河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学
试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．全集{*x x =∈U N 且}10x <,{}1,3,5,7A =,{}6,7,8,9B =,则()A B =U
( )
A.{}2
B.{}2,4
C.{}7
D.{}2,4,7
2．已知()1f x ax =+,()222g x x x a =-+,1x ∃,[]20,1x ∈,()()12f x g x >,则a 的取值范围是( ) A.(),2-∞
B.()2,+∞
C.(),1-∞
D.()1,+∞
3．“a <1<-”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知0a >且1a ≠,()()1a x f x a -=与()a g x x =的图象可以是( )
A. B. C. D.
5．已知2log 3a =,3log 5b =,113c ⎛= ⎝A.a b c >>
B.b a c >>
C.c b a >>
D.c a b >>
6．已知0a >,0b >,a b +=A.4
B.6
C.8
D.9
7．已知0a >,b >2的一个充分不必要条件是( ) A.1ab ≥
B.a b +≥1b
+≥2≥8．已知()()1,2,x a x f x a x x x ⎧
-≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩
1>)的值域为D ,2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则a 的取值范围是( )
A.()1,2
B.()2,3
C.161,9⎛⎤ ⎥⎝⎦
D.16,29⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、多项选择题
9．已知13a -≤≤,12b ≤≤,则以下命题正确的是( ) A.16ab -≤≤
B.05a b ≤+≤
C.21a b -≤-≤
D.()()114a b +-≤
10．以下函数是偶函数的是( ) A.()22x x f x -=+ B.()2
11
f x x x =
-+ C.()(
)11f x x x =-≠±
D.()()lg 1012
x x f x =+-
11．已知()()22log 3f x x mx m =-++的定义域为D ,值域为M ,则( ) A.若D =R ,则M ≠R
B.对任意m ∈R ,使得()()57f f -=-
C.对任意m ∈R ,()f x 的图象恒过一定点
D.若()f x 在(),3-∞上单调递减,则m 的取值范围是{}6 12．20x bx c -+<的解集为()00,2x x +,则( ) A.244b c =+
B.若10b c -+>,则2
01x <
C.若00x >,则210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
D.b c +有最小值为94-
三、填空题
13．0x >时
,22
(1)x y x =+14．写出一个函数()f x 的解析式,满足:①()f x 是定义在R 上的偶函数;②0
x ≠
时,()1f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,则()f x =________.
15．全集{}1,2,3,4,5,6,7,8=U ,{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,如图中阴影部分的集合为M ,若x M ∃∈使得:2430x mx m -+-<,则m 的取值范围是________.
16．教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系:若()y f x =为奇函数,则
()y f x a b =-+的图象关于点(),a b 中心对称,易知:()f x =
()g x =四、解答题
17．已知集合{}2120,{2}(0)A x x mx B x x m m =+-<=-<>∣∣. （1）1m =时,求A B ;
（2）若B A ⊆,求m 的取值范围.
18．已知()f x 满足212x f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
.
（1）求()f x 的解析式;
（2）解不等式()()211f x f x -<--.
19．已知())
2log f x x =是奇函数.
（1）求a ;
（2）证明:()f x 是R 上的增函数. 20．()()()2
2222x x x x f x t --=-++.
（1）若t =()0f x <的解集;
（2）若()f x 最小值为1,求t .
21．已知二次函数()2f x x bx c =++,()f x x =的解为1-,3. （1）求b ,c ;
（2）证明:1-,3也是方程()()f f x x =的解,并求()()f f x x =的解集.
22．已知()12f x mx n x =-++的图象的对称中心为722,4m n ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭.
（1）求m ,n ;
（2）若在区间[],(2)a b a >-上,()f x 的值域为[],a b ,求a ,b .
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知:{}1,3,5,6,7,8,9A B =, 又因为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9=U ,所以(){}2,4A B =U
.
故选:B. 2．答案：A
解析：[]12,0,1x x ∃∈,()()12f x g x >,所以,()()12max min f x g x >,
()()2
222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减,所以()2min 21g x a =-,
当0a =时,()()2122212f x g x x x =>=-,即2
2
212x x >-,取210x x ==成立. 当<0a 时,()1max 1f x =,即211a -<,得1a <,所以<0a
当0a >时,()1max 1f x a =+,即121a a +>-,得2a <,所以02a <<, 综上:a 的取值范围是(),2-∞. 故选:A 3．答案：B
解析：不等式a <1a -<0<,所以()210a a -<, 即()()110a a a -+<,解得01a <<或1a <-,
故1a <-能推出a <<1<-,
所以“a <1<-”的必要不充分条件. 故选:B 4．答案：D
解析：对()()1a x f x a -=,该函数过定点()0,1,且()0f x >恒成立, 对()a g x x =,该函数过定点()0,0,
若01a <<,对()()1a x f x a -=,10a -<,则()1a x -在R 上单调递减, 又01a <<,故()f x 在R 上单调递增,
若1a >,对()()1a x f x a -=,10a ->,则()1a x -在R 上单调递增, 又1a >,故()f x 在R 上单调递增, 故排除AB;
对()g x ,由0a >且1a ≠,故()g x 在定义域内单调递增, 故排除C. 故选:D. 5．答案：A
解析：因为
3
2
234=<<,可知:3
2222log 2log 3log <<2a <<;
35<<=3333log 5log <<b <<105>,可知:1
5111033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=,即01c <<; 综上所述:c b a <<. 故选:A. 6．答案：C
解析：0a >,0b >,1a b +=,
()414144144b a b a a b a b a b a b a b -⎛⎫∴+=+=++-=++≥= ⎪⎝⎭=
a ==故选:C 7．答案：A
解析：对A 选项:若
ab ≥2≥≥,当且仅当a b =时等号成立,
当
4a =,b =
2≥,
但
1ab <,故0a >,0b >时,ab ≥2≥的充分不必要条件,故A 正确;
对B 选项:取a =
=825
=<,
故
a b +≥2≥的一个充分条件,故B 错误;
对C选项:取
a b =
=
12
=<,
1
b
≥2
≥的一个充分条件,
故C错误
;
2
≥
2
≥
2,
2
≥2
≥的充要条件,故D错误.
故选:A.
8．答案：
D
解析：若12
a
<<,当x≤()()1x
f x a
=-在
1
,
2
⎛⎤
-∞
⎥
⎝⎦
上单调递减,此时())
f
x∈+∞,
当
x>()22
a
f x x
x
=+-≥,当且仅当x=>
又函数()
f x的值域D满足
2
,
3
D
⎡⎫
⊆+∞⎪
⎢⎣⎭
,
则
2
1a
≥
⎪
⎪
⎨
⎪
<<
⎪
⎪
⎩
2
a
≤<;
若2
a=,()
1
1,
2
2
2,
x
f x
x x
x
⎧
≤
⎪⎪
=⎨
⎪+->
⎪⎩
1
2
≤时,()1
f x=,
当x>
()222
f x x
x
=+-
≥,当且仅当x=
又函数()
f x的值域)
2,
D⎡
=+∞
⎣
,
满足
2
,
3
D
⎡⎫
⊆+∞⎪
⎢⎣⎭,成立;
若2
a>,当x≤()(
)1x
f x a
=-在
1
,
2
⎛⎤
-∞
⎥
⎝⎦
上单调递增,此时()(
f x∈, 则(D⊆,
又(
2,3⎡⎫
⊆+∞⎪⎢⎣⎭
不成立,
所以此时2,3D ⎡⎫
⊆+∞⎪⎢⎣⎭
不成立;
2a ≤≤,
故选:D. 9．答案：BD
解析：对于A:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]2,6ab ∴∈-,故A 错误. 对于B:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]0,5a b ∴+∈,故B 正确. 对于C:[]1,2b ∈,[]3,2a b ∴-∈-,故C 错误.
对于D;[]10,4a +∈,[]10,1b -∈,()()[]110,4a b ∴+-∈,故D 正确. 故选:BD. 10．答案：AD
解析：A 选项,()f x 的定义域为R ,()()22x x f x f x --=+=, 所以()f x 是偶函数,符合题意.
B 选项,2
2131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,()f x 的定义域为R , ()1
13
f -=
,()11f =,()()11f f -≠,所以()f x 不是偶函数.
C 选项,()23
f -=-==()21f ==()()22f f -≠,所以()f x 不是偶函数.
D 选项,()()lg 101x f x =+()()110lg 101lg 2102
x x
x x x f x -+-=++=+
()()()lg 101lg10lg 10122
x x x x x
f x =+-+
=+-=,所以()f x 是偶函数. 故选:AD 11．答案：ACD
解析：对于A,要使定义域为R ,只需230x mx m -++>恒成立,
所以判别式()2430m m -+<,所以真数23x mx m -++不能取遍所有正实数,所以M ≠R ,故A 对
对于B,若()()57f f -=-,
即()()(
)
()()(
)
2
2
22log 553log 773m m m m ---++=---++,整理得
()()22log 286log 528m m +=+,得28605280
286528m m m m +>⎧⎪+>⎨⎪+=+⎩, 此时m ∈∅,故B 错;
对于C,()22331x mx m x m x -++=++-,因为与m 无关,所以10x -=,1x =,2log 42y ==,过定点（1,2),故C 正确;
对于D,若()f x 在(),3-∞上单调递减,只需函数23t x mx m =-++在(),3-∞上递减,且
()30t ≥,即3
2
9330
m m m ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩,解得6m =,故D 对. 故选:ACD 12．答案：AC
解析：由题意可知:方程20x bx c -+=的根为00,2x x +,则()00
0002222x x x b
x x c ++=+=⎧⎨+=⎩,
)
0022x x +-===,
整理得244b c =+,故A 正确;
对于选项B:例如02x =,则6
8
b c =⎧⎨=⎩,满足116830b c -+=-+=>, 则2
041x =>,故B 错误;
对于选项C:若00x >,则0020x x +>>,
不等式210cx bx -+<即为()()200022210x x x x x +-++<, 整理得()()001210x x x x -+-<⎡⎤⎣⎦,
令()()001210x x x x -+-=⎡⎤⎣⎦,
解得x =
=
且022
x +>>所以210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
,故C 正确;
对于选项D:因为()()()20000222222b c x x x x +=+++=+-≥-, 当且仅当02x =-时,等号成立, 所以b c +有最小值为2-,故D 错误; 故选:AC.
13．答案：3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
解析：因为0x >,令()10,11t x =
∈+,则1
1x t
=-, 则2
2
2
111111t y t t t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭=+=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
,()0,1t ∈, 可知21y t t =
-+开口向上,对称轴为
t =
0112
||1,|t t t y y y ======所以21y t t =-+在()0,1内的值域为3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
,
即22(1)x y x =+)0,+∞内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.
故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
14．答案：0,0
ln ,0
x x x =⎧⎨≠⎩(答案不唯一)
解析：由题意可得:()0,0
ln ,0
x f x x x =⎧=⎨≠⎩符合题意.
故答案为:0,0ln ,0
x x x =⎧⎨
≠⎩.
15．答案：()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
解析：因为{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,所以{}2,3,7B C =, 图中阴影部分表示的集合为(){}3,7B C A =U ,即{}3,7M =,
由题意,233430m m -+-<或27743
0m m -+-<,解得6m <-或m >所以m 的取值范围是()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
. 故答案为:()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 16．答案：51,4
⎛⎫ ⎪⎝⎭
解析：因为()2121212121x x x x f x -+-===-++()12
1121x f x --=
-+,
()()1111312221232212221221x x x x x x g x ----⎛⎫⨯+++ ⎪+⎝⎭====++⨯+所以()()()151115444
g x f x f x =--+=---⎡⎤⎣⎦, 因为()y f x =为奇函数,则()14
y f x =-也奇函数, 所以()g x 关于点51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称, 故答案为:51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
17．答案：（1）{}13A B x x =<<
（2）01m <≤
解析：（1）当1m =时,{}{}212043A x x x x x =+-<=-<<, {}13B x x =<<,所以{}13A B x x =<<.
（2）化简{
}2
1202m A x x mx x ⎧-+⎪=+-<=<<⎨⎪⎪⎩⎭, {}{}222(0)B x x m x m x m m =-<=-<<+>,
若B A ⊆,
则1m <≤. 18．答案：（1）()21,22
x f x x x -=≠- （2）()2,2-
解析：（1）令2132222x t x x -==+≠--,
则x =则(
)f t =()212
x f x x -=-,2x ≠. （2）因为211x -≤,11x --≤-,
因为(
)2122x f x x -==-),2-∞内单调递减, 若()()211f x f x -<--,则211x x ->--,即220x x --<, 则2020x x x ≥⎧⎨--<⎩或2020
x x x <⎧⎨+-<⎩,解得02x ≤<或20x -<<, 所以不等式()()211f x f x -<--的解集为()2,2-. 19．答案：（1）1a =
（2）证明见解析
解析：（1）因为(
))2
log f x x =是奇函数,则()()0f x f x +-=,
可得
))()222222log log l 0og log x x x a x a +==+-=,解得1a =. （2）由（1）可知:(
))
2log f x x =,
x
>=≥-0x >对任意x ∈R 恒成立,
所以()f x 的定义域为R .
对任意1x ,[)20,x ∈+∞,且120x x ≤<,
则2212111x x ≤+<+,可得1≤<
所以121x x ≤<,
则))2122log log x x <,即()()12f x f x <, 所以()f x 在[)0,+∞内单调递增,
又因为()f x 为奇函数,则()f x 在(],0-∞内单调递增, 且()f x 连续不断,所以()f x 是R 上的增函数. 20．答案：（1）()1,1-
（2）12
t = 解析：（1）因为
()()()()()()()22222222242222224x x x x x x x x x x x x f x t t t ------⎡⎤=-++=+-++=+++-⎢⎥⎣⎦, 令
222x x m -=≥=+,当且仅当22x x -=,即0x =时,等号成立, 则24y m tm =+-,2m ≥,
若t =29410
y m m =--,2m ≥,
令294010y m m =--<,可得2m ≤<
即22x x -+<
()22522x x -⨯+<22x <<,可得11x -<<, 所以()0f x <的解集为()1,1-.
（2）若()f x 最小值为1,结合（1）可知:24,2y m tm m =+-≥的最小值为1,
因为24y m tm =+-的开口向上,对称轴为2t m =-, 若22
t -≤,即4t ≥-时,24y m tm =+-在[)2,+∞内单调递增, 可知当2m =时,24y m tm =+-取得最小值,
即4241t +-=,解得t =
2>,即4t <-时,24y m tm =+-在2,2t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递减,在,2t ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭
单调递增,
可知当m =24y m tm =+-取得最小值,
412t t ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭
,无解;
综上所述:t =21．答案：（1）1b =-,3c =-
（2）证明见解析,{}
- 解析：（1）因为()f x x =的解为1-,3,则11933b c b c -+=-⎧⎨++=⎩,解得13
b c =-⎧⎨=-⎩. （2）由（1）可知:()23f x x x =--,且()11f -=-,()33f =, 则()()()111f f f -=-=-,()()()333f f f ==, 即1-,3也是方程()()f f x x =的解,
对于()()f f x x =,即()()()22223333f x x x x x x x --=------=,
整理得:()(()(310x x x x -+=,解得x =
所以()()f f x x =的解集为{}
-.
22．答案：（1）m =14= （2）1a =-,2b =
解析：（1）由()12
f x mx n x =-++可知,定义域为{}2x x ≠-,其图象对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,
故有222m n --=-,即1m n +=,有()2m n -⨯-+===
即()1324f x x x =-+72,4⎫-⎪⎭,
检验计算得()()(
)131131442444244f x f x x x x x +--=
-++---+=+--+
即m =
=（2）当
x >-34x 都随x 的增大而减小, 故()f x 在()2,-+∞上单调递减,
又()f x 在区间[],(2)a b a >-上,()f x 值域也为[],a b ,
故有()()f a b f b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,即131********
4a b a b a b ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩,且2a b -<<, 解得1a =-,2b =.。