江苏省无锡市第一中学2010-2011学年高二上学期期末(数学理)

无锡市第一中学2010-2011 年度第一学期期末考试卷
高二数学（理科）
一．解答题（本大题共14 小题，每小题 4 分，共 56 分，请将正确答案直接填写在题后的横
线上）
1．命题“对x R, x3x210 ”的否定是_________________________．
2．已知质点运动方程为S t3t 2 （S的单位是 m ， t 的单位是 s ），则该质点在t 2s时刻的瞬时速度为 ______________________ ．
3．曲线y2e x在x0 处的切线方程是_____________ _____________．
4．直线 l 与圆x2y22x 4 y10 相交于两点 A, B ，弦AB的中点为 (0,1) ，则直线l
的方程为 _________________________ ．
5．若圆x2y22x 4 y0 的圆心到直线 x y a0的距离为
2
，则实数 a 的值为2
___________________ ．
x2y2
1 焦距为2，则实数m＝ _________________________ ．6．椭圆
4
m
．若双曲线x 2y 2
1的渐近线与圆 (
x
3)2
y
2
r
2 (
r
0) 相切，则 r
=_________
．
763
8．经过点P(4,2)的抛物线的标准方程是_________________．
9．函数y( x2) ln( x2) 的单调递减区间是____________________．
10．棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为___________．11．已知m, n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，现给出下列四个命题：
①若 m, n //，则 m n ；②若 //, // , m，则 m；
③若 m //, n //，则 m // n；④ 若,，则//．
其中正确命题的序号为__________________ ．
12．已知命题p：14x31，命题 q ：x2(2a1)x a(a1)0 ，若p 是 q 的必要不充分的条件，则实数 a 的取值范围是．
13．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 4 的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C、D 的坐标分别是
2,0,2, 0，则 PC PD 的最大值为．
14．设直线系M : x cos( y2)sin1(0 2 ) ,对于下列四个命题：
①M 中所有直线均经过一个定点；②存在
定点 P 不在 M 中的任一条直线上；
③对于任意整数n(n3) ，存在正 n 边形，其所有边均在M中的直线上；
④ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的代号是（写出所有真命题的序号）．
二．解答题（本大题共 6 小题，共64 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分8 分）
设圆 C 上的点 A 2,3关于直线x 2 y0 的对称点仍在圆上，且直线x y10被圆C 截得的弦长为2 2 ，求圆 C 的方程．
[来源 :学& 科& 网]
16．（本题满分 10 分）
已知函数 f (x) ax3bx2cx d 是R上的奇函数，且在x 1时取得极小值2．
3 (1)求函数 f x的解析式；
(2)对任意 x1 , x2[ 1,1] ，证明： f x1 f x24
．3
[来源 :学。

科。

网Z。

X 。

X。

K]
17．（本题满分10 分）
直三棱柱 ABC A1 B1C1中， AC BC BB1 1， AB1 3 ．
(1)求证：平面 AB1C平面 B1CB ；
C1
(2)求三棱锥 A1 AB1C 的体积．
A1B1
C
A B
18．（本题满分 12 分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB2,AF 1,
点 M 是线段 EF 的中点．
E
(1) 求证：AM //平面BDE；
M
(2)求锐二面角 A DF B 的大小；
(3)试在线段 AC 上一点 P ，使得 PF 与 CD 所成的F
角是60 ．C B
N
D
A
19．（本题满分 12 分）
已知椭圆
x
2
y 2
1(a b 0) 过点
(
3,2) ，离心率为
3
，圆 O 的圆心为坐标原 点，
a 2
b 2
3
直径为椭圆的短轴， 圆 M 的方程为 ( x 8)2
( y 6) 2
4．过圆 M 上任一点 P 作圆 O 的切
线 PA, PB ，切点为 A, B ．
( 1)求椭圆的方程；
(2) 若直线 PA 与圆 M 的另一交点为 Q ，当弦 PQ 最大时，求直线 PA 的直线方程；
(3) 求 OA OB 的最值．
[来源 :学科网 ZXXK]
20．（本题满分 12 分）
已知函数 f (x)
aln x x 2 (a 为实常数 ) ．
(1) 求函数 f (x) 在 [1,e] 上的最小值；
(2) 若存在 x [1, e] ，使得不等式 f ( x) (a 2) x 成立，求实数 a 的取值范围．
无锡市第一中学 2010—2011 年第一学期期末试卷
高 二 数 学（理科）参考答案及评分标准
一、填空题：（共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分）
1． x R, x 3
x 2 1 0 ； 2． 11m/ s ； 3． 2x y 2
0 ；4． x y 1 0 ；
5 2 0
6 5 3 73 8 y2x x28 y 9( 2,1
2)
1
e ]13214
10 31112 [0,
2
664
158
C a, b r
a 2
b 0a 2 2 b 3 2r 2
r 22 a b 1
22
3
a, r2b
2
b
2
2
3b 1 2
23
2
b 210b210 b 3 b76
x 6 2y 3 252x14 2y7 22448
1610
1b d02
f x ax 2c
3
f103a c 0
a 1
223
f 1 a c
33c1
f x 1 x3x4
3
4
2 f x max f x min6
3
f x x21x [1,1] f x0 f x [1,1]
f x
max f1
2x
min f1
2
f
33
f x max f x
min
4
3
4
x1 , x2[1,1]f x1 f x210
3
1710
1ABC— A1B1C1BB1ABC
BB1 AB BB1 BC
AC=BC=BB1=1 AB1= 3AB=2
222
AC+BC=ABAC BC
BB1A BCBB1 AC
ACB1CB
ABCB CB6
11
2A1— AB1C V A AB C V B
1A AC1
1 114
111326
1812
1CCD x CB yCE z A(2,2,0) ,E(0,0,1)F( 2,2,1)
N (
22
, M (
22
, AM(
22
NE(
22
, ,,0),,1),,1) ,,,1) 22222222
AM //NE,AMNE AM//NE, AM BDE NE
BDEAM //BDE 4 [:§ § ]
2ADFAB(2,0,0) ,B DFn( x, y, z)
n BF02x z0
(1,1, 2 )c os AB, n 1 ,
n
n BD02x 2 y 02
A DF B8
3
3P(x, x,0) PF( 2 x,2x,1)CD(2,0,0)
cos
2( 2x)
x
232
x[:Z&xx&] 3 2 2(2x)2122
P AC PF CD6012 1912
19
41
c3
a 2
b 2c2
a 2b2a3
a 215 b210x 2y 214
1510
2PA M8,6PAPA y 6 k x85
PA O x2y 210
68k
k 210
1
1 k 13 [:]
k
7
3
9
PA x 3y 10 0 13 x 9y 50 08
3AOB2
OA OB 10 cos2
10 2 cos 2
1 10
20 1
10
PO 2
OM 1010
2 PO 10 2
OA OB
55
155
OA OB
12
8
18
2012
1 f ( x)
2x
2
a
( x 0)x
[1,e] 2x 2
a [a
2,a
2e 2 ]
x
a
2 f (x) [1,e] a
2 x=1
f
(x)
0f (x) [1, e]
[ f ( x)] min
f (1) 1 2
2e 2
a
2x
a
( x)
01
x
a 0f (x)
f
f (x)
2
2
a
x e f (x) 0 f ( x) 2
[ f ( x)] min
f (
a ) a
ln( a )
a
4
2
2
2
2
a
2e 2 f (x) [1,e]a
2e 2 x=e f
( x) 0f (x) [1,e]
[ f ( x)] min f (e)
a e 2
6
1 (a 2)
[ f ( x)] min
a
ln( a ) a ( 2e 2
a
2) 7
2 2 2
a
e 2
(a
2e 2 )
3 f ( x) (a
2) xa( x ln x) x 2
2x
x
[1,e] , ln x 1 x
ln x xx
ln x 0
x 2 2x
[1,e]
9
a
x
x ln x
x 2 2x
x [1, e]g ( x)
( x 1)(x 2
2 ln x)
g( x)
ln x
( x
ln x) 2
x
x
[1, e]x 1 0, ln x 1 x
2 2 ln x 0
g ( x) x=1
g (x)
[1, e] 11[:
& & Z&X&X&K]
g(x) g(1) 1 a [ 1, ) 12。