二次函数C1，C2的对称轴都是直线x=2，得出选项B错误；根据x＜2时，y1、y2都是随着x的增大而减小；当x＞2时，y1、y2都是随着x的增大而增大，得出图象C1，C2均开口向上，那么选项A错误；根据增加相同的x，y1增加的数小于y2增加的数，得出当x＞4时，y2＞y1，选项C错误；根据对称轴都是直线x=2，且都过点（4，-5），得出图象C1、C2必经过定点（0，-5），得出选项D正确．
【详解】
∵x=1与x=3时，y1=-8，y2=-11，
∴二次函数C1，C2的对称轴都是直线x=2，故选项B错误；
∵当x＜2时，y1、y2都是随着x的增大而减小；当x＞2时，y1、y2都是随着x的增大而增大，
∴图象C1，C2均开口向上，故选项A错误；
∵x=3时，y1=-8，y2=-11，x=4时，y1=y2=-5，
∴增加相同的x，y1增加的数小于y2增加的数，
∴当x＞4时，y2＞y1，故选项C错误；
∵二次函数C1，C2的对称轴都是直线x=2，且都过点（4，-5），
∴图象C1、C2必经过定点（0，-5），故选项D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，观察表格从中获取有用信息是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
a，0，
=1，0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b
2a
∴b，0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c，0，
∴abc，0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac，0，故②正确；
∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0，，
∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0，，
∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故③正确；
∵B，x2+1，y1，，C，x2+2，y2）在对称轴右侧，x2+1，x2+2，
∴y1，y2，故④错误；
故选A，
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．
【详解】
抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴右侧，则a，b互为相反数，则b＞0，故一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，正确得出a，b的符号是解题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解.可做C点关于直线x=5
2
的对称点C′，做D点关于x 轴的对称点D′，连接C′D′.那么E，F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可．【详解】
作C点关于直线x=5
2
的对称点C′，做D点关于x轴的对称点D′，连接C′D′，
则E，F就是直线C′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时即为点P运动的最短路径长，
则有C′(5,4)，D′(0,−2)，
故点P运动的最短路径长，
故选：A，
【点睛】
此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出C′，D′点的坐标是解题关键．
12．C
【解析】
【分析】
根据函数图象中的数据可以求得二次函数的解析式，从而可以得到x与y的关系，再根据题意即可得到关于x的方程，从而可以求得x的值，本题得以解决．
【详解】
解：设函数解析式为y=ax2+bx+c，
则{c=153
400a+20b+c=33 900a+30b+c=3
，
解得{a=0.1
b=−8
c=153
，
∴y=0.1x2-8x+153，
∵C型小正方形白色块数与黑色块数之和是：25×25-7×7×3-5×5=453，
∴x+（0.1x2-8x+153）=453，
解得，x1=100，x2=-30（舍去），
∴y=0.1×1002-8×100+153=353，
即C型小正方形黑色块数为100．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
13．8
【解析】分析：把（1，5）代入y=kx2-x-2中，即可得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可求得k的值．
详解：∵二次函数y=kx2-x-2经过点（1，5），
∴5=k-1-2，解得k=8；
故答案为8．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式．
14．，5
【解析】
【详解】
，函数y，(m，3)x m2+2m−13是二次函数，
，m2+2m−13=2 ，且m-3≠0，
解得m=，5.
故答案为﹣5.
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解此题的关键在于根据二次函数的定义得到自变量的指数为2，且系数不为0.
15．m>9
【解析】
【详解】
∵抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，
∴△=b2−4ac<0，
∴(−6)2−4×1⋅m<0，
解得m>9，
∴m的取值范围是m>9，
故答案为：m>9，
16．，
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和二次函数的图象具有对称性可以判断m、n的大小，从而可以解答本题．【详解】
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为（2，4），
∴该抛物线的开口向上，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，2﹣（﹣2）=4，3＜4，
∴m＞n，
故答案是：＞．
【点睛】
考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．225
2
【解析】
【分析】
设矩形的长为xm，则宽为30−x
2
m，根据矩形的面积公式得出函数解析式，继而将其配方成顶点式，由x的取值范围结合函数性质可得最值．
【详解】
设矩形的长为xm，则宽为30−x
2
m，
菜园的面积S=x•30−x
2=-1
2
x2+15x=-1
2
，x-15，2+225
2
，，0，x≤20，.
∵当x，15时，S随x的增大而增大，
∴当x=15时，S最大值=225
2
m2，
故答案为：225
2
，
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范
围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．
18．(1)（﹣1，﹣2）；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）把h=-1代入y=x2-2hx+h，化为顶点式，即可求出点D的坐标；
（2）先根据二次函数的性质得出x=h时，函数有最小值h-h2．再分h≤-1，-1＜h＜1，h≥1三种情况求解即可．
【详解】
（1）当h=-1时，y=x2+2x-1=（x+1）2-2，
则顶点D的坐标为（-1，-2）；
（2）∵y=x2-2hx+h=（x-h）2+h-h2，
∴x=h时，函数有最小值h-h2．
①如果h≤-1，那么x=-1时，函数有最小值，此时m=（-1）2-2h×（-1）+h=1+3h；
②如果-1＜h＜1，那么x=h时，函数有最小值，此时m=h-h2；
③如果h≥1，那么x=1时，函数有最小值，此时m=12-2h×1+h=1-h．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法．进行分类讨论是解题的关键．
19．，1）对称轴方程为x=1，，2，n=，2m+2，，3）整数m的值为﹣2，
【解析】
【分析】
（1）根据x=−b
2a
求解即可；
，2）由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；
（3）由开口向下及函数值都不不大于6可得{m+1<0
−2m+2≤6，解之即可．【详解】
，1，，y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，
，对称轴方程为x=，=1，
，2，，y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3=，m+1，，x，1，2，2m+2，
由题意知直线l的解析式为y=n，
，直线l与抛物线只有一个公共点，
，n=，2m+2，
，3）抛物线y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3的顶点坐标是（1，，2m+2，，
依题可得{m+1<0
−2m+2≤6，
解得﹣2≤m，，1，
，整数m的值为﹣2，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像与性质，一般式和顶点式的转化，根据题意画出函数的图象，由题意得出对应方程或不等式组是解题的关键．
20．（1）y=−2x+160；（2）w=−2x2+200x−3200，，3，当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”即可得w 与x之间的函数关系式；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答．
【详解】
（1）∵y与x满足一次函数关系.
∴设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将(30,100)，(40,80)代入y=kx+b中，得
{100=30k+b.
80=40k+b.解得{k=−2.
b=160.
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+160.
（2）由题意，得w=y(x−20)=(−2x+160)(x−20)=−2x2+200x−3200.
∴w与x之间的函数表达式为w=−2x2+200x−3200.
（3）w=−2x2+200x−3200=−2(x−50)2+1800.
∵−2<0，∴抛物线开口向下.
由题可知：20≤x≤60，
∴当x=50时，w有最大值，w
最大
=1800元.
答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．21．（1）证明见解析；（2）k=±1．
【解析】
【分析】
，1）根据根的判别式可得结论；
，2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，可得k=±1，
【详解】
(1)证明：△=(k+1)2−4k×1=(k−1)２≥0
∴无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
(2)当y=0时,kx2+(k+1)x+1=0，
x=−k−1±√(k−1)2
，
2k
,
x=−k−1±(k−1)
2k
,x2=−1，
x1=−1
k
∵该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，
∴k=±1.
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点，掌握公式法在解题中的应用.
22．(1)y=x2+2x+1；(2) y=2x+2．
【解析】
【分析】
（1）利用△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a2−4a=0，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；
，2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．
【详解】
(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴△=4a2−4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x+1，
(2)∵y=(x+1)2，
∴顶点A的坐标为(−1, 0)，
∵点C 是线段AB 的中点，
即点A 与点B 关于C 点对称，
∴B 点的横坐标为1，
当x =1时，y =x 2+2x +1=1+2+1=4，则B(1, 4)，
设直线AB 的解析式为y =kx +b ，
把A(−1, 0)，B(1, 4)代入得{−k +b =0k +b =4 ，解得{k =2b =2
， ∴直线AB 的解析式为y =2x +2，
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y =ax 2+2ax +1，a，b，c 是常数，a≠0，，△=b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=b 2﹣4ac ，0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ，0时，抛物线与x 轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．
23．（1）（﹣1，0）；（2）12（3）（2，6）、（1+√7，﹣6）、（1﹣√7，﹣6）
【解析】
【分析】
，1）先把点A 坐标代入解析式，求出m 的值，进而求出点B 的坐标；
，2）根据二次函数的解析式求出点C 的坐标，进而求出△ABC 的面积；
，3）根据S △ABD，S △ABC 求出点D 纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点D 的坐标．
【详解】
，1，∵函数过A，3，0，，
∴，18+12+m=0，
∴m=6，
∴该函数解析式为：y=，2x 2+4x+6，
∴当﹣2x 2+4x+6=0时，x 1=，1，x 2=3，
∴点B 的坐标为（﹣1，0，，
，2）当x=0时，y=6，
则C 点坐标为（0，6，，
∴S △ABC =4×62=12，
，3，∵S △ABD =S △ABC =12，
∴S △ABD =4×|ℎ|2=12，
∴|h|=6，
①当h=6时：﹣2x2+4x+6=6，
解得：x1=0，x2=2
∴D点坐标为（0，6）或（2，6，，
②当h=，6时：﹣2x2+4x+6=，6，
解得：x1=1+√7，x2=1，√7
∴D点坐标为（1+√7，，6，，，1，√7，，6，，
∴D点坐标为（2，6，，，1+√7，，6，，，1，√7，，6，，
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答（3，问需要分类讨论，此题难度一般．。