高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)

答案：4 6 12
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
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共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
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类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
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2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
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1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
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5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
法．
答案：B
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2．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中 的项数是( )
A．48 项 B．36 项 C．24 项 D．12 项 解析：要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中 取一个因子，有 2 种取法； 第二步，从第二个因式中取一个因子，有 3 种取法； 第三步，从第三个因式中取一个因子，有 4 种取法． 由分步乘法计数原理知，共有 2×3×4＝24(项)． 答案：C
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归纳升华 对于组数问题的计数要注意： (1)在同一题目中涉及这两个原理时，必须搞清是先 “分类”，还是先“分步”，“分类”和“分步”的标准 是什么． (2)对于数字问题，要注意是否允许数字重复，各位 上的数字是否受到某些条件限制．一般按特殊位置(末位 或首位)由谁占领来分类，每类中再分步来计数． (3)当类别较多时，可用间接法．
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高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分 类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用同步课件 新人教A版选修2-3
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第一章 计数原理
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1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第 2 课时 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理的应用
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[学习目标] 1.进一步理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理(重点)． 2.能根据具体问题的特征，选择 两种计数原理解决一些实际问题(难点)．
操 宿舍区 场 餐厅 教学区
用同一种颜色．若有 6 种不同的颜色可选，
问有多少种不同的着色方案？
解：操场可从 6 种颜色中任选 1 种着色；餐厅可从剩
下的 5 种颜色中任选 1 种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色
都不能相同，故可从剩下的 4 种颜色中任选 1 种着色；教
学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从区别于宿
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虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位可以排 0， 因此，共有 4×5×5＝100(种)．
(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0，2，4，因此， 可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4×3＝12 种排法； 一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再 排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排 法，因此有 2×3×3＝18 种排法．因而有 12＋18＝30 种排 法，即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数．
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解：当使用四种颜色时，先着色第 1 区域，有 4 种方 法，剩下 3 种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对 的两块区域，有 3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理 得，共有 4×12＝48(种)．
当仅使用三种颜色时：从 4 种颜色中选取 3 种，有 4 种方法，先着色第 1 区域，有 3 种方法，剩下 2 种颜色涂 四个区域，只能是一种颜色涂第 2、4 区域，另一种颜色 涂第 3、5 区域，有 2 种着色方法，由分步乘法计数原理 得有 4×3×2＝24(种)．
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4．定义集合 A 与 B 的运算 A⊗B 如下：A⊗B＝{{x，
y}|x∈A，y∈B}，若 A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，
则集合 A⊗B 的元素个数为( )
A．34 B．43 C．12 D．16
解析：确定 A⊗B 中元素(x，y)，可分为两步，第一步， 确定 x，共有 3 种方法；第二步确定 y，有 4 种方法，根 据分步乘法计数原理，不同的方法共有 3×4＝12(种)，即 集合 A⊗B 的元素有 12 个．
舍区、餐厅 2 种颜色的 4 种颜色中任选 1 种着色．根据分
步乘法计数原理知，共有 6×5×4×4＝480 种着色方案．
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用两个计数原理解决计数问题时，要明确需要分类
还是需要分步．
(1)分类：是将完成这件事的所有方式分类．
分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类
进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步：是将完成这件事的每一个方式分步． 分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好
何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16 种
B．18 种 C．37 种 D．48 种
(2)从四人中选派 2 人值两天夜班，每班 1 人，则不
同值班方法的种数为________．
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解析：(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个 工厂进行社会实践有 43 种不同的分配方案，若三个班都 不去工厂甲则有 33 种不同的分配方案，则满足条件的不 同的分配方案有 43－33＝37(种)．故选 C.
综上，共有 48＋24＝72(种)．
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归纳升华 求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常 用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分 步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论法，适用 于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析．
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[变式训练] 下图是某校的校园设施 平面图，现用不同的颜色作为各区域的底 色，为了便于区分，要求相邻区域不能使
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[变式训练] 8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学， 每人 1 本，有多少种不同的分法？
解：分三步，每位同学取书一本，第 1、2、3 个同学 分别有 8、7、6 种取法，因而由分步乘法计数原理，不同 分法共有 N＝8×7×6＝336(种)．
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类型 3 涂色问题 [典例 3] 如图所示，一个地区分为 5 个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种(以数 字作答)?
完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每 一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一 步的方法数相乘，得到总数．
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(3)对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分 类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用 两个计数原理来解决问题．解决这类问题，首先，要明 确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分 类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确 定明确的分类标准和分步程序．
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3．某电话局的电话号码为 139××××××××， 若前七位已定好，最后四位数字是由 6 或 8 组成的，则这 样的电话号码一共有( )
A．8 个 B．16 个 C．20 个 D．32 个 解析：采用分步计数的方法，四位数字由 6 或 8 组成， 可分四步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原 理有 2×2×2×2＝24＝16(个)． 答案：B
(2)设四人依次为 A，B，C，D，从中选出 2 人值两 天夜班，排班方案有如下几种：
AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA， DB，DC.
即共有 12 种不同的值班方法． 答案：(1)C (2)12
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归纳升华 1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图 法、框图法或者图表法． 2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：(1)直 接法．直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原 理．(2)间接法．去掉限制条件，计算所有的抽取方法数， 然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
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1．两个计数原理的区别 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始 计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应 用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并 列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应 用乘法原理时，
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要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需 分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成， 这件事才算完成．
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结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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[变式训练] 用 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个 无重复数字的：
(1)银行存折的四位密码？ (2)比 2 000 大的 4 位偶数？ 解：(1)分步解决． 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 6 种选取 方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 5 种选取 方法；
第二类：个位是 2 的有 3×4×3＝36(个)； 第三类：个位是 4 的有 3×4×3＝36(个)； 则由分类加法计数原理得比 2 000 大的 4 位偶数有 48 ＋36＋36＝120(个)． 法二 用 0，1，2，3，4，5 可以组成的无重复数字 的四位偶数分两类： 第一类：个数是 0 的有 5×4×3＝60(个)； 第二类：个数是 2 或 4 的有 2×4×4×3＝96(个)．
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第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 4 种选 取方法；
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 3 种选 取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共 有 6×5×4×3＝360(个)．
(2)法一 按个位是 0，2，4 分为三类： 第一类：个位是 0 的有 4×4×3＝48(个)；
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