【推荐】2019届浙江省温州市高三2月高考适应性测试数学试题

（ I ）求证：点 C 的纵坐标是定值；
（ II ）过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l 交椭圆于 M、 N 两点，求 p 的值，使得△ BMN 的面积最大．
22. 记 （ I ）若
对任意的 x 0 恒成立，求实数 a 的值；
（ II ）若直线 l:
与
的图像相切于点 Q(m，n) ；
（ i ）试用 m表示 a 与 k；
a<b，则 a=3,b=4 ，则较小的锐角的正切值为 .
故答案为 7， .
【点睛】本题考查了一元二次方程组的解法，考查了直角三角形中正切函数的定义，属于基础题
.
12.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： cm3）等于 _____，表面积（单位：
cm2） 等于 ____．
∴
D(X)
＝（
0
﹣
2）
2
×
2
+（ 2﹣ 2） ×
2
+（ 4﹣ 2） ×
＝ 2,
故选 B. 【点睛】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算，属于基础题．
7.在平面上， ， 是方向相反的单位向量， | | ＝ 2 ， ( ) ?(
A. 1
B. 2
C. 2
) ＝ 0 ，则 | | 的最大值为（
（ ii ）若对给定的 k，总存在三个不同的实数 a1，a2，a3，使得直线 l 与曲线
，
，
同时相
切，求实数 k 的取值范围。
温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试
数学试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 i 是虚数单位，则
等于（ ）
A. 1 i
B. 1 i
温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试
数学试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知 i 是虚数单位，则
等于（ ）
A. 1 i
B. 1 i
C. 1 i
D. 1 ＋ i
2.已知集合 A ＝ {1 ，2，－ 1} ，集合 B ＝ {y |
y
＝
2
x
，
x
∈
A}
，则
A∪B＝（
通过构造函数，由函数的单调性及值域对
判断 .
C.
b1
D.
b1
A,B 选项取对数进行作差比较，而对 C， D 用换底公式变形后进行
【详解】令函数 f(x)=
-2lnx ，则
，所以 f(x) 单调递增，又 f(1)=0 ，
可得 f(x)<0 在（ 0，1）恒成立， f(x)>0 在（ 1， ）恒成立，
取
故选： C． 【点睛】本题考查了并集的定义及其运算，用列举法表示集合时，注意集合中元素的互异性．
3.已知 a，b 都是实数，那么“ A. 充分不必要条件 C. 充要条件
”是“
” 的（ ） B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】
【分析】 根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
）
A.
B.
C.
D.
6.随机变量 X 的分布列如下表所示，
X
0
2
4
P
a
则 D X ( ) ＝（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
7.在平面上， ， 是方向相反的单位向量， | | ＝ 2 ， ( ) ?(
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
) ＝ 0 ，则 | | 的最大值为（
）
D. 3
8.已知实数 a 0 ， b 0 ， a 1 ，且满足 lnb ＝ ，则下列判断正确的是（
20.设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且 S2＝ 8，
．
（ I ）求 a1， a2 并证明数列 {an} 为等差数列；
（ II ）若不等式
对任意正整数 n 恒成立，求实数 的取值范围．
21.如图， A 为椭圆 中点．
的下顶点， 过 A 的直线 l 交抛物线
于 B、C 两点， C 是 Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的
边长为 1 的小正方形拼成一个边长为 5 的大正方形， 若直角三角形的直角边分别记为 a，b，有
，
则 a＋ b＝__，其中直角三角形的较小的锐角 的正切值为 ___ ．
【答案】
(1). 7 (2).
【解析】 【分析】 由条件直接运算即可 .
【详解】由
得到
，又 a，b 均为正数，所以 a＋ b＝ 7，不妨设
【答案】 B
【解析】
【分析】
直接由复数代数形式的除法运算化简得答案．
C. 1 i
D. 1 ＋ i
【详解】
，
故选： B．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.已知集合 A ＝ {1 ，2，－ 1} ，集合 B ＝ {y | y ＝ x2，x∈A}，则 A∪B＝（ ）
A. 1
B. 1，2， 4
的一个顶点坐标是（ ）
A. ( 2 ， 0)
B. ( － ， 0)
C. (0 ， )
D. (0 ， )
【答案】 D
【解析】
【分析】
先将双曲线方程化为标准方程，即可得到顶点坐标
.
【详解】双曲线
化为标准方程为：
，∴ = ，且实轴在 y 轴上，
∴顶点坐标是（
），故选 D.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础．
式运算，属于有难度的题型 .
9.在正四面体 ABCD 中， P， Q分别是棱 AB ， CD的中点， E， F 分别是直线 AB， CD上的动点， M 是 EF 的中
点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（
）
A. PE ＋ QF＝ 2 C. PE ＝ 2QF
B. PE?QF＝ 2 D. PE 2＋ QF2＝ 2
）
A. 1
B. 1，2， 4
C. 1， 1，2， 4
D. 1， 4
3.已知 a，b 都是实数，那么“
”是“
” 的（ ）
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
4.双曲线
的一个顶点坐标是（ ）
A. ( 2 ， 0)
B. ( － ， 0)
C. (0 ， )
D. (0 ， )
5.以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（
5.以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
由选项依次作出不等式组对应的平面区域，即可得结论
.
【详解】 A 选项：
表示的区域如图：不满足题意；
B 选项：
表示的区域如图：不满足题意；
C 选项：
表示的区域如图：不满足题意；
D 选项：
表示的区域如图：满足题意；
）
A. a b
B. a b
C.
b1
D.
b1
9.在正四面体 ABCD 中， P， Q分别是棱 AB ， CD的中点， E， F 分别是直线 AB， CD上的动点， M 是 EF 的中
点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（
）
A. PE ＋ QF＝ 2
B. PE?QF＝ 2
C. PE ＝ 2QF
D. PE 2＋ QF2＝ 2
反向共线时，如图：
| | 的最大值为 1+2=3，故选 D.
【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了向量模的几何意义的应用，考查了数形结合思想，属于中 档题 .
8.已知实数 a 0 ， b 0 ， a 1 ，且满足 lnb ＝ ，则下列判断正确的是（
）
A. a b
B. a b
【答案】 C
【解析】
【分析】
【答案】 D
【解析】
【分析】
先由对称性找到 PQ、 EF 的中点在中截面 GHLK上运动，利用向量的加减运算，得到
，结合
正四面体的特征将等式平方得到 4
，由圆的定义得到结论 .
【详解】如图：取 BC、 BD、 AC、 AD的中点为 G、 H、K、L，因为 P、Q是定点，所以 PQ的中点 O为定点，由
16.已知 F 是椭圆
的右焦点，直线
交椭圆于 A、 B 两点，若 cos AFB ，则椭
圆 C 的离心率是 _____．
17. 已知
，若对任意的 a R，存在
[0 ，2] ，使得
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
成立，则实数 k 的最大值是 _____
18.如图，在单位圆上， AOB＝ (
10. 已知数列
满足 0
，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题．
11. 我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与
边长为 1 的小正方形拼成一个边长为 5 的大正方形， 若直角三角形的直角边分别记为 a，b，有
，
则 a＋ b＝__，其中直角三角形的较小的锐角 的正切值为 ___ ．
对称性可知， PQ、 EF的中点在中截面 GHLK上运动，
∵
+
=+
,∴
，
又在正四面体中，对棱垂直，∴ PE QF，
∴
，
∴４ =
若点 M的轨迹是以 O为圆心的圆，则
只有 D 符合题意，故选 D.
为定值，
【点睛】本题考查了向量的三角形法则的应用，考查了曲线的轨迹的求法，属于较难题型
.
10. 已知数列
满足 0
C. 1， 1，2， 4
D. 1， 4
【答案】 C
【解析】
【分析】 将 A 中的元素代入集合 B 中的等式中求出 y 的值，确定出 B，求出 A与 B 的并集即可．
【详解】当 x＝ 1 时， y＝ 1；当 x＝ 2 时， y＝ 4；当 x ∴ B＝ {1 ，4} ，
时， y ，
∴A∪B＝ 1， 1， 2， 4 ．
【详解】对于“
”，考查函数 y= 在 R上单调递增，所以“
”与“ a>b”等价；
同样对于“
”，考查函数 y= 在 R 上单调递增，所以“
”与“ a>b”也等价；
所以“
”是“
” 的充要条件，故选 C.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键．
4.双曲线
，则 f( )=
=lnb
，
当
时， f( )<0 ，即 lnb
<0,b<a ；
当
时， f( )>0 ，即 lnb
>0,b>a ；故 A，B 不一定成立；
又当
时， lnb
<0，所以
，由换底公式得到
b 1；
当
时， lnb
>0, 所以
, 得到 b 1.
故选 C.
【点睛】本题考查了构造函数法，考查了利用导数研究函数的单调性、值域问题，涉及到对数中的换底公
【答案】
(1). 3 (2).
【解析】
【分析】
首先把三视图转换为几何体，再利用几何体的体积公式与表面积公式求出结果．
故选 D. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，属于基础题 6.随机变量 X 的分布列如下表所示，
X
0
2
P
a
. 4
则 D X ( ) ＝（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】 B
【解析】
【分析】
由分布列的性质解出 a，再利用方差公式求方差即可．
【详解】由题意，
，∴ a＝ ，∴ E(x)= 0 × +2× +4× =2,
) ， BOC＝ ，且△ AOC的面积等于 ．
（ I ）求 sin 的值；
（ II ）求 2cos(
)sin
)
19.在三棱锥 D ABC中， AD DC，AC CB， AB＝2AD＝ 2DC＝ 2，且平面 ABD 平面 BCD， E 为 AC的中点．
（ I ）证明： AD BC；
（ II ）求直线 DE 与平面 ABD所成的角的正弦值．
）
D. 3
【答案】 D
【解析】
【分析】
将已知数量积运算得到 | | ，由向量模的几何意义结合图形可求得 | | 的最大值 .
【详解】由题意 (
) ?(
) ＝ 0，即 - （
=0，又 ， 是方向相反的单位向量，
所以有
，即 | | ＝ 1，记
, 则 A,B 两点的轨迹分别是以原点为圆心，以 2 和
1 为半径的圆上，当
，且
A.
C.
【答案】 A 【解析】 【分析】 先取特殊值进行排除，再利用递推关系计算前
，则（ ） B. D.
6 项，进行猜测结论并证明 .
【详解】由
, 取特殊值：
，
，得： =
，=
，
排除 C、 D；
=
=
，
=
小于 ，猜测
，下面由图说明：
当
时，由迭代蛛网图：
> ；且
，
，
均
可得， 单调递增，此时不动点为 ，当 n
12. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm2） 等于 ____．
cm ），则该几何体的体积（单位： cm3）等于 _____，表面积（单位：
13. 若
，则
_____， _____
14.在 ABC 中， C＝ 45°，AB＝ 6 ，D 为 BC 边上的点，且 AD＝ 5，BD＝ 3 ，则 cos B＝ _____ ，AC＝ _____． 15. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只 用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账 方式，那么他们结账方式的可能情况有 _____ 种．
时，
，则有
，
.
当
时，由迭代蛛网图：
可得，当 n 分别为奇数、偶数时，
单调递增，且都趋向于不动点 ，由图像得
，
，
综上可得
，
故选 A.
【点睛】本题考查了数列的递推关系的应用，涉及三角函数的运算，考查了由特殊到一般的思维方法，考
查了分类讨论与数形结合思想，属于难题 .
二、填空题．
11. 我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与