2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(五十三) 二项式定理 Word版含解析

课时达标检测（五十三） 二项式定理

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 二项式的通项公式及应用

1．二项式⎝

⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( ) A ．180

B ．90

C ．45

D ．360

解析：选A ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ⎝⎛⎭⎫2x 2k ＝2k C k 10x 5－52

k ，令5－52

k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180. 2．已知⎝

⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( ) A. 3

B ．－ 3

C ．6

D ．－6 解析：选D T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－2r 2，由5－2r 2＝32

，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.

3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )

A ．30

B ．20

C ．15

D ．10

解析：选C (1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，则x (1＋x )6的展开式中含x

3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.

4．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( )

A ．－210

B ．210

C ．30

D ．－30

解析：选A (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)

9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210，故选A.

5．(2017·山东高考)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.

解析：(1＋3x )n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 3r x r ，∴含有x 2项的系数为C 2n 32＝54，∴n ＝4.

答案：4

6.⎝⎛⎭

⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛a －2 x 2d x 的值为________． 解析：该二项展开式的第二项的系数为

36C 16a 5，由36C 16a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎠⎛a －2x 2d x ＝⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝x 3

3|－1－2＝－13＋83＝73. 答案：73

7．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x 3的项的系数是________．

解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.

答案：－121

8．(x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)

解析：x 2y 7＝x·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78

－C 68＝8－28＝－20.

答案：－20

对点练(二) 二项式系数的性质及应用

1．若(1＋mx)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为

( )

A ．1或3

B ．－3

C ．1

D ．1或－3

解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m)6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.

2．若(1＋x)(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )

A ．－2

B ．－3

C ．125

D ．－131

解析：选C 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2，令x ＝0，则a 0＝1.又a 8＝C 77(－2)

7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.

3．(2018·河北省“五校联盟”质量检测)在二项式(1－2x)n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )

A ．－960

B ．960

C ．1 120

D ．1 680

解析：选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，n ＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，

且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1 120x 4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C .

4．若⎝

⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( )

A ．－10

B ．10

C ．－45

D ．45

解析：选D 因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ·(x 2)n －r ·(－1)r x －r 2＝C r n (－1)r x2n －5r 2

，所以C 2n C 4n ＝314，∴n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·x20－5r 2，令20－5r 2

＝0，∴r ＝8.∴常数项为T 9＝C 810(－1)8＝45.

5．在二项式⎝ ⎛⎭

⎪⎫9x －133x n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为________．

解析：因为二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所以2n －1＝256，

解得n ＝9.所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －133x 9的展开式中，通项为T r ＋1＝C r 9(9x)9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－133x r ＝C r 999－r ·⎝⎛⎭⎫－13r x9－43r.令9－43

r ＝1，解得r ＝6，所以展开式中x 的系数为C 69×93×⎝⎛⎭⎫－136＝84. 答案：84

6．在二项式⎝⎛⎭

⎫x －1x n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________．

解析：∵在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴n ＝8.∵⎝⎛⎭

⎫x －1x 8的展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 8x

8－2r ，令8－2r ＝2，则r ＝3，∴展开式中含x 2项的系数是－C 38＝－56.

答案：－56

7．在(x ＋y)n 的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于____________． 解析：根据题意，分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，