对等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度的变化情况的研究

对等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度变化情况

的研究

[摘要]：本文用点电荷电场强度的计算公式以及场强的叠加原理，讨论了等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度变化的情况。

[关键词]：电场强度，等量异种，等量同种，点电荷，叠加原理

[正文]

等量异种点电荷和等量同种点电荷形成的电场的电场线如图1所示。

图1

根据电场线的疏密程度，我们可以知道电场中两点间的电场强度关系。在实际处理问题时，最常见的又是两点电荷连线上的场强变化情况以及连线的中垂线上电场强度的变化情况，我们将就此展开讨论。

一、等量异种点电荷的电场

1．二者连线上电场强度的变化情况

如图2所示，设两点电荷电荷量的绝对值都是q ，二者间的距离为2a ，我们讨论与连线中点O 的距离为x （a x <<0）的A 点的电场强度。

如图所示，由点电荷的场强公式及电场的叠加原理知，A 点的电场强度为： ()()

22a x kq a x kq E ++-= 可见E 是x 的函数，对x 求导，有：

图2

()()()()[]

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--=+-+---=-3323112212'x a x a kq x a x a kq E 由于，所以0'>E ，所以在a x <<0上，E 是增函数。这说明x 的数值越大，即A 点离两点电荷连线的中点O 越远，场强越大。

由对称性可知，当A 位于O 点右边时，有同样的结果。

总之，从连线中点沿连线向两电荷移动时，电场强度逐渐增大，二者连线上中点位置的场强最小。

2．二者连线的中垂线上电场强度的变化情况

如图3所示，我们研究二者连线的中垂线上与垂足O 相距x 的点A 的电场强度。 由对称性知，两点电荷在此处产生的场强的大小相等，方向如图所示。由点电荷的场强公式和场的叠加原理知： θcos 22

2⋅+⋅

=x a kq E 而 22cos x a a

+=θ

由上面两式可得：

()23222x a kqa

E +=

从上式可以看出，当x 增大时，E 减小。这说明：从垂足向远处移动时，中垂线上的点的电场强度减小。

二、等量同种点电荷的电场

我们以等量的正点电荷形成的电场为例进行研究：

1．二者连线上电场强度的变化情况

图3

如图4所示，我们研究二者连线上与中点O 相距x （a x <<0）的点A 的场强。由点电荷的场强公式及叠加原理知，A 点的场强为：

()()

22x a kq x a kq E +--= 对x 求导有：

()()()()[]

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-=+----=--333311222'x a x a kq x a x a kq E 当a x <<0时，0'>E ，E 为增函数。

这说明：从二者连线的中点沿连线向两电荷移动，电场强度逐渐增大。二者连线的中点处场强最小（这个最小值为零）。

2．二者连线中垂线上电场强度的变化情况

如图5所示，我们研究二者连线的中垂线上与垂足O 相距x 的点A 的电场强度。 由对称性知，两点电荷在此处产生的场强的大小相等，方向如图所示。由点电荷的场强公式和场的叠加原理知： θsin 222⋅+⋅

=x

a kq E 而 22sin x a x

+=θ

由上面两式可得：

图5

图4

()23222x a kqx

E +=

对x 求导有：

()()()()

25222

23222122232222232'x a x a x a x x x a x a kq E +-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅⋅+-+=

可以看出： 当a x 2

20<<时，0222>-x a ，0'>E ，E 为增函数，随x 的增大而增大； 当a x 2

2>时，0222<-x a ，0'<E ，E 为减函数，随x 的增大而减小； 当a x 2

2=时，0222=-x a ，0'=E ，E 有极大值，而且极大值为： ()2

222322max 9342a kq x a kqx E a x ⋅=

+==

这说明：沿二者连线的中垂线从垂足移动到无穷远的过程中，电场强度先增大后减小，当a x 2

2=时，电场强度有极大值2934a kq ⋅。 这个结论也可以用极端法简单得出：垂足处的电场强度为零，沿中垂线到无穷远处的电场强度也为零，但这中间的位置上不为零。这说明沿着中垂线从垂足移动到无穷远的过程中，电场强度先增大后减小。

二○一一年八月十六日晚