高中数学 第3章 计算导数同步练习 北师大版选修11

计算导数同步练习
一,选择题:
1．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A、5
B、 25
C、35
D、0
2、设
P
点是曲线
3
2
3
3+
-
=x
x
y上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A、
2
[0,)[,)
23
π
ππ
⋃ B、
5
[0,)[,)
26
π
ππ
⋃ C、)
,
3
2
[π
π D、)
6
5
,
2
(π
π
3、已知函数6
3
)
(2
3-
+
=x
ax
x
f，若4
)1
('=
-
f，则实数a的值为（）
（A）
3
19
（B）
3
16
（C）
3
13
（D）
3
10
4.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则
x
f
x
f
x
)1(
)
1(
lim
-
+
→
= ( )
A．2 B．1 C．
2
1
D．
4
1
5．若曲线y=f (x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为2x－y+1=0，则（）
（A）f’(x0)>0 （B）f’(x0)<0 （C）f’(x0)=0 （D）f’(x0)不存在
6．设曲线2x
y=在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（）
A．（3，9）B．（－3，9）C．（
4
9
,
2
3
）D．（
4
9
,
2
3
-）
7．函数
A．4x+3 B．4x-1 C．4x-5 D．4x-3
8、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）
A B C D
9、设)
(x
f是可导函数，且=
'
=
∆
-
∆
-
→
∆
)
(
,2
)
(
)
2
(
lim
x
f
x
x
f
x
x
f
x
则（）
A．
2
1
B．－1 C．0 D．－2
10、已知曲线1
22+
=x
y在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（）
A （1，3）
B （-4，33）
C （-1，3）
D 不确定
=
-
=
-)
('
,
2
)1
(2x
f
x
x
x
f则
11、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是（ ） A )(0x x f ∆+ B x x f ∆+)(0 C x x f ∆)(0 D )()(00x f x x f -∆+
12、已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则
x
y ∆∆等于（ ） A 2 B 2x C x ∆+2 D 2+2)(x ∆
二,解答题:
13. 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥
（Ⅰ）求直线2l 的方程；
（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积..
14.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和
C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
答案:
1.A
2.A
3.D
4.B
5.A
6.C
7.D
8.D
9.B 10.C 11.D 12.C
13. 解：y ′=2x +1.
直线l 1的方程为y=3x －3.
设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2
因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.3
2,31-=-
b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).2
5,61
(- l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,3
22(-
. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 14.分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a 的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可.
（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是： y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①
函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是
即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②
如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， x 1+1=－x 2
所以
－ x 21=x 22+a.
消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.
若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－2
1，此时点P 与Q 重合.
即当a=－21
时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41
.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21
时C 1和C 2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有
x 1+x 2=－1,
y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2
+a=－1+a .
线段PQ 的中点为).21,21(a
+-
-
同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a
+-
-
所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.。