高考数学(理科)复习第十单元 第54讲 离散型随机变量及其分布列

0,1,2,P(X=0)=CC2252=0.1,P(X=1)=C
1 3
·C
C 52
1 2
=0.6,P(X=2)=
C C
2 3 2 5
=0.3,所以
X
的分布列为
X01
2
P 0.1 0.6 0.3
课堂考点探究
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
例 1 (1)设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
课堂考点探究
变式 (1)已知离散型随机变量 X 的分布列为
X01 2 P 0.5 1-2q 13q
则 P( ������∈Z)= ( )
A.0.9
B.0.8 C.0.7
D.0.6
(2)设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=2������������(i=1,2,3),
则 P(X=2)= ( )
P(X=0)等于
.
[答案]
1 3
[解析] 设 X 的分布列为
X0
1
Pp
2p
其中“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验 成功,由 p+2p=1,得 p=13,即 P(X=0)=13.
课前双基巩固
4.[教材改编] 设随机变量 X 的分布列为
则 p=
X1234 5 1111
P 12 6 3 6 p
.
1 2
+
1-2������
+
������2
=
1,
可;(2)由分布列的性质求出 m,然后
根据随机变量 X 的分布列可得出
η=|X-1|的分布列.
课堂考点探究
[答案] (1)C (2) η012 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3
1-2������ ≥ 0,
[解析] (1)由分布列的性质知
������2 ≥ 0,
一次),设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为34,23,12,并且三个人每 2,2.5,3,3.5,4,根据相互 人租车都不会超过 60 分钟,甲、乙均租用 A 型单车,丙租用 B 型单车. 独立事件的概率公式
(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;
求出各种情况对应的
(2)设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列.
解:(1)由表知,年龄在[15,25)内的有 5 人,持不赞成态度的有 1 人,年龄在[25,35)内的有 10
人,持不赞成态度的有
4
人.所以所求概率
P=CC
× 1
4
C 41 C 61
2 5
C
2 10
+CC
2 4 2 5
×CC12420
=140×2445
+160×465=2725.
(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.
X
2
3
1
3
P
4
4
课堂考点探究
[总结反思] 随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的,可依据互斥事 件的概率加法公式求分布列.
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课堂考点探究
考向3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法
[思路点拨] (1)利用相 例 4 [2018·兰州模拟] 某智能共享单车备有 A,B 两种车型,采用分段计 互独立事件的概率公
P(ξ=0)=CC
2 4 2 5
×CC12620
=160×1455
=15,
P(ξ=1)=CC4152×CC12620
+CC 4252
×C41
C
1 6
C
2 10
=140×1455+160×2445=3745,
P(ξ=2)=2725,
P(ξ=3)=CC
1 4 2 5
×CC12420
=140×465=745,
其中 m= min{M,n} ,且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布.
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对点演练
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中,各个概率之和可以小于 1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )
P(η=0)=P(X=1)=0.1, P(η=2)=P(X=3)=0.3, P(η=3)=P(X=4)=0.3.
因此 η=|X-1|的分布列为
η
0
1
2
3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
课堂考点探究
[总结反思] 分布列性质的两个应用: (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个 概率值均为非负数; (2)随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变 量在某个范围内的概率.
费的方式租用 A 型单车每 30 分钟收费 0.5 元(不足 30 分钟的部分按 30 式,分两种情况计算概
分钟计算),B 型单车每 30 分钟收费 1 元(不足 30 分钟的部分按 30 分钟 率;(2)随机变量 ξ 的所
计算).现有甲、乙、丙三人,分别相互独立地到租车点租车骑行(各租一车 有可能取值有
件”)=210+250=130. (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3.
P(X=2)=P(“当天该商品销售量为 1 件”)=250=14,
P(X=3)=P(“当天该商品销售量为 0 件”)+P(“当天该商品销售量为 2 件”)+P(“当天该商品销
售量为 3 件”)=210+290+250=34, 所以 X 的分布列为
少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率. 确地理解随机变量取值的意
(1)求当天商店不进货的概率;
义才能解决这个关键问题.
(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列.
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解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天该商品销售量为 0 件”)+P(“当天该商品销售量为 1
(3)若随机变量 X 的分布列为
X
2
5
P
0.3
0.7
则 X 服从两点分布. ( )
(4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人,其中女演员的人数 X 服
从超几何分布. ( )
[答案] (1)× (2)√
(3)× (4)√
[解析] (1)离散型随机 变量的分布列中,各个 概率之和等于 1. (3)两点分布中一项试 验有两个结果,随机变 量的取值为 0 与 1.
态度,随机抽查了 50 人,将调查结果进行整理后制成下表:
年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数 4
6
9
6
3
4
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(1)若从年龄(单位:岁)在[15,25)和[25,35)这两 组的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调 查,求恰有 2 人持不赞成态度的概率; (2)在(1)的条件下,令选中的 4 人中不赞成“车 辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列.
A.19
B.16
C.13
D.14
[答案] (1)A (2)C
[解析] (1)由分布列的性质得 0.5+1-2q+13q=1,解得 q=0.3,所以 P( ������∈ Z)=P(X=0)+P(X=1)=0.5+1-2×0.3 =0.9.故选 A. (2)由分布列的性质得1+22������+3=1,解 得 a=3,所以 P(X=2)=2×23=13.故选 C.
[思路点拨] (1)分两种情况讨论,要么 2 人 都从年龄在[25,35)内选取,要么从年龄在 [15,25)和[25,35)这两组中各选取 1 人,根据 互斥事件的概率加法公式求解即可;(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应 的概率,然后列出随机变量 ξ 的分布列.
课堂考点探究
1 2
+
1-2������
+
������2
=
解得 1,
q=1-
22.故选
C.
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(2)由分布列的性质知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以 m=0.3.
列表如下:
X
0123
4
η=|X-1| 1 0 1 2
3
所以 η 的所有可能取值为 0,1,2,3,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,
C
������ -������ ������ -������
C ������������
,k=0,1,2,…,m,即
X0
1
…
P
������M0 ������Nn--M0 ������M1 ������Nn--M1
������Nn
������Nn
…
m
������Mm ������Nn--Mm ������Nn
X=
则 X 的分布列为
0,事件������未发生,
X
0
1
P
1-p
p
则称 X 符合两点分布(也称伯努利分布),其中 p=P(X=1)
称为成功概率.
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(2)超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事
件{X=k}发生的概率
C
P(X=k)=
������ ������
(1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X 取每一个值
xi(i=1,2,…,n)的概率 P(X=xi)=pi,则以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi …
xn
P p1 p2 … pi …
pn
将上表称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 ,简称为 X 的 分布列 ,有时为了表
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考点二 离散型随机变量分布列的求法
考向1 与排列、组合有关的分布列的求法
例 2 [2018·南阳模拟] 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中
我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾天气出一份力.为
此,很多城市实施了机动车尾号限行措施,某市某报社为了解该市区公众对“车辆限行”的
P(ξ=2)=34×23×12=14,P(ξ=2.5)=34×13×12+14×23×12=254, P(ξ=3)=34×23×12+14×13×12=274,P(ξ=3.5)=34×13×12+14×23×12=254,
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2.[教材改编] 从标有 1~10 的 10 支竹签中任取 2
支,设所得 2 支竹签上的数字之和为 X,那么随机
变量 X 可能取得的值有
个.
[答案] 17
[解析] X 可能取得的值有 3,4,5,…,19,共 17 个.
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3.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随
机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则
P
1 1-2q q2
2
则 q 等于 ( )
A.1
B.1±22
C.1-
2 2
D.1+
2 2
(2)设离散型随机变量 X 的分布列为
X0123 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
则 η=|X-1|的分布列为
.
[思路点拨] (1)由分布列的性质得
1-2������ ≥ 0,
������2 ≥ 0,
解不等式组即
概率,即可得出分布列.
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解:(1)由题意,甲、乙、丙在 30 分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为14,13,12, 设“甲、乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件 A,
则 P(A)=34×23×12+14×13×12=274. (2)随机变量 ξ 的所有可能取值有 2,2.5,3,3.5,4,则
例 3 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:
日销售量(件) 0 1 2 3
[思路点拨] 解决随机变量分
频数
1595
布列问题的关键是正确求出
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开 随机变量可以取哪些值以及
始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存量 取各个值对应的概率,只有正
[答案]
1 4
[解析] 由分布列的性质,得112+16+13+16+p=1,∴
p=1-34=14.
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5.从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机
取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变
量 X 的分布列为
.
[答案]
X01 2 P 0.1 0.6 0.3
[解析] 因为 X 的所有可能取值为
达简单,也用等式 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n 表示 X 的分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质:
① pi≥0(i=1,2,…,n)
������
;② ∑ pi=1.
������=1
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3.常见的分布列
(1)两点分布:一项试验有两个结果,其中事件 A 发生的概率为 p,令
1,事件������发生,
所以 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
1
34 22
4
P
5
75 75
75
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[总结反思] (1)与排列、组合有关的分布列要注意计数原理、古典概型等知识的 应用; (2)在求离散型随机变量 ξ 的每一个取值对应的概率时,先求简单易求的,复杂的最 后可以用间接法求.
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考向2 与互斥事件有关的分布列的求法
第54讲 PART 10
离散型随机变量 及其分布列
课前双基巩固│课堂考点探究│课间10分钟│教师备用例题
课前双基巩固
知识聚焦
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 ,常用字母 X,Y,ξ,η,…表示.所有取 值可以一一列出的随机变量,称为 离散型随机变量 .
课前双基巩固
2.离散型随机变量的分布列及其性质