高考数学文科一轮复习北京卷B课件：6.4 数列求和、数列的综合应用

aa12
a2 4, 2a1 1,
则
aa12
1, 3.
又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,
得an+1=3an.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,则b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.
则
aa12
1, 3.
又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,
得an+1=3an.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,则b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.
当n≥3时,Tn=3+ 9(1 3n2 ) - (n 7)(n 2) = 3n n2 5n 11 ,
13
2
2
2, n 1,
所以Tn=
3n
n2
2
5n
11, n
2, n
N*.
解析
(1)由题意得
aa12
a2 4, 2a1 1,
所以,Sn= n(n 1) .
2
(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n= 2 (1 2n ) -n=2n+1-n-2.
1 2
由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得
n(n 1) +2n+1-n-2=n+2n+1,
2
整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.
5.(2016课标Ⅱ,17,12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
解析 (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
评析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识,考查数列求和的基本 方法和运算求解能力.
7.(2016浙江,17,15分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
解析
(1)由题意得
所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,
所以4Tn=1·42+2·43+…+n·4n+1,
两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1
= 4(1 4n ) -n·4n+1
1 4
=1 3n ×4n+1- 4 .
Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,
上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,
2
2
2
即{bn}是首项为 1 ,公差为1的等差数列.
2
设数列{(-1)nbn2 }的前n项和为Tn,则
T2n=(-b12 +b22 )+(-b32 +b42 )+…+(-b22n1 +b22n )
=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n= 2n(b1 b2n ) =2n2.
2
思路分析 (1)利用“基本量”思想,建立关于a1,q的方程求解;(2)利用分组求和法求解.
=12 (1 2n ) -4-(6n-2)×2n+1
1 2
=-(3n-4)2n+2-16. 得Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.
方法总结 (1)等差数列与等比数列中分别有五个量,a1,n,d(或q),an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解. (2)数列{anbn},其中{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,求{anbn}的前n项和 应采用错位相减法.
所以,Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N*.
评析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本 方法和运算求解能力.
9.(2015山东,19,12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列
an
1 an1
的前n项和为
n.
2n 1
(1)求数列{an}的通项公式;
解得a1=1,d=
2 5
.
(3分)
所以{an}的通项公式为an=
2n 5
3
.
(5分)
(2)由(1)知,bn=
2n 5
3
.
(6分)
当n=1,2,3时,1≤ 2n 3 <2,bn=1;
5
当n=4,5时,2≤ 2n 3 <3,bn=2;
5
当n=6,7,8时,3≤ 2n 3 <4,bn=3;
5
,则cn=
2n 1 .
2n
因此Tn=c1+c2+…+cn=
3 2
+
5 22
+
7 23
+…+
2n 1 2n1
+
2n 1 ,
2n
又
1 2
Tn=
3 22
+
5 23
+
7 24
+…+
2n 1 2n
+
2n 1 ,
2n1
两式相减得
1 2
Tn=
3 2
+
1 2
1 22
1 2n1
-
2n 1 2n1
,所以Tn=5-2n2n
6.(2016天津,18,13分)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且
1 a1
-
1 a2
=
2 a3
,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nbn2 }的前2n项和.
解析 (1)设数列{an}的公比为q.
由已知,有
1 a1
-
1 a1q
=
2 a1q2
,解得q=2,或q=-1.
又由S6=a1·11qq6 =63,知q≠-1,
所以a1·1 26 =63,得a1=1.所以an=2n-1.
1 2
(2)由题意,得bn= 1 (log2an+log2an+1)= 1 (log22n-1+log22n)=n- 1 ,
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.
当n≥3时,Tn=3+ 9(1 3n2 ) - (n 7)(n 2) = 3n n2 5n 11 ,
13
2
2
2, n 1,
所以Tn=
3n
n2
2
5n
11, n
2, n
N*.
易错警示 (1)当n≥2时,得出an+1=3an,要注意a1与a2是否满足此关系式.(2)在去掉绝对值时,要考虑n =1,2时的情形.在求和过程中,要注意项数,最后Tn要写成分段函数的形式.
解析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本 方法和运算求解能力. (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2. 所以,bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①. 由S11=11b4,可得a1+5d=16②, 联立①②, 解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n. (2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n, 2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1, 上述两式相减,得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1
8.(2015天津,18,13分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2 a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
解析
(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有
(1)设{an}的公比为q, 由题意知:a1(1+q)=6, a12 q=a1q2, 又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.
(2)由题意知:S2n+1= (2n 1)(b1 b2n1) =(2n+1)bn+1,
2
又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.
令cn=
bn an
5
.
易错警示 “错位相减法”求和的关键: (1)明确右边求和的是n项还是(n-1)项; (2)式子合并化简.
3.(2017天津,18,13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且 公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
2q
q
4
2 3d 2, 3d 10,
消去
d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*;数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则
4.(2016课标Ⅰ,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=
1 3
,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
解析
(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=
1 3
,得a1=2,
(3分)
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (5分)
解析 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数
列求和的基本方法和运算求解能力. (1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=
1 2n =2n-1.
1 2
设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=
bn 3பைடு நூலகம்
,
(7分)
因此{bn}是首项为1,公比为
1 3
的等比数列.
记{bn}的前n项和为Sn,
(9分)
则Sn=
1
1
1
n
3
1
=
3 2
-
1 2 3n1
.
3
(12分)
方法总结 本题考查了等差、等比数列的问题,重点在于转化递推公式,并且紧紧围绕等差、 等比数列的定义进行求解.
当n=9,10时,4≤ 2n 3 <5,bn=4. (10分)
5
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
(12分)
疑难突破 充分挖掘[x]的意义,进而将{bn}的表达式类比分段函数给出,从而求出数列{bn}的 前10项和.
评析 本题考查了等差数列,同时对考生的创新能力进行了考查,充分理解[x]的意义是解题的 关键.
(2)设bn=(an+1)·2an ,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)设数列{an}的公差为d.
令n=1,得 1 = 1 ,
a1a2 3
所以a1a2=3.
令n=2,得 1 + 1 = 2 ,
a1a2 a2a3 5
所以a2a3=15. 解得a1=1,d=2, 所以an=2n-1.
(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,
所以,n的值为4.
2.(2017山东,19,12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列
bn an
的前n项和Tn.
解析 本题考查等比数列与数列求和.
高考文数 (北京市专用)
§6.4 数列求和、数列的综合应用
五年高考
统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 数列的求和
1.(2018天津,18,13分)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其 前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.