直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)

直线与圆的概念公式及拓展
一．直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。

注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,
0π； 直线和平面所成角⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；
2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。

直线方程：Ax+By+C=0的斜率B
A
k -
=。

方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率m
n k =。

已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1
21
2x x y y k --=。

二．直线方程的五种形式：
1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。

2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。

3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为
1
21
121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。

4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+b
y
a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。

拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。

直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。

2.设直线方程的一些常用技巧：
（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。

（2）已值直线x 轴截距x 0 ,常设其方程为0x my x +=（它不适用于斜率为0的直线）。

（3）已知直线过点(x 0，y 0)，
当斜率k 存在时，常设其方程为00)(y x x k y +-=； 当斜率k 不存在时，则其方程为x=x 0。

（4）与直线：Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为Ax ＋By ＋C 1＝0。

（5）与直线：Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为B x -Ay ＋C 1＝0。

三．两直线的位置关系：
1.直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系：
（1）平行:01221=-B A B A （斜率相等）且01221≠-C B C B （在y 轴上的截距不相等）或01221=-C A C A （特殊直线不重合）； （2）相交：01221≠-B A B A ；
（3）重合：01221=-B A B A 且01221=-C B C B ； （4）垂直：02121=+B B A A 。

2.两直线的夹角公式： （1）2
11
21tan k k k k +-=
α。

（111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，121-≠k k ）
（2）
2
1211
221tan B B A A B A B A +-=α。

（l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，02121≠+B B A A ）
两直线垂直不可用这两个公式。

四．直线系与点到直线的距离： 1.直线系方程：
①过两直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0。

交点的直线系方程可设为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ；
②与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )； ③与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程可设为Bx -Ay ＋n ＝0。

2.),(00y x P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式2
2
00B
A C By Ax d +++=
；
两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离2
2
21B
A C C d +-=。

3.三角形△ABC 三顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，
则重心G ⎪⎭
⎫
⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。

4.对称的一些结论：
（1）点（a,b ）关于x 轴的对称点（a,-b ）；
点（a,b ）关于y 轴的对称点（-a,b ）； 点（a,b ）关于原点的对称点（-a,-b ）； 点（a,b ）关于直线y=x 的对称点（b,a ）。

（2）曲线0),(=y x f 关于下列点和直线对称的曲线方程为：
①关于点（a,b ）对称：0)2,2(=--y b x a f ；②关于x 轴对称：0),(=-y x f ；
③关于y 轴对称：0),(=-y x f ；④关于原点对称：0),(=--y x f ； ⑤关于直线y=x 对称：0),(=x y f ；⑥关于直线y=-x 对称:0),(=--x y f ; ⑦关于直线x=a 对称:0),2(=-y x a f 。

五．圆的方程：
1.圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C (a ，b )，半径长为r 。

2.圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
只有当D 2＋E 2－4F >0时，该方程表示以⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,2E D 为圆心，以242
2F E D -+为半
径的圆。

3.圆的参数方程：()为参数θθθ
⎩
⎨⎧+=+=sin cos r b y r a x ，其中圆心为(a ，b )，半径长为r 。

圆的参数方程应用是三角换元，将二元变量转化为一元变量，便于求最值与范围。

4.以()),(,,2211y x B y x A 为直径的圆的方程0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ；
5.阿波罗尼斯圆：平面内一动点P 到两定点A 、B 的距离之比是一个常数K ，若K=1，则P 的轨迹即为线段AB 的中垂线；若K ≠1，则P 的轨迹为圆，且圆心在直线AB 上，此圆称为阿波罗尼斯圆。

六．圆的切线方程：
1.点),(00y x P 在圆2
22r y x =+上，则过点P 的切线方程：200r y y x x =+；
2.若),(00y x P 是圆2
22r y x =+外一点，由),(00y x P 向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，
则直线AB 的方程为2
00r y y x x =+（切点弦方程）。

3.如果),(00y x P 在圆2
22r y x =+内，那么直线方程200r y y x x =+表示与圆相离且垂直
于OP （O 为圆心）的直线方程，2
r d OP =⋅（d 为圆心O 到直线的距离）。

4.经过圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-上一点P （x 0 , y 0）的圆的切线方程为
200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

5.若P （x 0 , y 0）是圆2
22)()(r b y a x =-+-外一点，由),(00y x P 向圆引两条切线，切
点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为2
00))(())((r b y b y a x a x =--+--。

6.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果用点到直线的距离公式只求出了一个k 的值，那么另一条就是与x 轴垂直的直线，即斜率不存在的直线。

7.圆的切线长公式：
（1）从圆外一点P （x 0 , y 0）引圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的切线，则点P 到切点的切线长
22020)()(r b y a x d --+-=。

（2）从圆外一点P （x 0 , y 0）引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则点P 到切点的切线长
F Ey Dx y x d ++++=002
020。

七．直线与圆、圆与圆的位置关系：
1.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断
2.圆与圆的位置关系:两圆的位置关系及其判定
若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：
3.圆系方程：
（1）具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程。

（2）常见的圆系方程有以下几种：
①同心圆系方程：2
2
2
)()(r b y a x =-+-（r>0）,其中a,b 是定值，r 是参数。

②半径相等的圆系方程：2
2
2
)()(r b y a x =-+-（r>0），其中r 是定值，a,b 是参数。

③过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的交点的圆系方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F +λ（Ax ＋By ＋C ）＝0（λ∈R ）.
④过两圆C 1:x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2: x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程： x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1+λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）=0 （λ≠-1）（其中不含有圆C 2，因
此需检验圆C 2是否满足题意，以防产生漏检）。

当λ≠-1时，方程变为）0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ,表示过两圆的交点的直线：
I ：当两圆是同心圆时，此直线不存在；
II ：当两圆相交时，此直线为公共弦所在的直线； III:当两圆相切时，此直线为两圆的公切线。