春学期中考数学复习 人教版 第26讲《解直角三角形及应用》ppt课件

解：如图，根据题意，知∠CAD＝45° ，∠CBD＝ 54° ，AB＝112 m. ∵在 Rt△ACD 中，∠ACD＝∠CAD＝45° ， ∴AD＝CD. 又∵AD＝AB＋BD， ∴BD＝AD－AB＝CD－112.
BD ∵在 Rt△BCD 中，tan∠BCD＝ ，∠BCD＝90° CD －∠CBD＝36° . ∴CD· tan 36° ＝BD＝CD－112， 112 112 ∴CD＝ ≈ ≈415(m)． 1－tan 36° 1－0.73 答：天塔的高度 CD 约为 415 m.
4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标 方向线所成的角叫做方位角．
考点一
解直角三角形
例 1(2013· 上海)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC 3 ＝8, tan C＝ ，如果将△ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落 2 在边 AC 的中点处， 直线 l 与边 BC 交于点 D， 那么 BD 的长为________．
第26讲
解直角三角形及应用
考点一 解直角三角形
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形 (直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素即 3 条边和 2 个锐角)．
2．直角三角形的边角关系 在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A，∠B，∠C 的 对边分别为 a，b，c. (1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2 ； (2)两个锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90° ；
(3)边角之间的关系： a b a sin A＝c ，cos A＝c ，tan A＝b， b a b sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ . c c a
温馨提示 1. 互余两角的三角函数值之间的关系：若 ∠A ＋ ∠B＝90° ，那么 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A. 2.同角的三角函数值之间的关系： sin A＋cos A＝ sin A 1；tan A＝ cos A
【点拨】 作出△ABC 斜边上的高， 将三角形转化为 两个含有特殊角的直角三角形．
解：如图，过点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，
∴∠ ADC＝∠BDC＝ 90° . ∵∠ B＝45° ， ∴∠ BCD＝∠B＝45° ，∴CD＝BD.
∵∠A＝30° ，AC＝2 3， ∴CD＝AC· sin 30° ＝ 3，AD＝AC· cos 30° ＝3. ∴BD＝CD＝ 3.∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3. 温馨提示 当三角形不是直角三角形时， 可以通过作高构造直 角三角形求解.
2 2 2
15 ＝ . 4 15 【答案】 4
方法总结
解直角三角形时， 结合图形， 根据题目的已知条件， 尽可能使用题目中给出的原始数据， 一般常把锐角三角 函数与勾股定理结合使用.
考点二
解斜三角形
例 2 (2012· 安徽)如图，在△ABC 中，∠A＝30° ， ∠B＝45° ，AC＝2 3，求 AB 的长．
2 2
3．解直角三角形的类型 已知条件 两直角边 (如 a，b) 解 法
a 由 tan A＝b， 求∠A； ∠B ＝90° －∠A； c＝ a2＋b2 a 由 sin A＝ ， 求∠A； ∠B c ＝90° －∠A； b＝ c2－a2
斜边、一直 角边(如 c，a)
已知条件 一锐角与邻 边(如∠A，b) 一锐角与对 边(如∠A，a)
解
法
∠B＝90° －∠A； b a＝b· tan A；c＝ cos A ∠B＝90° －∠A； பைடு நூலகம் a b＝ ；c＝ tan A sin A
已知条件 斜边与一锐 角(如 c，∠A)
解
法
∠B＝90° －∠A；a＝ c· sin A；b＝c· cos A
温馨提示 解直角三角形的思路可概括为 “有斜 斜边用弦 正弦、余弦 ，无斜用切正切 ，宁乘勿除，取原 避中 ”.
【点拨】首先规范的绘制出图形，如图，取 AC 的 中点为点 B′， 作线段 BB′的垂直平分线， 那么该直线为 直线 l，并且 DB＝DB′.作 BC 边的垂线 AE，B′H，易 知 EC＝4，AE＝BH＝6，
并且 B′H 为△AEC 的中位线，B′H＝3，CH＝2.设 BD ＝x，则 DH＝6－x.在 Rt△B′DH 中，∠B′HD＝90° ， 15 由勾股定理，可得(6－x) ＋3 ＝x ，解得 x＝ ，即 BD 4
3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所 成的小于 90° 的水平角，叫做方向角．如图③，表示北 偏东 60° 方向的一个角． 注意：东北方向指北偏东 45° 方向， 东南方向指南偏东 45° 方向，西北 方向指北偏西 45° 方向，西南方向指南偏西 45° 方向．我们一般画图的方位为上北 下南，左西右东．
考点三 锐角三角函数的应用 例 3 (2013· 天 津 ) 天塔是天 津市的标 志性建筑 之 一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，
如图，他们在点 A 处测得天塔的最高点 C 的仰角 为 45° ，再往天塔方向前进至点 B 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 54° ，AB＝112 m．根据这个兴趣小组测得 的数据，计算天塔的高度 CD.(tan 36° ≈0.73，结果保留 整数) 【点拨】本题考查锐角三角函数的应用，仰角、俯 角问题，是常见的类型．
方法总结 仰角、俯角问题是常见的实际问题，一般题目中会 出现两个不同的仰角、俯角或一个仰角、一个俯角 .解 决此类问题时，一般是先设出未知数，用同一个未知数 表示问题中不同的未知量， 然后根据问题中的数量关系 列出方程求解 .
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝6， 2 cos B＝ ，则 BC 的长为( A 3 A．4 18 13 C. 13 B．2 5 12 13 D. 13 )
考点二
解直角三角形的应用
1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平 线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水 平线下方的角叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和 水平距离 l 的比叫做坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝ h ，坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角． l