2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)(含答案)

2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U ＝{}0，1，3，5，6，8 ，A ＝{}3，5，8 ，B ＝{}2 ，则()∁U A ∪B ＝( ) A ．{}0，1，2，6 B ．{}0，3，6 C ．{}1，2，5，8 D ．∅
2．已知a 是实数，a －i
1＋i
是纯虚数，则a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
3．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法( )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24 4.
陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一．传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中，就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为8 cm ，圆柱部分高度为6 cm ，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm 3的木质材料做成，其总质量为70 g ，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为( )
A ．2.2 cm
B ．2.4 cm
C ．2.6 cm
D ．2.8 cm
5．从边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个点，其中这4个点中任意两点间的距离都相等的概率为( )
A ．15
B ．17
C ．335
D ．135
6．2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利．湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”．已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：h ＝m ·a t .若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果四舍五入取整数)( )
A ．23天
B ．33天
C ．43天
D ．50天
7．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的一点，则AP → ·AB →
的取值范围是( ) A ．[2，6] B ．[2，4] C ．(2，4) D ．(0，4)
8．已知定义在R 上的奇函数f ()x 满足f ()π＋x ＝f ()－x ，当x ∈()0，π 时，f ()x ＝sin x
x 2－πx ＋π
，则下列结论正确的是( )
A ．π是函数f ()x 的周期
B ．函数f ()x 在R 上的最大值为2
C ．函数f ()x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2 上单调递减 D ．方程f ()x －1
2
＝0在x ∈()－10，10 上的所有实根之和为3π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知双曲线的方程为x 216 －y 2
9
＝1，则下列说法正确的是( )
A ．焦点为(±7 ，0)
B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0
C ．离心率e ＝5
4
D ．焦点到渐近线的距离为4
10．函数f ()x ＝A sin ()ωx ＋φ ()ω>0，A >0 的部分图象如图所示，则( )
A ．ω＝π
2 B ．A ＝6
C ．φ＝－π
4
D ．f ()0 ＝－3
11．已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则( ) A ．e a －e b >1 B ．a e －b e <1
C ．9a －1
b
≤4 D ．2log 2a －log 2b ≥2
12．下列命题中，说法正确的是( )
A ．已知随机变量服从二项分布
B (n ，p )，若D (X )＝20，E (X )＝30，则p ＝2
3
B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C ．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ≤0)＝1
2
－p
D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1).若(a ＋b )⊥(a －b )，则x ＝________．
14．在各项都为正数的等比数列{}a n 中，已知0<a 1<1，其前n 项之积为T n ，且T 12＝T 6，则T n 取最小值时，n 的值是________．
15．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数，则△MFN 的面积为________．
16．过曲线y ＝x ＋1
x
(x >0)上一点P 作该曲线的切线l ，l 分别与直线y ＝x ，y ＝2x ，y 轴
相交于点A ，B ，C .设△OAC ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1＝________，S 2的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C .
(1)求角A 的大小．
(2)若sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313
，求tan B 的值．
18．(12分)已知首项为3
2
的等比数列{}a n 的前n 项和为S n (n ∈N *), 且－2S 2，S 3，4S 4
成等差数列．
(1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)证明：S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈N *).
19．(12分)华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查了100个2021年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30
(1)龄有关？
(2)若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：χ2＝n ()
ad －bc 2
()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()
b ＋d .
20．(12分)如图，在三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，∠BAA 1＝60°，E 是棱BB 1的中点，CA ＝CB ，F 在线段AC 上，且AF ＝2FC .
(1)证明：CB 1∥平面A 1EF ；
(2)若CA ⊥CB ，平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，求二面角F ­ A 1E ­ A 的余弦值．
21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，焦距为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－12
，点D 在线段AB 上，且AD →
＝13 AB → ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE ||OD | 是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
22．(12分)已知函数f (x )＝x e x .
(1)求f (x )在x ＝－2处的切线方程；
(2)已知关于x 的方程f (x )＝a 有两个实根x 1，x 2，当－1e <a <－2
e
2 时，求证：|x 1－x 2|＜(e 2
＋1)a ＋4.
2023届高三数学一轮复习模拟冲刺卷(二)
1．答案：A
解析：由题设知：∁U A ＝{0，1，6}，而B ＝{}2 ， ∴()∁U A ∪B ＝{0，1，2，6}．故选A. 2．答案：A
解析：a －i
1＋i ＝(
)a －i ·()1－i ()1＋i ·()
1－i
＝a －1－()
a ＋1i 2 ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1≠0 ，a ＝1.故选A.
3．答案：C
解析：从六科中选考三科的选法有C 36 ，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科
与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有C 33 ，因此考生的选考方法有C 3
6 －
2C 33 ＝18种．
故选C. 4．答案：A
解析：由题可得该陀螺的总体积为
70
0.7
＝100 cm 3， 设底面半径为r ，
则可得πr 2×6＋1
3 πr 2×()
8－6 ＝100，
解得r ＝ 15
π
≈2.2 cm.故选A.
5．答案：D
解析：从边长为1的正方体的8个顶点中选取4个点，共有C 48 ＝70种情况，满足4个点中任意两点间的距离都相等的有ACB 1D 1，BDA 1C 1这2种情况，所以4个点任意两点间
的距离都相等的概率为1
35
，故选D.
6．答案：B
解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧10%＝m ×a 1020%＝m ×a 20
，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝2，
m ＝5%
，
∴50%＝5%×a t ， ∴a t
＝10，即2t 10
＝10，
∴t ＝10log 210，∴t ≈33， 故选B. 7.
答案：B
解析：如图所示，D 为AB 的中点，AP → ·AB → ＝|AP → ||AB →
|cos ∠BAP ，
当P 在B 时，AP → 在AB →
方向上的投影AB 最大， ∴(AP → ·AB →
)max ＝2×2＝4，
当P 在C 时，AP → 在AB →
方向上的投影AD 最小， (AP → ·AB →
)min ＝2×1＝2， ∴AP → ·AB →
的取值范围是[2，4].
8．答案：D
解析：∵f ()x 是R 上的奇函数，∴f ()－x ＝－f ()x ，∵f ()π＋x ＝f ()
－x ＝－f ()x ≠f ()x ，故π不是函数f ()x 的周期，且f ()x ＋2π ＝－f ()x ＋π ＝f ()x ，故2π是函数f ()x 的
周期，故A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2 时，y ＝sin x >0且单调递增，y ＝x 2－πx ＋π>0且单调递减，则f ()x 单调递增，故C 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π 时，y ＝sin x >0且单调递减，y ＝x 2
－πx ＋π>0且单调递增，则f ()x 单调递减；且f ()0 ＝f ()π ＝0，又f ()x 是奇函数且周期为2π，∴f ()x max
＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝44π－π2 ≠2，故B 错误；由f ()π＋x ＝f ()
－x 可得f ()x 关于x ＝π
2
对称，方程f ()x －12 ＝0的根等价于y ＝f ()x 与y ＝1
2
的交点的横坐标，根据f ()x 的单调性和周期可得，y ＝f ()x 与y ＝12 在()0，π 有两个关于x ＝π2 对称的交点，在()
2π，3π 有两个关于x ＝5π
2
对
称的交点，在()
－2π，－π 有两个关于x ＝－3π2 对称的交点，所以方程f ()x －1
2
＝0在
x ∈(
)
－10，10 上的所有实根之和为π2 ×2＋5π
2
×2＋⎝⎛⎭⎫－3π2 ×2＝3π，故D 正确．故选D.
9．答案：BC
解析：对A ，焦点为(±5，0)，故A 错误；对B ，渐近线方程为x 216 －y 2
9
＝0⇒3x ±4y ＝0，
故B 正确；对C ，e ＝c a ＝5
4
，故C 正确；
对D ，焦点到渐近线的距离为d ＝3×5
42＋3
2 ＝3，故D 错误；故选BC.
10．答案：ABD
解析：由已知，T 2 ＝8.5－6.5＝2，所以T ＝4＝2πω ，解得ω＝π
2 ，
所以f ()x ＝A sin ⎝⎛⎭
⎫π
2x ＋φ . 又f ()8.5 ＝f ()0.5 ＝0，所以A sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ ＝0，
则π4 ＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π
4
＋k π，k ∈Z ①. 又f ()5 ＝3 ，即A sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋φ ＝3 ，所以A cos φ＝3 ②.
由①②可得A ＝6 ，所以f ()x ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫
π2x －π4 .
故f ()0 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎫－π
4 ＝－3 .故选ABD. 11．答案：ACD
解析：对A ，由a >0，b >0，且a －b ＝1可得a >b >0，
则e a －e b ＝e b ()e a －b －1 ＝e b (
)
e －1 ，
∵b >0，∴e b
>1，又e －1>1，∴e b
()e －1 >1，即e a
－e b
>1，故A 正确；
对B ，令a ＝2，b ＝1，则a e －b e ＝2e －1>1，故B 错误；
对C ，9a －1b ＝⎝⎛⎭⎫9a －1b ()
a －
b ＝10－⎝⎛⎭⎫9b a ＋a b ≤10－2 9b a ·a b ＝4，当且仅当9b a ＝a b
时等号成立，故C 正确；对D ，2log 2a －log 2b ＝log 2a 2
b ＝log 2()
b ＋12
b
＝log 2⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋2 ≥log 2⎝⎛⎭
⎫2 b ·1
b ＋2 ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时等号成立，故D 正确．故选ACD.
12．答案：BCD
解析：A 选项：⎩
⎪⎨⎪⎧np （1－p ）＝20np ＝30 ，两式相除得1－p ＝23 ，故p ＝1
3
，故A 错误；
B 选项：由D (aX ＋b )＝a 2D (X )知，当a ＝1时D (X ＋b )＝D (X )，故B 正确；
C 选项：由
ξ～N (0，1)可知P (ξ≤0)＝1
2
，且P (ξ≤－1)＝P (ξ≥1)＝p ，所以P (－1<ξ≤0)＝P (ξ≤0)－P (ξ<
－1)＝1
2 －p ，故C 正确；D 选项：P （X ＝k ）P （X ＝k ＋1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.210－k
C k ＋110
×0.8k ＋1×0.29－k ＝k ＋14（10－k ）
，
P （X ＝k ）
P （X ＝k －1） ＝C k 10 ×0.8k ×0.2
10－k
C k －110 ×0.8k －1×0.2
11－k ＝4（11－k ）
k
令⎩⎪⎨⎪⎧
k ＋1
4（10－k ）≥1
4（11－k ）k ≥1 ，解得395 ≤k ≤44
5
，又k ∈Z ，故k ＝8，故k ＝8时概率最大，故
D 正确．
故选BCD. 13．答案：±2
解析：(a ＋b )＝(1＋x ，3)，(a －b )＝(1－x ，1)，
(a ＋b )⊥(a －b )＝(1－x )(1＋x )＋3＝1－x 2＋3＝4－x 2＝0，所以x ＝±2. 14．答案：9
解析：由T 12＝T 6得T 12
T 6
＝1，即a 7a 8a 9a 10a 11a 12＝()a 9a 10 3
＝1故a 9a 10＝1，
因为a 1a 18＝a 9a 10，则a 1a 18＝1，由于0<a 1<1，得a 18>1，
所以等比数列{}a n 是递增数列，故0<a 9<1<a 10， 则T n 取最小值时，n ＝9. 15．答案：2
解析：设∠MAF ＝θ，||AF ＝a ，||BF ＝b ，由抛物线定义可得||AM ＝a ，||BN ＝b ， 且180°－2∠AFM ＋180°－2∠BFN ＝180°，故∠AFM ＋∠BFN ＝90°， 故∠MFO ＋∠NFO ＝90°即MF ⊥NF .
由余弦定理得||MF 2＝2a 2(1－cos θ)，||NF 2＝2b 2(1＋cos θ)，
S △MAF ＝12 a 2sin θ，S △NBF ＝1
2
b 2sin θ
因为△AFM 的面积与△BFN 的面积互为倒数， 所以有12 a 2sin θ·1
2
b 2sin θ＝1，即a 2b 2sin 2θ＝4，
所以(S △MFN )2
＝(14 ||MF 2 ||NF 2
)＝a 2b 2sin 2θ＝4，
所以△MFN 的面积为2.
16．答案：2 (0，2)
解析：由y ＝x ＋1x ，得y ′＝1－1
x 2 ，
设P (x 0，x 0＋1x 0 )(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝1－1
x 20
，
∴曲线在P 处的切线方程为y －x 0－1x 0 ＝(1－1
x 20 )(x －x 0).
分别与y ＝x 与y ＝2x 联立，
可得A (2x 0，2x 0)，B (2x 0x 20 ＋1 ，4x 0
x 20 ＋1 )，
取x ＝0，可得C (0，2
x 0 )，又O (0，0)，
∴△OAC 的面积S 1＝12 ×2
x 0 ×2x 0＝2；
OA ＝
4x 20 ＋4x 2
0 ＝22 x 0，
点B 到直线x －y ＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪2x 0x 20 ＋1－4x 0x 20 ＋12 ＝2x 0
x 20 ＋1 .
∴△OAB 的面积
S 2＝12 ×22 x 0×2x 0x 20 ＋1 ＝2x 20 x 20 ＋1 ＝2
1＋1
x 20
∈(0，2).
17．解析：(1)因为b (sin B ＋sin C )＝a sin A －c sin C ， 所以由正弦定理，得b (b ＋c )＝a 2－c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝－bc .
由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1
2
.
又0<A <π，故A ＝2π
3 .
(2)由(1)知，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3 ，则C －π
6 ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6 . 因为sin ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝1313 ，所以cos ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝23913 ， 故tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝123
因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－C ＝tan ⎣⎡⎦⎤π
6－⎝
⎛⎭⎫C －π6 ＝tan π
6－tan ⎝⎛⎭⎫C －π61＋tan π
6tan ⎝⎛⎭⎫C －π6 ＝13－1231＋13×123
＝3
7 .
18．解析：(1)设等比数列{}a n 的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以
S 3 ＋ 2S 2 ＝4S 4－S 3，即2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3 ＝－12 ，又a 1＝3
2
，
所以等比数列{}a n 的通项公式为a n ＝32 ×(－12 )n －1＝(－1)n －1·3
2
n .
(2)由(1)得S n ＝1－(－12 )n ，所以S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12 n ＋11－⎝⎛⎭
⎫－12n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2＋1
2n （2n ＋1）
，n 为奇数，2＋1
2n （2n －1）
，n 为偶数，
当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1 ＝13
6 ；
当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2 ＝25
12 ，
故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤13
6
.
19．解析：(1)列联表
χ2
＝100×()
12×36－24×282
36×64×40×60
＝2524 ≈1.042<2.706，
所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关．
(2)由9×1236 ＝3，9×24
36 ＝6，即年轻用户抽取3人，非年轻用户抽取6人．
所以X 所有可能的取值为0，1，2，3
P ()X ＝0 ＝C 03 C 36 C 39 ＝521 ，P ()X ＝1 ＝C 13 C 26
C 39 ＝1528 ，
P (
)
X ＝2 ＝C 23 C 16 C 39 ＝314 ，P (
)
X ＝3 ＝C 33 C 06
C 39
＝184 ，
所以X 的分布列为：
所以E ()X ＝0×521 ＋1×1528 ＋2×314 ＋3×1
84 ＝1
所以X 的数学期望值为1.
20．解析：(1)连接AB 1交A 1E 于点G ，连接FG .
因为△AGA 1∽△B 1GE ，所以AG GB 1 ＝AA 1
EB 1
＝2，
又因为AF FC ＝2，所以AF FC ＝AG
GB 1
，所以FG ∥CB 1，
又CB 1⊄平面A 1EF ，FG ⊂平面A 1EF ，所以CB 1∥平面A 1EF .
(2)过C 作CO ⊥AB 于O ，因为CA ＝CB ，所以O 是线段AB 的中点．
因为平面CAB ⊥平面ABB 1A 1，平面CAB ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CO ⊥平面ABA 1.连接OA 1，
因为△ABA 1是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以OA 1⊥AB .
如图以O 为原点，OA → ，OA 1，OC →
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设AB ＝2，则A (1，0，0)，A 1(0，3 ，0)，C (0，0，1)，B (－1，0，0)，F (1
3 ，0，
2
3
)，
由AA 1＝BB 1，得B (－2，3 ，0)，BB 1的中点E ⎝⎛⎭⎫－32，32，0 ，A 1E ＝⎝⎛⎭
⎫－32，－32，0 ，A 1F ＝⎝⎛⎭⎫13
，－3，23 . 设平面A 1FE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1F ·n 1＝0A 1E ·n 1＝0 ，即⎩
⎨⎧x 13－3y 1＋23z 1＝0－32x 1－32y 1＝0 ， 得方程的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3z 1＝5 ，即n 1＝(－1，
3 ，5).
平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2||n 1||n 2 ＝52929 ， 所以二面角F ­ A 1E ­ A 的余弦值为52929
. 21．解析：(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝222c ＝2a 2＝b 2＋c 2 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1c ＝1
， ∴椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2＝1； (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由AD → ＝13 AB → 得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝2x 1＋x 23y 3＝2y 1
＋y 2
3 ，设|OE ||OD | ＝λ，则结合题意可知，OE → ＝λOD → ，故E (λx 3，λy 3)，将点E (λx 3，λy 3)代入椭圆方程可得λ2⎝⎛⎭⎫x 23 2＋y 23 ＝1，即1λ2 ＝x 23 2 ＋y 23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2322 ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2y 1＋y 23 2
， 整理可得，1λ2 ＝49 ⎝⎛⎭⎫x 21 2＋y 21 ＋49 ⎝⎛⎭⎫x 1x 22
＋y 1y 2 ＋19 ⎝⎛⎭⎫x 22 2＋y 22 ， 又∵点A ，B 均在椭圆上，且k OA ·k OB ＝－12 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21 2＋y 21 ＝1x 22 2
＋y 22 ＝1k OA ·k OB ＝y 1
x 1·y 2x 2
＝－12 ， ∴λ＝355 ，即|OE ||OD | 为定值355
. 22．解析：(1)∵f (x )＝x e x ，f (－2)＝－2e
2 ，
∴f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ′(－2)＝－1e 2 ， 故x ＝－2时的切线方程是y ＝－1e 2 (x ＋2)－2e 2 ， 即y ＝－1e 2 x －4e 2 ； (2)证明：由(1)知：f (x )在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，
∵f (－1)＝－1e ，f (－2)＝－2e 2 ， 当－1e ＜a ＜－2e 2 时，方程f (x )＝a 有2个实根x 1，x 2，则x 1，x 2∈(－2，0)， 令g (x )＝f (x )＋1e 2 x ＋4e 2 (－2＜x ＜0)， 则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋1e 2 ， 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＞0，
故g ′(x )在(－2，0)递增，故g ′(x )＞g ′(－2)＝0，
故g (x )在(－2，0)递增，故g (x )＞g (－2)＝0，故g (x 1)＞0，
故a ＝f (x 1)＝g (x 1)－1e 2 x 1－4e 2 ＞－1e 2 x 1－4e 2 ， 故－(e 2a ＋4)＜x 1，
故x ∈(－2，0)时，x e x ＞x ，故a ＝f (x 2)＞x 2，
故|x 1－x 2|＜a ＋e 2a ＋4＝(e 2＋1)a ＋4.。