【数学】正弦函数、余弦函数的图象-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1
2
x
0
π
2
π
3π
2
2π
sin x
0
1
0
−1
0
+ sin x
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
−
反思感悟
方法总结
描点法画正弦函数图象的关键：
①列表时，自变量x的数值要适当选取；
②在函数定义域内取值；
③按由小到大的顺序取值；
④取的个数应分布均匀；
⑤应注意图形中的特殊点(如：端点、交点、顶点)；
⑥尽量取特殊角．
新知运用
2
(2) 在[0,2π]上，使cosx ≤
1
−
2
2π
4π
x 3 ≤x≤ 3
成立的x的取值集合是_________________．
【解析】： (1)由题意得， 由正弦函数的图象知，当x ∈ [0,2π] 时， sinx ∈ [−1,1] ，要使得方程
1
sinx = 4m + 1 在x ∈ [0,2π]上有解，则−1 ≤ 4m + 1 ≤ 1，故− ≤ m ≤ 0 ．
第五章 三角函数
5.4三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
探究一：正弦函数的图象
情境设置
我们已经学习了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个正弦函数呢?类比
已有的研究方法，可以先画出函数的图象，再通过观察图象的特征，获得函数性
质的一些结论.
问题1：设以在[0,2π]上任取一个值x0 ，如何利用正弦函数的定义来确定正弦函数
自变量每增加(减少)2，正弦函数值和余弦函数值将重复出现.
新知生成
知识点一 正弦曲线
正弦曲线
1.正弦曲线：正弦函数 = 百度文库 ， ∈ 的图象叫作___________．
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法：①利用单位圆画出 = , ∈ [0,2]的图象；把轴上从0到2这
A.
B.
B ).
C.
D.
2. 用“五点法”画函数y = 2 − 3sinx的图象时，首先应描出五点的横坐标是( B ).
A. 0 ,
π π 3π
, ,
4 2 4
,π
C. 0 , π ,2π ,3π ,4π
π
2
B. 0 , , π ,
π
6
π π
3 2
3π
,2π
2
D. 0, , , ,
2π
3
随堂检测
3. 不等式 cos x < 0 ， x ∈ [0,2π]的解集为
3.连线：用平滑的曲线将所描点的五个关键点连接起来，得到所求函数图象.
三、正余弦函数图象的应用
例题3 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
1
1
2
2
(1) sin x ≥ ；(2)cos x ≤ ．
【解析】： (1) 作出正弦函数y = sin x ，x ∈ [0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足
课堂小结
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的图象.
(2)“五点法”作图.
(3)函数图象的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.
π
6
条件的 x 的集合为 {x| + 2kπ ≤ x ≤
5π
+
6
2kπ, k ∈ Z} ．
(2) 作出余弦函数y = cos x ，x ∈ [0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集
π
3
合为{x| + 2kπ ≤ x ≤
5π
+
3
2kπ, k ∈ Z} ．
反思感悟
方法总结
用三角函数图象解三角不等式的步骤:
新知生成
知识点二 余弦曲线
3.作余弦函数图象(五点作图)：五个关键点 0,1 ,

,0
2
, , −1 ,
3
,0
2
y
1
o
-1

2

3
2
2
x
, (2, 0)
一、正弦函数图象
1
2
例题1 用“五点法”作出函数y = + sinx，x ∈ [0,2π]的简图.
【解析】：第一步：列表，第二步：描点；第三步：连线
跟踪训练1 利用“五点法”作出函数 = 1 − sin 0 ≤ ≤ 2π 的简图．
【解析】:取值列表，描点，连线
x
0
sin x
0
1 − sin x
1
π
2
π
3π
2
2π
1
0
−1
0
0
1
2
1
二、余弦函数图象
例题2 用“五点法”作出函数y = 2 + x，x ∈ [0,2π]的简图.
【解析】：第一步：列表，第二步：描点；第三步：连线
【解析】： 由题意得，f x =
3sin x, 0 ≤ x ≤ π，
其图象如图所示,结合图象可知1 < k < 3．
−sin x，π < x ≤ 2π，
四、根据函数图象求范围
跟踪训练 (1)若方程sin = 4 + 1 在 ∈ [0,2π]上有解，则实数的取值范围是
1
_________．
{| − ≤ m ≤ 0}

新知生成
知识点一 正弦曲线
②将图象不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)．
利用图象平移
= , [0,2]
( + 2) = ()
= ,

“波浪起伏”的连续光滑曲线．
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6

新知生成
知识点一 正弦曲线
值sinx0 ? 并画出点T x0 , sinx0 .
探究一：正弦函数的图象
情境设置
问题2：设绘制新函数图像的基本方法是什么?
【解析】：列表，描点，连线.
问题3：根据三角函数的定义，我们绘制正、余弦函数的图像需要绘制在整个定义
域上的图像吗?
sin + ∙ 2 =
cos + ∙ 2�� =

一段分成12等份，使0 的值分别为0, , , , … , 2.
6 3 2
2
3
3
4

2

3

1

2
5
4
4
3
3
2
●
0
11
6
7
−
4
= ( ∈ [0, 2])
●
●
●
6

●
●


6
3

2
2
3
5
6
●
7 4
6 3
3 5 11
6
2 3

●
●
●
●
●
2
●
1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2]上的图象；
2.写出不等式在区间[0,2]上的解集；
3.根据诱导公式写出定义域内的解集．
四、根据函数图象求范围
例题4 函数f x = sinx + 2 sinx ，x ∈ [0,2π]的图象与直线y = k有且仅有两个不同的
{|1 < k < 3}
交点，则k的取值范围是________________．
π 3π
,
2 2
________．
1
2
4. 函数y = cos x，x ∈ [0,2π]的图象与直线y = − 的交点有____个．
4
【解析】3. 由函数 y = cos x 的图象可知，不等式 cos x < 0 ， x ∈ [0,2π] 的解集为
1
4
π 3π
,
2 2
.
4. 作 y = cos x ， x ∈ [0,2π] 的图象及直线 y = − （图略），可知两函数图象有两个交点．
(2)五点法(五个关键点)：将五个关键点用光滑的曲线连接．
y
1

,1
2
3
, −1
2
0,0

−
2
o
-1

2

, 0
3
2
2, 0
2
x
新知生成
知识点二 余弦曲线
1.余弦函数图象的画法
要得到函数y = cos x，x ∈ R的图象，只需把函数y = sin x，x ∈ R的图象
π
π
向左平移 个单位长度，即cos x = sin + .
2
y 2
y=cosx
y=sinx
1
0
-1

2
π
3
2
2π
x
新知生成
知识点二 余弦曲线
y
2.正余弦函数图象
= 正弦函数的图象
1
-4
-3
-2
-
o

2
3
4
5
6
-1
x
形状完全一样只是位置不同
y
= 余弦函数的图象
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6
x
2
1
2
4π
3
(2) 画出y = cosx在[0,2π]上的简图，如图所示．由图象可知，当cosx = − 时， x =
=
4π
3
1
2
．所以在[0,2π]上，使cos x ≤ − 成立的x的取值集合为 x
2π
3
≤x≤
.
2π
3
或 x
随堂检测
1. 函数y = sin −x ， x ∈ [0,2π]的简图是(
π
2
x
0
cos x
1
0
2 + cos x
3
2
3π
2
2π
−1
0
1
1
2
3
π
反思感悟
方法总结
作形如y = acos x + b，x ∈ [0,2π]的图象的三个步骤:
1.列表：在[0,2]内先分别找出确定所求函数图象的五个关键点，在表中列出相
应的五点坐标；
2.描点：根据列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描出相应的点；