《高等数学 II》第9章 综合测试解答

华东政法大学2009-2010学年第二学期 刑事司法学院09年级计算机科学与技术专业
《高等数学 II 》第九章综合测试解答
学院：________ 班级：_____学号：_________姓名：________任课教师：_____
一、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请在每小
题的空格中填上正确答案。

错填、不填均不得分。

1、函数2
2
1)ln(),(y
x x x y y x f --+
-=的定义域为 .
解: f (x, y ) 的定义域为}1,0,0|),{(22<+≥>-y x x x y y x 2、设),ln(22y xy x z ++= 则=∂∂+∂∂y
z y x z x
. 解: 2222222=+++⋅++++⋅=∂∂+∂∂y
xy x y x y y xy x y x x y z
y x z x
3、设,),(,),(2222y x y x y x y x f -=+=ϕ 则=)],(),,([y x y x f f ϕ .
解: ).(2)()()],([)],([)],(),,([4422222222y x y x y x y x y x f y x y x f f +=-++=+=ϕϕ
4、若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点(1, -1)处取得极值, 则常数a = .
解: 因,4),
(2y a x y x f x ++= 所以),(y x f 在点(1, -1)处取得极值应有
50
)1
(4,0)1,1(2-==-++=-a a f x 故即
二、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每
小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写
在题后的括号内。

错选、多选或未选均不得分。

1、函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿=OA {1, 2, 1}方向的方向导数等于 .
(A) 47-
(B) 41 (C) 61 (D) 6
7- 解: 66,24,32-=-+=++=z U x y U y x U z y x 故 ,6,2,3)
0,0,0()
0,0,0()
0,0,0(-=-==z
y
x
U U U
而方向余弦为 ,66,36,66⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
故所求方向导数 = 6
7
666664663-
=-⋅-⋅
.故选(D). 2、设),(y x u φ=, 而φ,x
e y =具有连续二阶偏导数, 则22dx
u
d 等于 .
(A) x x x e e e 22221112φφφφ+++ (B) 22212112φφφφ+++x e (C) x x x e e e 22222112φφφφ+++ (D) x x x e e e 222212112φφφφ+++ 解: 因为2121Φ+Φ=Φ+Φ=x e dx
dy dx du
而 Φ1, Φ2仍按原来的复合关系, 故 .
2)(2222121122222112112222112
112
2x x x x x x x x x e e e e e e e e e dx
dy
dx dy dx u d Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=
故选(D)
3、设,)(z y x u -= 而,22y x z += 则y x u u +等于 .
(A) )]ln())(()([21y x y x y x y x z z z --++-- (B) z y x z )(2- (C) )ln()()(2y x y x y x z
-+- (D) )ln()(21y x y x z --+ 解: 因为),ln()(ln 22y x y x u -+= 两端对x 求偏导:
y
x y x y x x u u x -++-=1
)()ln(222 两端对y 求偏导, 得
y
x y x y x y u
u y --++-=1
)
()ln(222
故 ).ln()()(2)]ln()(2[)(y x y x y x y x y x y x u u z z y x -+-=-+-=+ 选(C).
4、函数⎪
⎩⎪
⎨⎧=+≠+++=0,
20,)(2sin ),(222
22222y x y x y x y x y x f 在点(0, 0)处 .
(A) 无定义 (B) 无极限 (C) 有极限但不连续 (D) 连续
解: 因为 )0,0(2)
(2sin lim ),(lim 22220
000f y x y x y x f y x y x ==++=→→→→, 故 ),(y x f 在(0, 0)连续. 选(D).
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1、求2
2
1
)ln(lim
y
x e x y y x ++→→
解: .2ln )ln()ln(lim
12
2
2
2
1=++=
++==→→y x y y y x y
x e x y
x e x
2、设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,试求
dx
dy . 解:由),(t x f y =及0),,(=t y x F 确定出t y ,为x 的函数)(),(x t t x y y ==,将给定的两个方程的两边对x 求导,便有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='+'+'∂∂+'=0dx dt F dx dy F F dx
dt t f f dx dy t y x x
解之, 得
=dx dy t y t x t t x f F F F f F f '
'+'''-'' 3、设),,(x v u f z =, ),(y x u ϕ=,)(y v ψ=,求复合函数)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数x
z
∂∂与
y
z ∂∂. 解: 由复合函数求导法,得
321f x f x f x z '+∂∂'+∂∂'=∂∂ψϕ,31f x
f '+∂∂'=ϕ
=∂∂y
z dy d f y f ψϕ21'+∂∂')(21y f y f ψϕ''+∂∂'=.
4、求由方程2222=+++
z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分.dz
[解法一] 对方程两边求全微分可得
+
++xydz xzdy yzdx 02
2
2
=++++z
y x zdz ydy xdx
将1,0,1-===z y x 代入上式可得
0)(2
1=-+
-dz dx dy
由此得到dy dx dz 2-= [解法二] 设=),,(z y x F 2222-+++
z y x xyz
x F '=2
2
2
z
y x x yz +++
; y F '=2
2
2
z
y x y xz +++
;z F '=2
2
2
z
y x z xy +++
222222z y x xy z z y x yz x F F x z z x ++++++-=''-=∂∂;222222z y x xy z z y x xz y F F y z z y ++++++-=''-=∂∂
=dz dx z
y x xy z z y x yz x 2
2
2
222++++++-
dy z
y x xy z z y x xz y 2
2
2
222++++++-
将1,0,1-===z y x 代入上式可得
dy dx dz 2-=
5、设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y
x 所确定,求曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方
程。

[解法一]方程两边对x 求导,得
0)sin()()2(2='++'++xy y x y e y y x
解得 )
sin()
sin(222xy x e xy y e dx dy y
x y x ++-=++, 所以
2)
1,0(-=dx dy
因此法线的斜率为
2
1
,法线方程为022=+-y x .
[解法二]设),(y x F 1)cos(2+--=+e xy e y x
)sin(22xy y e F y x x +='+, )sin(2xy x e F y x y +='+
)
s i n ()
s i n (222xy x e xy y e F F dx dy y
x y x y x ++-=''-=++, 则
2)
1,0(-=dx dy
因此法线的斜率为
2
1
,法线方程为022=+-y x . 6、设),,(xy y x f u += 且f 有连续二阶偏导数, 求x
u
∂∂及y x u ∂∂∂2
解:
21yf f x
u
+=∂∂ 22
12112222121211221
2)(]
[xyf f y x f f xf f y f xf f y
f y f y f y x u ++++=++++=∂∂++∂∂=∂∂∂ 7、求函数xyz u =在点(3, 4, 5)处沿锥面22y x z +=的法线方向的方向导数.
解: M 点处的法线方向为
2
2
cos ,522cos ,1023cos ,1,54,53
=±=±
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±=γβαn 在点M 处, ,12,15,20======M
z M
y M
x xy
u xz u yz u 故
.26)2
2
(12)522(15)1023(20±=⨯+±⨯+±
⨯=∂∂ M
n
u
四、证明题（本大题共7分）
证明: ⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(422
y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处不连续, 但存在一阶偏导数
证: 1lim ),(lim 2442400
2+=+=→→=m m
y y m my y x f y y my x
)0,0(00lim )0,0(),0(lim )
0,0(00
lim )0,0()0,(lim
)0,0(),(),(lim 0000)
0,0(),(y y y x x x y x f y y f y f f x x
f x f y x f y x f ==∆=∆-∆==∆=∆-∆→∆→∆→∆→∆→处不连续
在故不存在
五、应用题（本大题共8分）
某养殖场饲养两种鱼, 若甲种鱼放养x (万尾), 乙种鱼放养y (万尾), 收获时两种鱼的收获量分别为 x y x )3(βα--和)0()24(>>--βααβy y x ,
求使产鱼总量最大的放养数.
[解] 设总产量为z , 则z =xy y x y x βαα224322---+, 由极值的必要条件,得方程组
0223=--=∂∂y x x
z
βα
0244=--=∂∂x x y
z
βα 0>>βα, 方程组的唯一解)
2(234,2232
202
20βαβ
αβ
αβ
α--=
--=
y x . 记α22
2-=∂∂=x z A , ,22β-=∂∂∂=y x z B ,422α-=∂∂=y
z
C 有0,0)2(42
2
2
<<--=-A AC B βα, 因此z 在),(00y x 处有极大值. 又由问题的实际意义,知最大值是存在的, 所以z ),(00y x 即最大值. 易验证0,000>>y x ,且
⎪⎩⎪⎨
⎧
>=-->=
--.
02)24(,023)3(00000000y y y x x x y x αββα 综上所述, 0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.。