北京一六一中2015-2016学年上学期九年级数学期中考试试题

A B
C
D
E
北京一六一中学2016届第一学期期中考试
九 年 级 数 学 试 题
班级______________姓名______________学号_________
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 A ．（1，2） B ．（1，-2）
C ．（-1， 2）
D ．（-1，-2）
2. 在平面直角坐标系中，已知点)0,3(A 和点)4,0(-B ，则OAB ∠cos 等于 A ．
34 B ．54 C ．43 D ．5
3
3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．
若AD ＝1，DB ＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于
A ．1
2
B ．14
C ．1
8
D ．19
4. 将二次函数2
y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数解析
式是
A.2
(1)2y x =++ B.2
(1)2y x =-- C.2
(1)2y x =+- D.2
(1)2y x =-+
5. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位 似中心，相似比为3
1
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ， 则点C 的坐标为
A ．(2，1)
B ．(2，0)
C ．(3，3)
D ．(3，1)
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6，
那么AD 的值为 A.
32
B. 9
2 C. 2
D.
7. 如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离CE=8m ，测得
旗杆的顶部A 的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB 的高度是 A ．m )3828(+ B ．m )388(+ C ．m )33828(+
D ．m )33
88(+
8. 下列关于二次函数）
＞1(122a ax ax y +-=的图象与x 轴交点的判断，正确的是 A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y 轴右侧 C.有两个交点，且它们均位于y 轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y 轴右侧
9. 二次函数2
y ax bx c =++
（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：
①20a b +>；②0abc <；③
2
40b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正确的个数是
D C
A
B
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =16．点P
是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边 AC （或边CB ）于点Q ，设AP =x ，△APQ 的面积为y ， 则y 与x 之间的函数图象大致是
二、填空题（本题共18分, 每小题3分）
11. 写出一个开口向下，顶点坐标为)2,0(-的抛物线的解析式 ____________.
12. 在∆ABC 中，若2
3
sin =A ，33tan =B ，则=∠C _____________°.
13．如图，△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．
要使△ABD ∽△ACB ，需要补充的一个条件为 ．
14. 如图，抛物线2
y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标
分别为
()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为
__________．
15. 在△ABC 中，45B ∠=
，AB =，6AC =，则
BC = .
16. 定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；
当
a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．
（1）{}
2
min x -1,-2=______________；
（2）若2min{2,3}3x x k -+-=-,则实数k 的取值范围是_____________.
三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7
分，第29题8分）
17.
2sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒
18. 解方程:0742
=--x x
19. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 边上的点，∠AED =∠C ，
AB =6，AD =4， AC =5, 求AE 的长．
20. 抛物线2
2y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．
21. 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，3=∆ABC S ，
︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．
22. 已知二次函数322
--=x x y .
（１）将322--=x x y 化成2
()y a x h k =-+
（２）与 y 轴的交点坐标是___________,
与 x 轴的交点坐标是_______________, （３）在坐标系中利用描点法画出此抛物线.
B
C
A
C
D
B
A
A ．
B ．
C ．
D ．
A C
B
D
E
A
（４）不等式0
3
2
2>
-
-x
x的解集是___________.
23. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，
4
sin
5
A=，BC=8，D是AB中点，
过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos ABE
∠的值．
24. 已知抛物线22
(21)
y x m x m m
=--+-
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线33
y x m
=-+的一个交点在y轴上，求m的值．
25.随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的
生活. 某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，
可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日
的各项支出共2100元．
(1) 若某日共有x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为元；
(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？
26.阅读下面材料：
某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，
BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE
相交于点P，求
AP
PD
的值．
他发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和
计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：（1）
AP
PD
的值为．
参考这个同学思考问题的方法，解决问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的
延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ．
（2）求
AP
PD
的值；
（3）若CD=2，则BP= ．
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线223(0)
y mx mx m
=--≠与x轴交于(3,0)
A，B两点．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）当23
x
-<<时的函数图象记为G，求此时函数y的取
值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻
折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若
经过点(4,2)
C的直线(0)
y kx b k
=+≠与图象M在第三
图1 图2 图3
象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．
28. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接
DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当︒=0α时，_____________=BD AE ；② 当︒=180α时，.__________=BD
AE
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，DB
AE
的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决
当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
29. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，
则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数1
y x
=
()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的
取值范围；
（3）将函数()210y x x m m =-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，
当m 在什么范围时，满足
3
14
t ≤≤？
北京一六一中学2016届第一学期期中考试
九年级数学试题答案和评分标准
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. A
2. D
3. D
4. C
5. A
6. A
7. D
8. D
9. B 10. D
二、填空题（本题共18分, 每小题3分）
11. 22
--=x y （答案不唯一） 12. 90° 13. C ABD ∠=∠ （答案不唯一）
14. 1,221=-=x x 15. 333± 16. 2;2-≥-k
E
C
D
B
A
（图1）
E D
B
A
C （图2）
（备用图）
C B
A
三、解答题（本题共72分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题7
分，第28题8分）
17.解：解：原式21
1322332
+⨯-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯= …………………………4分 2
1
3213+--=
0=． ……………………………………5分
18.解： 112,11221-=+=x x ……………………………………5分 19. 证明: 在△AED 和△ACB 中，
∵∠A =∠A , ∠AED =∠C , ……………2分 ∴ △AED ∽△ACB. ………………3分 ∴ .AB
AD
AC AE = ………4分 ∴
.6
4
5=AE ∴ .3
10
=
AE ------------5分
20. 设平移后抛物线的表达式为2
2y x bx c =++．………………………………………1分
∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，
∴3,
382.c b c =⎧⎨=++⎩
………………………………………………………………………3分
解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩
…………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为2
243y x x =-+．……………………………………5分 解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. …………………………………………1分
∴设平移后抛物线的表达式为()2
21y x k =-+．…………………………………2分 ∴()2
3221k =⨯-+．.………………………………………………………………3分 ∴1k =．.………………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为()2
211y x =-+． …………………………………5分
21.解：过点A 作BC AD ⊥，交CB 的延长线于点D ………1分
在△ABC 中，3=∆ABC S ，2=BC
32==
∴∆BC
S AD ABC
………2分
135=∠ABC
45=∠∴ABD ∴232==AD AB ……… 3分
3==AD BD ……… 4分
在Rt △ADC 中，5=CD ，3422=+=
CD AD AC …5分
22. 解：（1）4)1(2
--=x y ………………1分 （2）)3,0(- ……………… ２分 （３,０）（-１,０）……………… ３分 （３） 图 ……………… ４分 （４）1-<x 或3>x ……………… ５分
23. （1）∵△ABC 中，∠ACB =90°，4
sin 5
A =
， BC =8， ∴ 8
10sin 5
BC AB A =
==．…………………………………1分 ∵△ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 中点，
D
C B A
A
∴1
52
CD AB ==．…………………………………2分
（2）法一：过点C 作CF ⊥AB 于F ，如图．
∴∠CFD =90°．
在Rt △ABC
中，由勾股定理得6AC =．
∵CF AB AC BC ⋅=⋅， ∴24
5
AC BC CF AB ⋅=
=．………………………………3分 ∵BE ⊥CE ， ∴∠BED =90°． ∵∠BDE =∠CDF ，
∴∠ABE =∠DCF ．………………………………………4分
∴2424
5cos cos 525
CF ABE DCF CD ∠=∠===． …………………………………5分 法二：∵D 是AB 中点，AB =10，
∴1
52
BD AB =
=．……………………………………………………………………3分 ∴1
2
BDC ABC S S ∆∆=
． 在Rt △ABC
中，由勾股定理得6AC =．
∴1
68242
ABC S ∆=
⨯⨯=． ∴12BDC S ∆=．
∴1
122
BE CD =． ∵5CD =，
∴24
5
BE =
． ………………………………………………4分 ∵BE ⊥CE ， ∴∠BED =90°．
∴24
24
5cos 525
BE ABE BD ∠===．……………………………………………………5分（1）２４．证明：∵ △=[]2
2(21)4()
m m m ----
…………………………………… 1分
=2
2
44144m m m m -+-+ =1＞0，
∴ 此抛物线与x 轴必有两个不同的交点． ……… 2分
（2）解：∵ 此抛物线与直线错误！未找到引用源。

33y x m =-+的一个交点在y 轴上，
∴ 2
33m m m -=-+． ……………………………………… 3分 ∴ 2230m m +-=．
∴ 13m =-，21m =． ………………………… 5分 ∴ m 的值为3-或1．
2５ .解：（1）120+5x ；………………………………………………………………………………………… 1分
（2）设有x 辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为y 元．
根据题意，有24. 24.()()4012052100y x x =-+-．………………………………… 3分
即 25802700y x x =-++． ∵05<-，
∴当80
82(5)
x =-
=⨯-时，y 有最大值. y 有最大值是
3020. ……………………………………………………………………………………………… 4分
∴120+5x =120+5×8=160. …………………………………………………………………………………… 5分
答：当每辆车的日租金为160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为3020元.
A
25.
26. .解：
PD AP 的值为2
3
. …………………………………………………………………1分 解决问题：
（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分
设DC ＝k ， ∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .
∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，
∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP . ∴DB
AF
PD AP =. ∴3
2
=PD AP . …………………………………………………………………4分
（2） 6. ……………………………………………………………………………5分
27． （1）将()3,0A 代入，得1m =．
∴抛物线的表达式为2
23y x x =--． …1分
B 点的坐标()1,0-． ………………2分
（2）()2
2
2314y x x x =--=--．
∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小； 当13x ≤<时，y 随x 增大而增大， ∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．
∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分
（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点(
)4,2时，
解析式为22
55
y x =+．…….…………… …5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时，
解析式为78
63
y x =
-．………. ……………6分 结合图象可得，
b 的取值范围是82
35
b -<<． ………….7分
28. （1）分
分 （2）无变化-----------------------------3分
由图1可知，DE 是ABC ∆的中位线，AB DE //∴
CB
CD
AC CE =∴
CDE ∆ 在旋转过程中大小形状不变
CB
CD
AC CE =∴
仍然成立 α=∠=∠BCD ACE
ACE ∆∴∽BCD ∆----------------------4分
BC
AC
DB AE =∴
2
5
854=
=∴
BC AC 2
5
=
∴
BD AE ----------------------------------5分 （3
）…………………………………………7分 29.解：（1）)0(1
>=
x x
y 不是－―――――――１分 )24(1≤<-+=x x y 是，边界为3―――――――――２分 （2）1+-=x y y 随x 增大而减小 当a x =时，21=+-=a y 1-=a 当b x =时，1+-=b y
⎩⎨
⎧><+-≤-a
b b 2
12
31≤<-∴b ――――――――――――４分
（3）若1>m ，函数向下平移m 个单位后，0=x 时，函数的值小于1-，此时函数的边界t 大于1，与题意不符，故1≤m ――――――――――――５分 当1-=x 时，1=y （-1,1） 当0=x ，0min =y 都向下平移m 个单位，
)1,1(m --
（0，m -）
1143≤-≤m 或4
31-≤-≤-m 410≤≤∴m 或14
3
≤≤m ――――――――――８分。