福建省宁德市2018-2019学年高一下期末数学试卷(有答案)

2018-2019学年福建省宁德市高一（下）期末
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）
A．B．C．﹣2 D．0
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）
C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）
3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）
A．8 B．4 C．2 D．1
4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））
A．=B．•=1 C．≠ D．||=||
5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）
A．8πB．16π C．24π D．32π
7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为
（）
A．4πB．8πC．12π D．16π
8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）
A． B．C．2D．4
9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β
10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度
B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度
C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度
D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．
14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．
16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数y=f（x+）是偶函数；
③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；
④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．
其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．
（Ⅰ）试用和表示；
（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．
19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．
（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；
（Ⅱ）求α+β的大小．
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求三棱锥V的体积．
21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．
22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．
2018-2019学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）
A．B．C．﹣2 D．0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．
【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，
l2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，
若l1∥l2，则a=，
故选：A．
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）
C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．
【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；
B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；
C：=2，因此与共线，不能作为基底；
D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；
故选：B．
3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）
A．8 B．4 C．2 D．1
【考点】扇形面积公式．
【分析】由扇形面积公式S=lR进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．
故选：C．
4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））
A．=B．•=1 C．≠ D．||=||
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可．【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，
C.=，故C错误，
D．||=||=1，故D正确．
故选：D．
5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可．
【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，
∴cos＜，＞==，
则＜，＞=60°，
即向量夹角大小为60°，
故选：B
6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）
A．8πB．16π C．24π D．32π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．
【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，
∴内切球的表面积为4πr2=16π．
故选：B．
7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为
（）
A．4πB．8πC．12π D．16π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2
即圆柱的底面半径r=1，
故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．
故选：A．
8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）
A． B．C．2D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，
∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，
∴弦长|AB|=2=2
故选：C．
9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；
对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；
对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；
对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．
故选：C．
10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度
B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度
C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度
D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x ﹣）的图象；
再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，
故选：D．
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，连接A1B，BC1．利用三角形中位线定理可得：EF∥A1B．因此∠C1A1B 或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．利用△A1BC1为等边三角形即可得出．
【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．
∵E，F分别为AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B．
∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．
∵△A1BC1为等边三角形，
∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．
故选：C．
12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．
【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，
∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，
则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．
【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，
直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1
故答案为：﹣1．
14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．
【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，
∴1+m+2=0，
解得m=﹣3．
15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：
x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，
故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，
∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，
∴|R﹣r|＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故答案为：相交．
16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数y=f（x+）是偶函数；
③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；
④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．
其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；
由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；
由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；
在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】直线的一般式方程；待定系数法求直线方程．
【分析】（Ⅰ）代入直线的点斜式方程求出l的方程即可；
（Ⅱ）求出直线m的斜率，求出直线m的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，
∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．
∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），
即x﹣y+=0；
（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，
∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）
∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），
即y=﹣x+2，
直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），
∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．
18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．
（Ⅰ）试用和表示；
（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
【分析】（Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用和表示；
（Ⅱ）若•=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．
（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，
则•=0，
∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，
∴λ=
19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．
（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；
（Ⅱ）求α+β的大小．
【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．
【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．
（Ⅱ）先求得tan（α+β）的值，再根据α+β∈（0，π），求得α+β的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，
∴sinα===，cosα===，tanα==．
（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．
又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，
20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求三棱锥V的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得出AA1⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA1B1B；
（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S△ACD，于是
V=V=．
【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴AA1⊥CD．
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，
∴CD⊥平面AA1B1B．
（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC．
∵D是AB的中点，
∴S△ACD===1．
又AA1⊥平面ABC，
∴V=V===．
21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．
【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；
（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=
∴当，即时，
f（x）取到最大值为2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，
由得，
所以，函数法f（x）在区间上单调递减，
∵f（x）在区间（，m）上单调递减，
∴，即实数m的取值范围是（，]．
22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；
（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：
解得a=b=1，r=2 …
∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …
（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…
由已知得，∠PME=90°=∠PNE
所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…
设P（a，b），则圆F的方程为=+
即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…
又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②
②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…
又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，
∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…
∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，
∴，
∴x=y=0
∴直线MN过定点（0，0）．…。