2022-2023学年浙江省杭州第九中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省杭州第九中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．函数y = ） A ．[)0,∞+ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞
【答案】B
【分析】根据函数有意义即可求解. 【详解】解：
y x =-
10x ∴-≥，
解得：1x ≥，
故y =[)1,+∞. 故选：B.
2．若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，则实数m 等于（ ） A ．－1 B ．－2
C ．1
D ．2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解. 【详解】由题意不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，
所以方程20mx -=的解是2，则220m -=，解得1m =，故选C.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．直线0x =的倾斜角为（ ）
A ．π6
B ．
5π6 C ．π3
D ．
2π3
【答案】B
【分析】根据直线方程确定直线斜率，在利用斜率与倾斜角的关系即可得倾斜角的大小.
【详解】解：直线0x +=的斜率为k =，设直线的倾斜角为α，且[)0,πα∈
所以tan α=5π6α=. 故选：B.
4．若(1,1,0),(1,0,1)a b ==，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．π3
B ．π6
C ．
2π3
D ．
5π6
【答案】A
【分析】求出两向量的模及数量积，根据cos ,a b a b a b
⋅=
即可求解.
【详解】∵222222
1110011,1102,1012a b a b ⋅=⨯+⨯+⨯==++==++=，
则11
cos ,2
22a b a b a b
⋅=
=
=⨯，且[],0,πa b ∈， ∴π,3
a b =. 故选：A.
5．已知tan 2α=，则sin cos sin cos αα
αα
+-的值为（ ）
A ．13
B ．3
C ．13
-
D ．3-
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可. 【详解】tan 2α=， sin cos tan 13
3sin cos tan 11
αααααα++∴
===--.
故选：B
6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与AD 成异面直线的棱共有（ ）． A ．4条 B ．5条
C ．6条
D ．7条
【答案】A
【分析】剩下的11条棱中，有4条与AD 相交，3条与它平行，其余4条异面 【详解】如图：
与AD 成异面直线的棱有1BB 、1CC 、11A B 、11C D 共4条棱 故选A
【点睛】本题主要考查的是异面直线的判定，通过观察图形即可得出答案，属于基础题． 7．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R 的相交大圆，分别内含一个半径为r 的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知3R r =，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（ ）
A ．3
B ．3
C ．
3
2
D ．
23
3
【答案】C
【分析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案. 【详解】如示意图，
由题意，12||4O O R r r =+=，则221122||||||15O M O O O M r =-=， 又121||
||22
O O O O r =
=，1||3O E r =，所以2211||2||||25EF O E O O r =-=， 所以
1||153
||25O M r EF r =. 故选：C.
8．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为（ ） A ．2B 10
C 11
D ．211【答案】B
【分析】由题意结合对称性分析，PEQ 周长取最小值时，P 在11B C 上，作点E 关于111、B C B C 的对称点分别为12E E 、，求12E E ，即可得到PEQ 周长的最小值． 【详解】过点P 作11B C 的垂线，垂足为1P ，则11,PE PE PQ PQ ≥≥，
则PEQ 周长11L PE PQ QE PE PQ QE =++≥++，当P 与1P 重合时等号成立，即P 在11B C 上， 作点E 关于111、B C B C 的对称点分别为12E E 、，则1112,PE PE QE QE ==
∴11111212PE PQ QE PE PQ QE E E ++=++≥，当11
2,,,E P Q E 四点共线时等号成立， 故PEQ 周长22
2212121310L E E E C E C ≥=+=+=.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．1y x
=
B ．3
y x =-
C ．y x =-
D ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
【答案】BC
【解析】先判断奇偶性，再判断单调性．
【详解】ABC 三个选项中函数都是奇函数，D 既不是奇函数，也不是偶函数，A 在定义域内不是单调的函数，排除AD ， BC 都是减函数． 故选：BC
10．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形分球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，当静止放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4a B ．2()-a c C ．2()a c + D ．6a
【答案】ABC
【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质，分情况讨论，求得正确答案.
【详解】当小球从A 点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，故A 正确；
当小球从A 点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是()2a c -，故B 正确； 当小球从A 点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是()2a c +，故C 正确； 由上述分析知，D 不正确. 故选：ABC
11．在下列直线方程中，表示经过点(21)M ,且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ） A ．2y x = B ．1y x =- C ．3y x =-+ D ．12
y x =
【答案】CD
【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x ，y 轴上截距分别为,a b ，则a b =， 当0a b 时，则直线过原点，设直线方程为y kx =， 由题意可得：12k =，即12
k =， 故直线方程为1
2
y x =
； 当0a b =≠时，则设直线方程为1x y
a b
+=，
由题意可得：2121
1a b a a
+=+=，则3a =，
故直线方程为133
x y
+=，即3y x =-+；
综上所述：直线方程为1
2
y x =或3y x =-+. 故选：CD.
12．已知a ，b 是空间中两不同直线，,αβ是空间中两不同平面，下列命题中不正确的是（ ） A ．若直线,a b b α⊂∥，则a α
B ．若平面,a αβα⊥⊥，则a β∥
C ．若平面,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥
D ．若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥
【答案】ABC
【分析】根据线、面的位置关系逐项分析判断
【详解】对A ：若直线,a b b α⊂∥，则a α或a α⊂，A 错误； 对B ：若平面,a αβα⊥⊥，则a β∥或a β⊂，B 错误；
对C ：若平面,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥或,a b 是异面直线，C 错误； 对D ：若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，D 正确. 故选：ABC.
三、填空题
13．幂函数()a
f x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3f =______.
【答案】1
3
【解析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()a
f x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入可得122
a
=
解得1a =-
所以幂函数解析式为()1
f x x -=
则()1
1333
f -==
故答案为:
13
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.
14．若方程2220x y x my +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是___________．
【答案】m <m >【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件列不等式，即可得实数m 的取值范围.
【详解】解：若方程2220x y x my +-++=表示圆，则()2
21420m -+-⨯>，解得m <m >
故答案为：m <m >.
15．已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则它的标准方程为______．
【答案】22
1106
x y +=
【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点求系数即可，结合椭圆的定义求出a ，进而可求出b ，从而可得到椭圆的标准方程.
【详解】因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，
由椭圆的定义知22225353
2(2)()(2)()2102222
a =++-+-+-=，
所以10a =． 又因为2c =， 所以2226b a c =-=，
所以椭圆的标准方程为22
1106x y +=.
故答案为：22
1106
x y +=.
16．在平面直角坐标系中，已知点(2,3),(3,2)--A B ，沿x 轴把坐标系折成120︒的二面角，则此时线段AB 的长度为________． 【答案】211
【分析】作AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，过C 作CD 平行于y 轴，且与BD 交于点D ，得到120ACD ∠=︒，连接AB ，AD ，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】
作AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，过C 作CD 平行于y 轴，且与BD 交于点D ，则ACD ∠就是沿x 轴把坐标系折成120︒的二面角的平面角，所以120ACD ∠=︒； 连接AB ，AD ，则2CD =，5BD =，3AC =，
在ACD 中，194232192AD ⎛⎫
+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
所以22211AB AD BD =+. 故答案为：11【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，作出二面角的平面角，再结合题中数据，即可求解.
四、解答题
17．若ABO 的三个顶点坐标为(0,0),(4,0),(2,O A B ． (1)求AB 边上中线所在的直线方程； (2)求角AOB 的内角平分线所在的直线方程.
【答案】(1)y x =
(2)y x =
【分析】（1）先求线段AB 的中点坐标，进而可得斜率，根据斜截式求直线方程； （2）先求三边的长度，进而可判断ABO 为等边三角形，根据三线合一求直线方程.
【详解】（1）由题意可得：线段AB 的中点(M ，
则AB 边上中线所在的直线的斜率k ==
，
故AB 边上中线所在的直线方程为y =
.
（2）由题意可得：4,4,4OA OB AB ====
，
即OA OB AB ==，则ABO 为等边三角形，
∴角AOB 的内角平分线所在的直线即为AB 边上中线所在的直线，
故角AOB 的内角平分线所在的直线方程为y =
. 18．已知函数2()(4)4(0,0)f x x a b x ab a b =-++>>. (1)当1b =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集； (2)若关于x 的方程()0f x =两根之和为4，求ab 的最大值. 【答案】(1)答案见详解 (2)1
【分析】（1）讨论两根的大小解一元二次不等式；（2）根据题意可得44a b +=，利用基本不等式求ab 的最大值.
【详解】（1）当1b =时，则()()2()(4)44f x x a x a x a x =-++=--，
令()0f x =，则x a =或4x =，
当4a >时，不等式()0f x >的解集为()(),4,a -∞+∞；
当4a =时，不等式()0f x >的解集为{}|4x x ≠； 当4a <时，不等式()0f x >的解集为()
(),4,a -∞+∞.
（2）由()()2
()(4)44f x x a b x ab x a x b =-++=--，
令()0f x =，则x a =或4x b =， 由题意可得：44a b +=， ∵()
()2
4444
a b a b +≤
=，当且仅当42a b ==时等号成立，
∴1ab ≤， 故ab 的最大值为1.
19．已知函数2()2sin(π)cos f x x x x =--. (1)求()f x 的最大值；
(2)在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若()0,4,3f A b c ===求BC 边上高AD 的长.
【答案】(1)2
【分析】（1）利用三角恒等变换化简整理可得()π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭求最值.
（2）根据题意可求得π
3
A =，利用余弦定理可求得a ，再结合面积公式求高AD 的长.
【详解】（1）由题意可得：2
1cos 2()2sin(π)cos 2sin cos 2
x
f x x x x x x +=--=- π
sin 222sin 23x x x ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭
故当ππ22π,32x k k -
=+∈Z ，即5π
π,12
x k k =+∈Z 时，()f x 取到最大值2.
（2）由题意可得：π()2sin 203f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即sin 2π3A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
∵π0,2A ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ππ2π2,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
∴ππ233
A -
=，则π3A =，
在ABC 中，由222221
2cos 43243132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，可得13a =， 又∵11sin 22bc A AD a =⨯，即1314313222
AD ⨯⨯⨯=⨯，
∴639
13
AD =
， 故BC 边上高AD 的长为
639
13
. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AD PD ⊥，1BC =，23PC =，2PD CD ==．
(1)证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；
(2)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 39
【分析】（1）由题意结合几何关系可证得AD ⊥平面PDC ，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面PDC ⊥平面ABCD ；
（2）由题意首先找到直线PB 与平面ABCD 所成角，然后利用几何关系结合三角形的性质即可求得39
【详解】（1）由于底面ABCD 是矩形，故AD CD ⊥, 又由于,AD PD CD PD D ⊥⋂=，,CD PD ⊂平面PDC 因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ， 所以平面PCD ⊥平面ABCD .
（2）在平面PCD 内，过点P 作PE CD ⊥交直线CD 于点E ，连接EB ，如图，
由于平面PCD ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PCD 与平面ABCD 的交线，
PE ⊂平面PCD ，
故PE ⊥平面ABCD ，由此得PBE ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，
在PDC △中,由于2,23PD CD PC ===, 则22222(23)1cos 2222
PDC +-∠==-⨯⨯，所以120PDC ∠=︒ 所以60PDE ∠=.
在Rt PEC 中,sin603PE PD ==,112DE PD ==,
且2221310BE BC CE =+=+=,
故在Rt PEB △中,2213PB PE BE =+=,
39sin 13
PE PBE PB ∠==. 即直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为
3913. 21．已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>的长轴长为22，左焦点(1,0)F -，若过点(2,0)B b -的直线与椭圆交于M ，N 两点．
(1)求椭圆G 的标准方程；
(2)求FMN 面积S 的最大值．
【答案】(1)2
212
x y +=; 2
【分析】(1)由条件列方程求,a b 可得椭圆方程；
（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为()2y k x =+，联立方程组，得出根与系数的关系，再求出三角形面积表达式，利用换元法求其最值.
【详解】（1）∵椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的长轴长为(1,0)F -，
所以21a c ==
，所以1a c =，
∴1b ==，
∴椭圆的标准方程为2
212
x y +=． （2）由(1)知(2,0)B -，则||211FB =-=，
由(2,0)B -，且直线与椭圆相交可知MN 的斜率存在，
设直线MN 的方程为()2y k x =+，
代入椭圆方程得：()2222128820k x k x k ++-+=，
由已知可得方程()2222128820k x k x k ++-+=的判别式()()42264421820k k k ∆=-+->，所以212
k <， 设()()1122,,,M x y N x y ，则2122812k x x k
+=-+，21228212k x x k -=+ 又因为FMN 的面积121211||22
NFB MFB S S S FB y y k x x =-=-=-△△ 所以
1122S =
= 令212t k =+
则S ==当3t 4=，即216k =（满足212k
<）时，S 所以
FMN 面积S 22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.
（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；
（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5
. 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.
【详解】（1）由24,
{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ，
∵圆C 的半径为1，
∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 2323
11k k -+=+，
∴2(43)0k k +=，∴0k =或34
k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=．
（2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -，
则圆C 的方程为[]2
2()(24)1x a y a -+--=．
又∵2MA MO =，
∴设M 为(,)x y 2222(3)2x y x y +-=+22(1)4x y ++=，设为圆D ．
所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴[]2221(24)(1)21a a -≤+---+，
由251280a a -+≥，得a R ∈，
由25120a a -≤，得1205
a ≤≤
． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.。