2019世纪金榜理科数学 共66页

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3
其中正确的是( )
A.①③
B.④
C.②⑤
D.④⑤
【解析】选B.①错误.sin2θ＋cos2φ＝1中的角不是同角.
②错误.在 tan ＝中sin k∈ Z＋. k，
cos
2
③错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于
正切的诱导公式 ＋kk∈，Z.
2
④正确.诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角α都看成
【规范解答】(1)选C.当k＝2n (n∈Z)时，
原式＝ sin2ncos［ 2n1］ sin［ 2n1］ cos(2n)
＝ s in ( )c o s ( )＝ s in ( c o s )＝ － 1 ； s in ( )c o s s in c o s
【变式训练】1.(2019·珠海模拟)sin 480°的值为( )
A .1 B .3 C . 1
D .3
2
2
2
2
【解析】选B.sin 480°=sin(360°+120°)=sin 120°= 3 .
2
2.sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)· sin(－1 050°)＋tan 945°＝_______.
当k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝ sin ［ (2 n 1 ) ］ c o s［ (2 n 1 1 ) ］
sin ［ (2 n 1 1 ) ］ c o s［ 2 n 1 ］ ＝ s siin n ( c o s() c o s )＝ sin sin c c o o ss ＝ － 1 .
2 65
32
= sin ( )＋ 0 － c o s( )＋ sin3
6
32
= sin c o s － 1 ＝ － 1 ＋ 1 － 1 ＝ － 1 .
6 3 22
答案：－1
(2)因为 ()＋ (2)＝ － ，
6
32
所以 sin( 2 )＝ sin[( )]
2
求解.
常见的互余与互补关系
(1)常见的互余关系有： 与
3
等 .
4
(2)常见的互补关系有： 与
3
与; 与 ;
63
64
2 与; 等.遇3 到
34
4
此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想
方法解决问题.
3
2.sin 585°的值为( )
A . － 2 B .2
2
2
C . － 3 D .3
2
2
【解析】选A.sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝
sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝ － 2 .
2
3.若tan α＝2，则 2sin cos 的值为( )
sin 2cos
综上，原式＝－1.
(2)原式
tan cos sin[2()]
＝
2
cos3［ sin 3］
tan cos sin()
＝
2
cos sin
＝ tan cos cos
cos sin
＝－tan cos
sin
＝ －singcos ＝－1.
) 5
tan( ) 5
cos( )
5
sin(
)
sin( ) 5
5 cos2( )
a a 1a2

a3 2a 1a2 .
5
考点2 利用诱导公式化简、证明
【典例2】(1)已知A＝ sinkcos［ k1］ sin［ k1］ cos(k)
锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.
⑤错误. 当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝
sin(－α)＝－sin α＝ 则1 s， in α= 当k＝1 ；2n＋1(n∈Z)
3
3
时，sin(kπ－α)＝sin［(2n＋1)·π－α］＝sin(2nπ＋π
－α)＝sin(π－α)＝sin α＝ 1 .
(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A.{1，－1,2，－2} B.{－1,1}
C.{－1}
D.{1，－1,0,2，－2}
(2)(2019·福州模拟)
tancos2sin(3)
2 ＝________.
cos3sin(3)
【解题视点】(1)根据k的奇偶性分类讨论求解. (2)利用诱导公式化简约分.
3
2
tan α=_______.
【解析】因为sin(α-π)=-sin(π-α)=-sin α,
又因为sin(α-π)= 所2 ,以sin α= 2 .
3
3
又因为 ( 所,0以)，
cos 5 ,
2
3
所以 tansin23 2 2 5.
cos 5 5 5
3
考情 播报
1.已知角的一个三角函数值,求其他三角函数值是高考 考查的热点 2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题 中,主要起到化简三角函数关系式的作用 3.题型主要以选择题、填空题为主,属中低档题
【知识梳理】 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_s_i_n_2_α__＋_c_o_s_2_α__＝__1_.
cos sin
答案：－1
【规律方法】1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求 (1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变 形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函 数名称最少. (2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少， 次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
五
六
-α 2 _c_o_s_α__
+α 2 _c_o_s_α__
_s_i_n_α__ _-_s_i_n_α__
组数 正切
一 tanα
口诀
二 _t_a_n_α__
三 _-_t_a_n_α__
四 _-_t_a_n_α__
函数名不变 符号看象限
五
六
函数名改变 符号看象限
3.特殊角的三角函数值
角α 角α的 弧度数 sinα
tan ＝sin
(2)商数关系：________c_os____.
2.三角函数的诱导公式
组数 角
一
2kπ+α (k∈Z)
正弦 sinα
余弦 cosα
二 π+α _-_s_i_n_α__ _-_c_o_s_α__
三
四
-α
π-α
_-_s_i_n_α__ _s_i_n_α__ _c_o_s_α__ _-_c_o_s_α__
65
3
＋ s i n 1 5 － s i n ( 4 5 ) ＋ c o s 1 2 g t a n 4 － c o s ( 6 4 )
2
65
3
＋ s i n ( 6 3 ) s i n 5 ＋ c o s 1 2 g t a n 0 － c o s 4 ＋ s i n 3
【解析】原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋ cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋ tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋ tan 45° ＝ 3 3＋11＋1＝2.
6
5
－ cos(22)＋ sin15=________.
3
2
(2)已知 cos()＝2，则 sin( 2) ＝_________.
6
3
3
【解题视点】(1)利用诱导公式化为锐角的三角函数值求解.
(2)寻求 ( 与 )
6
( 的联2 系 ) ，再利用诱导公式求解.
3
【规范解答】(1)原式= － s in (2 9 ) ＋ c o s 1 2 g ta n 4 － c o s2 2
2
2
2.已知 sin ( ) =a(a≠±1,a≠0),
5
求 cos(145)tan(115)ctoasn((26 95))
5
的值.
【解析】 cos(145)tan(115)ctoasn((26 95))
5

cos(
) 5
tan(
1.
答案：1
6.已知 cos(＋)＝－1，则 sin ( － ) ＝________.
4
2
4
【解析】 s in ( － ) ＝ c o s [ － ( － ) ] ＝ c o s ( ＋ )
4
24
4
＝－ 1 .
2
答案: － 1
2
考点1 利用诱导公式求值
【典例1】(1)(2019·济宁模拟) sin(－ 29)＋ cos12gtan4
2.证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简. (2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式 子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明. 提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍 的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
A .0 B .3 C .1 D .5
4
4
【解析】选B. 2 s in c o s ＝ 2 ta n 1 ＝ 2 2 1 ＝ 3 .
s in 2 c o sta n 2 2 2 4
4.(2019·汕头模拟)已知sin(α-π)= 2 , 且 ( ,0)，则
6
＝－ 4 .
9
【规律方法】
1.给角求值的原则和步骤
(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.
(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～
4
之间角的三角函数步骤：
2.给值求值的原则
寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系， 若出现 的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后
2 2 22
答案：2
【加固训练】
1.sin 600°＋tan 240°的值等于( )
A .－ 3 B .3 C .3 － 1 D .3 ＋ 1
2
2
2
2
【解析】选B.sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋
tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝ － 3＋ 3＝ 3.
3
26
＝ －sin[()]
26
＝ －cos()＝－2.

3
答案：－ 2
3
【互动探究】在本例(2)的条件下，求 cos(5)gsin().
6
3
【解析】 cos(5)gsin()
6
3
＝ co s[ － ( )]g sin [ － ( )]
6
26
＝－cos2( )
第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
考纲 考情
五年 考题
广东五年3考 高考指数:★★★☆☆ 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝
1，sin x ＝tan x
cos x
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，
的正弦、余弦、正切的诱导公式
2
2019 T16 2019 T16 2019 T16
答案： 2 5
5
5.(2019·天津模拟)化简 2 sin 2 －1 =________.
1－ 2 c o s 2
【解析】1 2 － si2 nc2o s－ 2 12ssiin n2 2 － co ssin 2 2 － 2 cc oo ss2 2
=
sin2－cos2 sin2－cos2
cosα
tanα
0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
0

6
4
3
2
2 3
5 6
π
_0 _
1
2
3
1
3
1
0
_2 _
2
_2_
_2 _ _2 _
_1 _
3
_2 _
2 2
1 _2 _
0
1 __2__
___2 3_
-1
_0 _
3
_3 _
1 ___3 _
____3
3 __3__
0
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： ①sin2θ＋cos2φ＝1; ②同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角; ③六组诱导公式中的角α可以是任意角; ④诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号” 与α的大小无关;
⑤若sin(kπ－α)＝ 1 (k∈Z)，则sin α＝ 1 .