线性代数测试试卷及答案

线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）
⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)
1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+
2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )
(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--
4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??
= ? ?-
的矩阵为A ,那么( )
(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??
=
5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)
1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；
2. 设100210341A -?? ?
=- ? ?-??
，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；
3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；
4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；
5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式2
2
2
111
a
b c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；
10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）
1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?
= ? ???
，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.
2. 求⾏列式
12342341
34124123
的值.
3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.
四﹑(10分)设有齐次线性程组
12312312
3(1)0,(1)0,(1)0.
x x x x x x x x x λλλ+-+=??
-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:
222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.
六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为
123: 230,: 230,: 230.
l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.
线性代数（A 卷）答案
⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A
⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-1
6. ()()()c a c b b a ---
7. 0
8. 111,,23---
9. 405t -<< 10. 11
42A I +
三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于
110111011A I ?? ?
-= ? ???
(4分)
⽽
1()A I --=011111110-?? ?
- ? ?-??
. (7分)
所以
10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?
=-=-=- ??? ? ??? ?--??????
. (9分)
2. 解
1
2342
34134124123=
1023410341104121012312
341341
1014121123
= (4分) 12340113
10
00440
004
-=-- (8分) 160= (9分) .
3. 解由于
31
12341234011301131301053307330733r r --
---- - --
----
324212345011300212700424r r r r -??
---
+ ?--?? 43
123401132002120000r r -??
-- +
(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。

(9分) 四﹑解程组的系数⾏列式
111111111
A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- (2分)
①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,程组有唯⼀的零解; (4分) ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,程组的系数矩阵为
12 1 21 1 11 2 A -??
=- -
,
它有⼀个⼆阶⼦式
12
3021
-=-≠-,因此秩(A )2n =<(这⾥3n =),故程组有⽆穷多个解.对A 施⾏初等
⾏变换,可得到程组的⼀般解为
13233
3,,,
x x x x x x =??
=??=? 其中3x 可取任意数; (7分) ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,程组的系数矩阵为
11 1 11 1 11 1 A ??
=
,
显然,秩(A )1n =<(这⾥3n =),所以程组也有⽆穷多个解.对A 施⾏初等⾏变换可得程组的⼀般解为
123223
3,,
,
x x x x x x x =--??
=??=? 其中23,x x 可取任意数. (10分)
五﹑解⼆次型的矩阵为
12 2 21 2 22 1 A ?? ?
= ? ???
, (2分)
因为特征多项式为
21
2 2
2
1 2 (1)(5)22 1
I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-(⼆重)和5. (4分)
把特征值1λ=-代⼊齐次线性程组()0I A X λ-=得
1231231
232220,2220,2220,
x x x x x x x x x ---=??
---=??---=? 解此程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为
12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.
利⽤施密特正交化法将12,αα正交化:
11(1,0,1)T βα==-, 211
(,1,)22
T β=--,
再将12,ββ单位化得
1T η=
,2(T η=, (8分) 把特征值5λ=代⼊齐次线性程组()0I A X λ-=得1231231
234220,2420,2240,
x x x x x x x x x --=??
-+-=??--+=? 解此程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.
再将3α单位化得
3T
η=. (10分) 令
123(,,)0
P ηηη?? ? ?
==
则P 是⼀个正交矩阵,且满⾜
1100010005T P AP P AP --??
==- ? ???
.
所以,正交变换X PY =为所求,它把⼆次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. (12分)
六﹑证明:必要性
由123,,l l l 交于⼀点得程组
230
230230ax by c bx cy a cx ay b ++=??
++=??++=?
有解,可知
231()()230()10231a b c
b c R A R A b
c a a b c c a c a b
a b
=?=?++= (2分)
由于222
1211[()()()]01b c
c
a b a c b a c a b
=--+-+-≠,所以0a b c ++= (3分)
充分性：0()a b c b a c ++=?=-+
2222222()2[()][()]022312366()10231a b
ac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ??
=-=-+=-++-≠??
==++=?⼜因为
()()2R A R A ?==, (5分) 因此程组
230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=??
++=??++=?
有唯⼀解，即123,,l l l 交于⼀点. (6分)
线性代数习题和答案
第⼀部分选择题 (共28分)
⼀、单项选择题（本⼤题共14⼩题，每⼩题2分，共28分）在每⼩题列出的四个选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填在题后的括号。

错选或未选均⽆分。

1.设⾏列式a a a a 111221 22=m ，a
a a a 131123
21=n ，则⾏列式a
a a a a a 111213
21
2223
++等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n -m
D. m -n
2.设矩阵A =100020003?? ??
，则A -1
等于（）
A. 13000
12000
1??
B. 1000
1200013?
C.
1
3
00
010
00
1
2
D.
1
2
00
1
3
001
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的⾏向量组线性⽆关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数µ1，µ2，…，µs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和µ1β1+µ2β2+…+µsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（）
A.所有r-1阶⼦式都不为0
B.所有r-1阶⼦式全为0
C.⾄少有⼀个r阶⼦式不等于0
D.所有r阶⼦式都不为0
8.设Ax=b是⼀⾮齐次线性程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的⼀个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的⼀个解
C.η1-η2是Ax=0的⼀个解
D.2η1-η2是Ax=b的⼀个解
9.设n阶阵A不可逆，则必有（）
A.秩(A)
B.秩(A)=n-1
C.A=0
D.程组Ax=0只有零解
10.设A是⼀个n(≥3)阶阵，下列述中正确的是（）
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和⾮零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同⼀个特征向量
D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征程的3重根，A的属于λ0的线性⽆关的特征向量的个数为k，则必有（）
A. k≤3
B. k<3
C. k=3
D. k>3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）
A.|A|2必为1
B.|A|必为1
C.A-1=A T
D.A的⾏（列）向量组是正交单位向量组。