2018秋新版高中数学北师大版必修5:第三章不等式 3.2.1.2

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当 a<0时, ������ 2 < ������ < 2 ;
������
当 0<a<1时,
������
������ > 2 或������ < 2
������
;
当 a=1 时,{x|x∈R 且 x≠2};
当 a>1时,
������
������ > 2 或������ < 2
������
.
12345
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形,使一端为0,且二次项系数大于0;
(2)计算相应的判别式Δ=b2-4ac;
(3)当Δ>0时,求出相应的一元二次方程的两根;
(4)根据一元二次不等式解的结构,写出其解集. 【做一做1】 若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,
������2-1 < Δ<0
0,
求解.
解:(1)当 a2-1=0,即 a=±1 时,
若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.
若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0,
即 x< 1 , 不符合题意,舍去.
2
(2)当 a2-1≠0,即 a≠±1 时,原不等式的解集为全体实数的条件是
������2-1 < 0, Δ = (������-1)2
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R). 解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0. 当a<0时,a<a2,解集为{x|x<a或x>a2}; 当a=0时,a2=a,解集为{x|x≠0}; 当0<a<1时,a2<a,解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=1时,a2=a,解集为{x|x≠1}; 当a>1时,a<a2,解集为{x|x<a或x>a2}. 综上所述,当a<0或a>1时,解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,解集为{x|x≠0}; 当a=1时,解集为{x|x≠1}.
则实数m的取值范围是( ).
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,
∴Δ=m2-4>0.
解得m<-2或m>2. 答案:C
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典例透析
IANLITOUXI
答案:B
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题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 易错辨析
易错点:对参数讨论的结果求并集出错致误
【例4】 解关于x的不等式(x-2)a=0 时,原不等式可化为 x-2<0,解集为{x|x<2}.
⇔[f(x)]min≥a.
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题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 已知不等式mx2-2x+m-2<0.
(1)若对所有实数x不等式恒成立,求m的取值范围;
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
������ > 2 或������ < 2
������
.
当 a=1 时,2= 2 , ∴ 解集为{x|x∈R 且 x≠2}.
������

a>1
时,2>
2 ������
,

解集为
������
������ > 2 或������
<2
������
.
综上所述,原不等式的解集为{x|x<2}或 ������ 2 < ������ < 2 或
解:(x-a)������(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,
所以-x2+x+a2-a<1,即 x2-x-a2+a+1>0 对 x∈R 恒成立.
则 Δ=1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0,即(2a-3)·(2a+1)<0,
解得 − 1 < ������ < 3.
②当 a>1 时,(*)式⇔1 < ������ < 1;
������
③当
0<a<1
时,(*)式⇔1<x<
1.
������
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题型一 题型二 题型三 题型四
综上所述,当 a<0 时,解集为
������
������
2 < ������ < 2
������
.
③当 a>0 时,原不等式可化为(x-2)
������-
2 ������
> 0.
当 0<a<1 时,2< 2 , ∴ 解集为 ������ ������ > 2 或������ < 2 .
������
������

a=1
时,2=
2 ������
,
第2课时 含参数的一元二 次不等式及恒成立问题
-1-
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典例透析
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1.掌握一元二次不等式的解法. 2.能够求解含参数的一元二次不等式和不等式恒成立问题.
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件是当 a=0 时,b=0,c>0;当 a≠0时,
������ > 0, Δ < 0.
(2)不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是
当 a=0 时,b=0,c<0;当 a≠0时,
������ < 0, Δ < 0.
类似地,还有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a;f(x)≥a 恒成立

解集为{x|x∈R

x≠2}.

a>1
时,2>
2 ������
,

解集为
������
������ > 2 或������ < 2
������
.
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题型一 题型二 题型三 题型四
综上所述,原不等式的解集为:当 a=0 时,{x|x<2};
������
������
������ > 2 或������ < 2
������
或{x|x∈R 且 x≠2}或
������
������ > 2 或������ < 2
������
.
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题型一 题型二 题型三 题型四
分析:(1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图像求解;(2)看做关
于m的一次函数,利用其单调性求解.
解:(1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-2<0恒成立,
即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图像全部在x轴下方.
当m=0时,-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立;
当m≠0时,由二次函数的图像可知有
2
2
即实数 a 的取值范围为 ������ - 1 < ������ < 3 .
2
2
反思求解新定义问题时,需先弄清新定义的含义,然后根据定义求
解问题.
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题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练3】 在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-
������ < 1 或������ > 1
������
;
当a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为 ������ 1 < ������ < 1 ;
������
当a=1 时,解集为⌀;当 a>1 时,解集为
������
1 < ������ < 1
������
.
反思解含参数的一元二次不等式要注意:
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【做一做2】 不等式-4x2≥1-4x的解集为
.
解析:∵原不等式可化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0.
∴原不等式的解集是 ������ ������ = 1 .
2
答案: ������ ������ = 1
2
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即x的取值范围是(0,1).
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题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 与二次不等式有关的新定义问题 【例3】 在R上定义运算������ :A������ B=A(1-B),若不等式(x-a)������ (x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 分析:先根据条件中的定义将问题转化,再根据“恒成立”求a的取 值范围.
错因分析:此题讨论a的取值范围,求解x的取值范围,由于不是同
一个变量,故不能取并集,而应该分5种情况下结论.
正解:①当 a=0 时,原不等式可化为 x-2<0,
∴解集为{x|x<2}.
②当 a<0 时,原不等式可化为(x-2) ������- 2 < 0.
������
∵2>
2 ������
,

解集为
+
4(������2 -1)
<
0,
解得

3 5
<
������
<
1.
综上所述,当

3 5
<
������≤1
时,原不等式的解集为全体实数.
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反思(1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的条
2)<0的实数x的取值范围为( ).
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
解析:根据给出的定义,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-
2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是(-2,1).
(1)当二次项系数不确定时,要分大于零、等于零、小于零三种情
况进行讨论.
(2)当判别式大于零时,只需讨论两根的大小.
(3)当判别式不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种
情况进行讨论.
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若 a<0,则原不等式⇔ ������- 1 (������ − 1) > 0⇔x< 1 或x>1.
������
������

a>0,则原不等式⇔
������-
1 ������
(������ − 1) < 0. (∗)
其解的情况应由 1 与1 的大小关系决定,故:
������
①当 a=1 时,(*)式⇔x∈⌀;
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题型二 不等式恒成立问题
【例2】 当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全体实
数?
分析:解答本题应先考虑 a2-1=0 的情形,然后按
②当 a<0 时,原不等式可化为(x-2) ������- 2 < 0.
������
∵2>
2,∴解集为
������
������
2 < ������ < 2
������
.
③当 a>0 时,原不等式可化为(x-2) ������- 2 > 0.
������

0<a<1
时,2<
2 ������
,

解集为
������
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1如果A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,那么实数a的取值范围为( ).
������ < 0, Δ = 4-4������(������-2)
<
0,
解得m<1−
2.
综上所述,m 的取值范围是(-∞,1− 2).
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题型一 题型二 题型三 题型四
(2)设g(m)=(x2+1)m-2x-2,它是一个以m为自变量的一次函数,由 x2+1>0,知g(m)在[-2,2]上是增加的,故只需g(2)<0即可,即2x2+2-2x2<0,解得0<x<1.
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题型一 解含参数的一元二次不等式
【例1】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
分析:参数a是否为零决定了方程的次数,参数a也导致方程的根
的大小不确定,要进行分类讨论.
解:若 a=0,则原不等式⇔-x+1<0⇔x>1.
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