课件2：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

5×4×3×3= 180种等.
３.如右图,用5种不同颜色给图中的A、B、C
、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种
颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂
色方案有________种.
A
B
C
D
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成.第一步涂A有5
种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方
所以得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色
中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的
颜色,不同的涂色方案有多少种？
思考：
若用2色、4色、5色等,结
果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4×3×2×2 = 48、
，不同的路线有
条.
2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年
级的学生4名.
①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从
甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不
的专业选择共有多少种？
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案
中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方
法，在第3类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件
事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若
干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分类加法计数原理
种不同的方法.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 :
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题
②不同点：
1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分
为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独
立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是
独立完成；
2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要
(1)
(2)
变式训练:
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不
同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,
组合是完成某项工作的方法种数的知识.
问题1：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有 3
班，汽车有2 班，那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地共有
火车3
多少种不同的走法？
甲
火车2
火车1
汽车1
乙
汽车2
从甲地到乙地，有2类办法，第1类办法乘火车，有3种不同的
走法，第2类办法乘汽车，有2种不同的走法，那么从甲地到
图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不
能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作
答）
5
1
6
2
3
4
解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，
从同颜色的花入手分类求
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有
N1=4×3×2×2×1=48种；
分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都
不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这
件事，是合作完成.
例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数
字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_______种
分析： １号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法，１
号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有
３种填法，其余两个方格只有１种填法，所以共有3*3*1=9种不
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48
种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种
所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
5、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种
颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正
上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2
+ 2 = 6 条.
2.如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥
的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ B）对
法.根据分步计数原理,共有5×4×3×2＝120种方法.
第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂
B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝
60种方法.
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法.
４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右
A.12
B.24
C.36
D.48
课堂小结
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”
还是“分步”，
其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时
要做到“不重不漏”，
在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之
间的连续性．
课堂小结
分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将
其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不
乙地共有3+2 = 5种不同的走法。
问题2：
从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙
地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天
中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
火车3
甲
火车2
火车1
丙
汽车1
乙
汽车2
从甲地到乙地，需要分成2个步骤，第1步从甲地到丙地有3种不
同的走法，第2步从丙地到乙地有2种不同的走法，那么从甲地到
第一章
计数原理
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
高中数学选修2-3·同步课件
引入
2010年夏季在南非举行的第19届世界杯足球赛共有32个队
参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队
按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了
第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识．排列、
乙地共有3×2 = 6种不同的走法。
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方
法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有
N= m +n种不同的方法.
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2
步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m n种不同的方
解：第1步：从30名男生中选出1人，有30种不同选择
第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择
根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选法
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1 种不同
的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第3步有m3 种不同的
方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
同的方法.
二、映射个数问题:
例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不
同的映射?
三、染色问题:
例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中
相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为①着色时共有多少种方法?
(2)若为②着色时共有120种不同方法,求n
法.
典例解析
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所
大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
化学
医学
物理学
工程学
数学
会计学
信息技术学
法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻
学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能
解：（1）从书架上任取1本书，有3类方法：
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法;
第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法;
第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法;
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝4＋3＋2＝9
（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3各步骤完成：
一般归纳：
完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同
的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法
中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
种不同的方法.
例2：设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生
各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同
方法，那么应当如何计数呢？
分步乘法计数原理
一般归纳：
完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同
的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法
中有 m 种不同的方法.那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
（３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的
方法？
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一、排数字问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?
(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?
(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的
仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本
思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间
互相独立，“步”间互相联系．
第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6
例5、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求
用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可
以给多少个程序命名？
解：第1步：选首字符，共有7＋6＝13种选法;
第2步：选中间字符，共有9种选法;
方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种
涂色方法？
6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植
一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种
植方法共有_____种（以数字作答）
课堂练习
1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点
的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法;
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法;
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法;
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝4×3×2＝24
例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右
两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法
同的走法共有
种.
4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名
来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有
种不同的推选方法.
自主练习：
三个比赛项目，六人报名参加.
（１）每人参加一项有多少种不同的方法？ 36 729
（２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的
方法？
6 5 4 120
第3步，选最后一个字符，共有9种选法;
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053个不同的名称
巩固练习
1.填空：
①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第
2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种是
.
②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村