二次函数的图像与性质专题训练

二次函数的图象与性质专题
【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +
b 2a )2+4ac−b 24a 2， 对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b a
c b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．
【题型1 二次函数的配方法】
【例1】用配方法将下列函数化成y ＝a （x -h ）2+k 的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）y ＝2x 2+4x -1 （2）y =12x 2﹣2x +3； （3）y ＝（1﹣x ）（1+2x ）；
【知识点2 二次函数的五点绘图法】
利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【例2】已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3
（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点；
（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
①二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ②一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”. ③常数项c ：总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2， ②y =bx 2， 
③y =cx 2， ④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系
为 .(用“>”连接)
【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）
A．②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤
【例3-3】函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
【知识点4 二次函数图象的平移变换】
平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k
=−+，确定其顶点坐标()
h k
，；
②平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【题型4 二次函数图象的平移变换】
【例4】要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【知识点5 二次函数图象的对称变换】
2
y ax bx c
=++关于x轴对称，得到2
y ax bx c
=−−−；关于y轴对称，得到2
y ax bx c
=−+；
()2
y a x h k
=−+关于x轴对称，得到()2
y a x h k
=−−−；关于y轴对称，得到()2
y a x h k
=++；
2
y ax bx c
=++关于原点对称后，得到的解析式是2
y ax bx c
=−+−；
()2
y a x h k
=−+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k
=−+−；
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）
A．﹣5B．3C．5D．15
【变式5-1】抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．
【变式5-2】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2
【题型6 利用二次函数的性质判断结论】
【例6】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-1】关于抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a ﹣2，下列说法错误的是（ ）
A ．开口向上
B ．当a ＝2时，经过坐标原点O
C ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）
D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧
【变式6-2】对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，有下列结论：
③ 它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝﹣1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m ＝1；④如果当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等，则m ＝5．其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】
【例7】已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当﹣1＜x 1＜0， 1＜x 2＜2，x 3＞3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
【变式7-1】抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，﹣b ），（3，c ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c ＞a ＞b
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．无法比较大小
【变式7-2】已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b +m+n 2，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx +c 的图象上， 若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】
【例8】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ）
A ．﹣2
B ．1
C ．3
D ．4
【变式8-1】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜﹣3
B ．﹣1＜m ＜2
C ．﹣3＜m ＜0
D ．﹣2＜m ＜1
【题型9 利用二次函数的性质求最值】
【例9】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______．
【变式9-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m ≤2或m ≥3
B ．m ≤3或m ≥4
C ．2＜m ＜3
D ．3＜m ＜4
*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】
【例10】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ）
A ．﹣4或72
B ．﹣2√3或72
C ．﹣4 或2√3
D ．﹣2√3或2 √3
【变式10-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）
A ．3
B ．﹣3或38
C ．3或−38
D ．﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．
二次函数的图象与性质— 易错精选 —
1. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c ＜0；②ab ＜0； ③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x
＝﹣1，给出四个结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤am 2+bm ＜a ﹣b （m 为任意实数）；其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）
4. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图像如图，有下列6个结论：
①abc＜0；②b＜a ﹣c ；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b ；⑤a+b＜m （am+b ），
（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，抛物线的顶点坐标为(1,3)A ，
与x 轴的一个交点为(4,0)B ，点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=；②>0abc ；③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−；④方程
23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根；⑤4a b c m n −+<+；⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.
上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）
6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如
图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．。