四川省绵阳2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题含解析

绵阳2021级高三上期一诊模拟（三）
数学（理科）试题（答案在最后）
时间：120分钟，满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1.集合{}
2|60A x x x =--<，集合
{}
2|lo 1g B x x =<，则A B ⋃=
A.
()2,3- B.
(),3-∞ C.
()2,2- D.
()
0,2【答案】A 【解析】
【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.
【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B ⋃=()2,3-,
故选:A.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.
复数z =）
A.1
B.－1
C.i
D.－i
【答案】B 【解析】
【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.
【详解】()
()()
21i 1i 1i 1i z -==
=-+-，∴虚部为－1．
故选：B
3.以下说法正确的有（
）
A.“24-<<x ”是“22150x x --<”的必要不充分条件
B.命题“01x ∃>，0ln(1)0x -≥”的否定是“1x ∀≤，ln(1)0x -<”
C.“2b ac =”是“,,a b c ”成等比数列的充分必要条件
D.设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】D 【解析】
【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.
【详解】A 选项，()()2
215530x x x x --=-+<，解得35x -<<，
所以“24-<<x ”是“22150x x --<”的充分不必要条件，A 选项错误.B 选项，因为由0ln(1)0x -≥，得011x -≥，即02x ≥，
所以命题“01x ∃>，0ln(1)0x -≥”的否定是“1x ∀>，2x <”，B 选项错误.
C 选项，当0a b c ===时，有2b ac =，但此时“,,a b c ”不是等比数列；当“,,a b c ”成等比数列时，有b c
a b
=，即2b ac =，
所以“2b ac =”是“,,a b c ”成等比数列的必要不充分条件，C 选项错误.D 选项，当0,0a b ≠=时，有0ab =；当0ab ≠时，有0,0a b ≠≠；所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，所以D 选项正确.故选：D.
4.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（
）（cos10°≈0.985）
A.45.25m
B.50.76m
C.56.74m
D.58.60m
【答案】B 【解析】
【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；
【详解】
设球的半径为R ，
,tan10R
AB AC ==
，
100tan10R BC =-=
，25250.760.985
R R =
=故选:B.5.已知2sin 63πθ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则sin 26πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（）
A.1
9-
B.
19
C.9
-
D.
9
【答案】A 【解析】【分析】由22()266πππθθ+-=+，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin(22sin ()166
ππ
θθ-=+-，即可求值.
【详解】由题意有：
22()266
πππ
θθ+-=+，∴2
cos(2sin(2cos 2()12sin ()26666πππππθθθθ+-=--=+=-+，又2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，
∴1sin 269
πθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭.故选：A.
6.如图所示的程序框图的输出结果为（
）
A.
20142015
B.
12015
C.
20152016
D.
12016
【答案】C 【解析】
【分析】运行程序，根据裂项求和法求得正确答案.【详解】运行程序，0,1S i ==，
判断否，1101212S =+=⨯⨯，2i =，判断否，11,31223
S i =
+=⨯⨯，……
以此类推，111,2016122320152016
S i =+++=⨯⨯⨯ ，判断是，输出111122320152016
S =
+++⨯⨯⨯ 1111112015112232015201620162016=-+-++-=-=
.
故选：C
7.已知函数π
π()sin()2
2f x x ωϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，3π8x =
是函数()f x 的一条对称轴，且函数π8y f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数，则7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（）
A.3
2
B.1
- C.
12
D.
32
【答案】D 【解析】
【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.【详解】因为函数()f x 在3π7π,88⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，3π8x =是函数()f x 的一条对称轴，
所以有7π3π17π3π12π
2882882T ωω
-≤⇒-≤⋅⇒≤，所以()()3ππ
2πZ 182k k ωϕ⋅
+=+∈，因为ππsin 88y f x x ωωϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
是奇函数，所以
()()π
πZ 28
m m ωϕ+=∈，由()()12-可得：()422k m ω=-+，而2ω≤，所以2ω=±，
当2ω=时，()()2ππZ πZ 84m m m m π
ϕϕ+=∈⇒=-∈，因为ππ22ϕ-<<，所以π4
ϕ=-，
即π
()sin(24
f x x =-，
当3π7π,88x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，ππ3π2,422x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以7π7πππ3
(
)sin(2)sin 2424432
f =⨯-==
；当2ω=-时，()()2ππ
πZ πZ 84
m m m m ϕϕ-+=∈⇒=+∈，因为ππ22
ϕ-
<<，所以π
4ϕ=，
即π
()sin(2)4
f x x =+，
当3π7π,88x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，()π2π,2π4x +∈，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，故选：D
8.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，
20222023(1)(1)0a a -⋅-<则下列选项正确的是（
）
A.
{}n a 为递增数列
B.20222023
1S S +<
C.2022T 是数列{}n T 中的最大项
D.40451
T >【答案】C 【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式和前n 项和公式、数列的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由20222023(1)(1)0a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨
-<⎩或20222023
10
10a a -<⎧⎨->⎩．而11a >，202220231a a >⋅，
可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1因为11a >，
所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1．对于A ：公比2023
2022
1a q a =
<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列．故A 不正确；
对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =<－，所以202220231S S +>．故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}n T 中的最大项．故C 正确；对于D ：2
4044
40451234044
4045123404511111()()()T a a a a q a q a q
a q a α+++=== 404520224045202240451142020534()a q a q a ⨯===，
因为20231a <，所以4045
2023
1a <，即40451T <．故D 错误．故选：C
9.如图，ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，则AO BC ⋅=
（
）
A.
52
B.
32
C.3
D.2
【答案】A 【解析】
【分析】根据给定条件，分别求出AO AB ⋅ 、AO AC ⋅
即可求解作答.
【详解】因ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，由圆的性质得1||cos ,||2
AO AO AB AB 〈〉=
，
有21||||cos ,||22AO AB AO AB AO AB AB ⋅=〈〉==
，同理219||22
AO AC AC ⋅== ，
所以5()2
AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅= .
故选：A
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．10.已知实数0x >，则函数x y x =的值域为（）
A.(0,)+∞
B.(1,)
+∞ C.1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
D.1e
e ,∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
【分析】x y x =的两边同时取自然对数得到()ln ln 0y x x x =>，令()()ln 0f x x x x =>，求导得到其单调性，求出()()ln 0f x x x x =>的值域，求出答案.
【详解】对x y x =的两边同时取自然对数得，()ln ln 0y x x x =>，令()()
ln 0f x x x x =>则()1ln f x x '=+，令()0f x ¢>，解得1e x >
，令()0f x '<，解得1
0e
x <<，故()()ln 0f x x x x =>在10,e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，在1
,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，故()()ln 0f x x x x =>在1
e
x =上取得极小值，也是最小值，且1111ln e e e e
f ⎛⎫=
=- ⎪⎝⎭，故()()ln 0f x x x x =>的值域为1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭，所以x
y x =的值域为1e e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
故选：D
11.若函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则说()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则函数
...1220212022()12320222023
x x x x x f x x x x x x ++++=
++++++++++的对称中心是（）
A.
(1011,2022)- B.()
1011,2022 C.
(1012,2023)
- D.()
1012,2023【答案】C 【解析】
【分析】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想1012a =-，计算出(1012)(1012)4046f x f x --++-=，从而求出对称中心.
【详解】函数定义域为{|1, 2...,...2022,2023}x x x x x ≠-≠-≠-≠-，定义域的对称中心为(1012,0)-，所以可猜1012a =-，则.10121011101010091010(1012)101110101009101010.11.x x x x x
f x x x x x x -+-+-+++-+=
+++++-+-+-+++，
.10121011101010091010(1012)101110101009101010.11.x x x x x
f x x x x x x
----------=+++++
--------1012101110101009101010111010101..091001011.x x x x x x x x x x
+++--=++++++++--，故(1012)(1012)
f x f x -+--+101010121009101110121010101110111010101010111011x x x x x x x x x x x x ++++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪=++++-+-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 6
22023404=⨯=所以()y f x =的对称中心为(1012,2023)-，故选：C ．
12.已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，记()()1g x f x '=+，且(2)(2)4f x f x x +--=，
()3g x +为偶函数，则()()717g g '+=（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C 【解析】
【分析】对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为()3g x +为偶函数，()()1g x f x '=+，
所以()()44f x f x ''+=-+，
对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，得(2)(2)4f x f x ''++-=，所以有
(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''++-=⇒-+-=⇒++=⇒+=所以函数()f x '的周期为8，
在(2)(2)4f x f x ''++-=中，令0x =，所以(2)2f '=，因此()()()171822g f f ''===，因为()3g x +为偶函数，
所以有()()()()()()()3373311g x g x g g x g x g ''=-⇒=--⇒=-'+-'+，
()()()()()()()(8)()7171712f x f x g x g x g x g x g g ''''''+=⇒+=-⇒+=-⇒=-，
由()()1,2可得：()70g '=，所以()()7172g g '+=，故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，再利用赋值法进行求解.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13.已知(2,),(3,1)a b λ=-=
，若()
a b b +⊥ ，则a = ______.
【答案】【解析】
【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a
的坐标，利用
向量模的公式，即可求解．
【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+
，
又因为()a b b +⊥
，可得()
(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，
所以(2,4)a =-- ，所以a ==
故答案为：
14.若“[]01,4x ∃∈使2
0040x ax -+>”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.
【答案】[5,)+∞【解析】
【分析】将问题转化为“4
≥+
a x x
在[]1,4上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“[]01,4x ∃∈使2
0040x ax -+>”为假命题，所以“[]
1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，
其等价于4
≥+
a x x
在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4
f x x x
=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，
而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.故答案为：[5,)+∞.
15.设矩形()ABCD AB BC >的周长为12，把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折后交DC 于点M ，则ADM △的面积最大值为___________.
【答案】27-【解析】
【分析】作图，令ABC 折叠后对应为AEC △，且AB x =(36x <<)，易得ADM CEM ≅ ，再设
,AM a DM x a ==-且2a x a >>，勾股定理列方程得18
6a x x
=+
-，最后应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值，注意取值条件.
【详解】如下图，ABC 折叠后对应为AEC △，令AB x =且36x <<，则6BC x =-，
由图知：AD BC EC ==，90D E ∠=∠=︒，AMD CME ∠=∠，则ADM CEM ≅ ，所以,DM EM AM CM ==，而AB AE AM EM AM DM ==+=+，
令,AM a DM x a ==-且2a x a >>，则222AD DM AM +=，所以22218(6)()6x x a a a x x -+-=⇒=+
-，则186DM x =-，
则13183(6)(1)273()27272ADM S AD DM x x x x =⋅=--=-+≤-- ，
当且仅当x =
所以ADM △的面积最大值为27-
故答案为：27-16.若存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y
x y x y t -+-=-成立，则实数t 的取值范围为___________.
【答案】)
,2l 2(n2-∞-【解析】
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】()()22
e e e e x y x y x y x xt y yt x y t ⇒-+==--++--，构造函数()()2
e 0m
f m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，
显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，
()()e 20m f m m t m '=-+>，
设()()()e 20e 2m m
g m m m g m '=->⇒=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m '>单调递增，
当0ln 2m <<时，()()0,g m g m '<单调递减，故()()min ln 22ln 2g m g ==-，
当2ln 20t -+≥时，即ln 22t ≥-时，()()0,f m f m '≥单调递增，所以不符合题意；
当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m '=，
因此一定存在区间()()00,0m m εεε-+>，使得()f m '在()()0000,,,m m m m εε-+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m εε-+上单调性不同，
因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y
x y x y t -+-=-成立，故答案为：)
,2l 2(n2-∞-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2
e 0m
f m m mt m =-+>.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，11a =，满足()1252n n S n a +=++，N*n ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记21n n n n b S S ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证516
<n T .【答案】（1）21
n a n =-（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用等差数列前n 项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
依题意有()121252a a a +=++，
11a = ，23a ∴=，
又{}n a 为等差数列，设公差为d ，
212d a a ∴=-=，()12121n a n n ∴=+-=-.
【小问2详解】
由（1）可得()21212n n n S n
+-==，
22221111(2)4(2)n n b n n n n ⎛⎫+∴=
=- ⎪++⎝⎭12111413b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222111424b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，322111435b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，L ，1221114(1)(1)n b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
，
221111155144(1)(2)4416
n T n n ⎛⎫∴=+--<⨯= ⎪++⎝⎭.18.已知函数()32
2f x x ax bx =-++（1）若其图象在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=，求a ，b 的值；
（2）若1是函数()f x 的一个极值点，且函数
()f x x 在[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，0
b =（2）,(7,332)⎛
⎤ ⎥⎝-∞⎦
【解析】
【分析】（1）由题意()132f a b =-+=，且()1321f a b '=-+=，由此即可得解.
（2）一方面：由题意()1320f a b '=-+=，且()2
32f x x ax b '=-+至少有两个零点（否则()f x 单调递增没有极值点）；另一方面：由题意3222()22220f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--=≥ ⎪⎝⎭
在[]2,3上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.
【小问1详解】
点()()
1,1f 在切线10x y -+=上，()132f a b ∴=-+=，①
()232f x x ax b '=-+，()1321f a b '=-+=，②
联立①②解得1a =，0b =.
【小问2详解】
依题意有()2
32f x x ax b '=-+，()1320f a b '=-+=，23b a =-，且()()
22
412234690a a a a ∆=--=-+>，3a ∴≠；又2()223f x x ax a x x =-++-，3222()2222f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则[]2,3x ∈时，32
220x ax --≥，即3222x a x -≤，
令3222()x g x x
-=，23x ≤≤，求导得34()20g x x '=+>，所以()g x 单调递增，min 7()(2)2
a g x g ∴≤==；又3a ≠，所以a 的取值范围为,(7,332
)⎛
⎤ ⎥⎝-∞⎦ .19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
sin sin sin sin a b B C c A B ++=-.（1）求角A 的大小；
（2）若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.
【答案】（1）2π3A =
（2）27
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.
【小问1详解】依题意，sin sin sin sin a b B C c A B
++=-，由正弦定理得
222,a b b c a b bc c c a b ++=-=+-，222
c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3
A =
.【小问2详解】1π23BAD CAD A ∠=∠=
=，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b +=+=+=，
所以()3312344151527b c b c b c c b c b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
，
当且仅当()123,293b c c b c b bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩
时等号成立.20.已知向量π2cos ,23a x θ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，ππ2cos ,1062b x θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ，设()2f x a b =⋅+ ，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.（1）若3tan 2
x =，求()f x 的值；（2）若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象关于直线π8x =
对称，且()g x 在区间5π,12t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）117
（2）ππ,124
轾犏-犏臌【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可；
（2）根据函数的对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
ππππ()24cos cos 224cos sin 3633f x a b x x x x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=-+----+=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2ππ2sin 222sin 2233x x θθ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若()f x 的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则()ππ2πZ 63k k θ--=∈，()π2πZ 6k k θ∴-=+
∈，()ππZ 212
k k θ=--∈.π12θ∴=-，()2sin 26πf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.
若tan 2
x =
，则2222sin cos 2tan sin 2sin cos 1tan 7x x x x x x x ===++，同理可得1cos 27x =.
πππ4331111()2sin 22sin 2cos cos 2sin 2666147f x x x x ⨯⎛⎫⎛⎫∴=-=-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；【小问2详解】
若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线π8
x =对称，则ππππ()2sin 22sin 244
63g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为5π12x t -≤≤，所以7πππ22633
x t -≤-≤-，而()g x 在5π,12t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]1,2-，则π12sin 223x ⎛
⎫-≤--
≤ ⎪⎝⎭，即π22sin 213x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因为7π5π2sin 2sin 166⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以πππ2236t -≤-≤，ππ124t ∴-≤≤，故t 的取值范围为ππ,124
轾犏-犏臌21.已知函数()e cos sin x a f x x x +=+-.
（1）当0a =时，讨论()f x 在()0,∞+上的单调性；
（2）当0x >时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递增.
（2）π,2⎡⎫⎪∞⎢⎣+⎭
-【解析】
【分析】（1）由导数与单调性的关系求解，
（2）参变分离后转化为求()()sin cos ,0,e
x x x x x ϕ∞-=∈+的最大值.【小问1详解】当0a =时，()()e cos sin ,e sin cos x
x f x x x f x x x =+-=--'.令()e sin cos x h x x x =--，则当π
,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，2e e 2,sin cos 2x x x π
≥>+<，
从而()e sin cos 0x
h x x x =-->成立；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，(
)πe cos sin e 4x x h x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝
⎭'，
此时有[)πe 1,14x x ⎛
⎫≥-∈- ⎪⎝⎭，从而()()0,h x h x '≥在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递增，()()00h x h ≥=，故当0,0a x =≥时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增.
【小问2详解】
法一：（分离参数法）e cos sin 0x a x x ++-≥，则sin cos e e a
x
x x -≥.令()()sin cos ,0,e x x x x x ϕ∞-=∈+，则()()2cos ,0,e x x x x ϕ∞=∈+'.故()x ϕ在π0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π3π+2π,+2π22k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π52π,π2π22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
上单调递增，其中k ∈N ，又ππ2π22k ϕϕ⎛⎫⎛⎫≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π2
1e e a ≥.故实数a 的取值范围是π,2⎡⎫⎪∞⎢⎣+⎭
-.法二：由()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立，得π02f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即2e 10a π-≥，亦即2a π≥-.下面证明：当2
a π≥-
时，()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立.当π2a ≥-时，()2e cos sin e cos sin x x a f x x x x x π-+=+-≥+-，令()2e cos sin x g x x x π
-=+-，则(
)22e sin cos e 4x x g x x x x π
π
π--⎛⎫=--=+ ⎪⎝
⎭'.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，2e 14x x ππ-⎛⎫<+> ⎪⎝
⎭，所以()0g x '<，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，2e 14x x π
π-⎛⎫>+< ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，
当()π,x ∈+∞时，22
e e 24x x π
ππ-⎛⎫>>+< ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，故当π2a ≥-时，()()π02f x g x g ⎛⎫≥≥= ⎪⎝⎭
对()0,x ∈+∞恒成立.综上：实数a 的取值范围是π,2⎡⎫⎪∞⎢⎣+⎭-
.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.如图，在极坐标系Ox 中，圆O 的半径为2，半径均为1的两个半圆弧12,C C 所在圆的圆心分别为1π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，M 是半圆弧1C 上的一个动点，N 是半圆弧2C 上的一个动点.
（1）若2π3O ON ∠=
，求点N 的极坐标；（2）若点K 是射线()π03θρ=≥与圆O 的交点，求MOK 面积的取值范围.【答案】（1）11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）30,2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】（1）根据图形关系可确定1ρ=，极角11π6
θ=，由此可得点N 的极坐标；（2）利用θ表示出OM 和MOK ∠，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到
1πsin 226MOK S θ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ ，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由2π3
O ON ∠=知：21O O ON ==，6πAON ∠=
，∴点N 的极角为π11π2π66-
=，∴点N 的极坐标为11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
.【小问2
详解】由题意知：2OK =，π2sin π2OM θθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，π3MOK θ∠=-，1πsin 2sin sin 23MOK S OK OM MOK θθ⎛⎫∴=⋅∠=- ⎪⎝
⎭
21112sin sin cos sin cos cos 2sin 222222θθθθθθθθ⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭
1πsin 226θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π,π2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π13π2,666θ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，π1sin 21,62θ⎛⎫⎡⎫∴+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，30,2MOK S ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦
.选修4-5：不等式选讲
23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.
（1）解不等式()()f x g x a <+；
（2）任意x R ∈，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)
()1,-+∞(2)()
2,3-【解析】【分析】（1）由于不等式可24x x -<+，可平方后求解；
（2）不等式()()2f x g x a +>可化为2
24a a x x -<-++，利用不等式的三角不等式求得24x x -++的最小值，然后解不等式可得a 的范围．
【详解】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，
两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，
所以原不等式的解集为()1,-+∞.
（2）不等式()()2f x g x a +>可化为2
24a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，
所以a 的取值范围为()2,3-.
【点睛】本题考查绝对值不等式的问题，解绝对值不等式常用方法是根据绝对值的定义去绝对值符号后再求解，如果对两边均非负的不等式可平方去绝对值符号．绝对值三角不等式在求含绝对值的最小值时用处较大，而且是常用方法．。