2018-2019学年高中数学人教A版必修五：第一章 解三角形1.2.3
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题的往往需要考虑建立函数解析式来求最值. (3)解三角形应用题常常为综合知识的应用,此类问题常与方程、
函数、平面几何、立体几何等知识结合,因此,应注重知识间的联 系.
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
5
题型
角度问题 【例题】 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇 在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离A为10海里的C 处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9海里/时的速度向小 岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,求舰艇的航 向和靠近渔船所需的时间.(精确到0.1°) 分析首先根据题意画出图形,若设相遇点为B',由题意可知AC=10 海里,∠ACB'=120°,再利用舰艇靠近渔船所需的时间与渔船用的 时间相同,这样解△AB'C即可.
解得
t=
2 3
或t=−
5 12
(舍去).
所以舰艇需用
2 3
小时靠近渔船,
此时 AB'=14 海里,B'C=6 海里.
由正弦定理,得
������'������ sin∠������������������'
=
sin������1���2���'0°,
则
sin∠CAB'=
6×
3 2
14
=
3143,
即∠CAB'≈21.8°.
(2)应用:可解两类三角形:①已知两角及一边,解三角形;②已知两
边及其中一边的对角,解三角形.
【做一做 1】
在△ABC
中,a=5,sin
A=
1 3
,
������
=
15 4
,
则
sin
������
=
.
答案:14
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
2
2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
即 3v2t2=a2+v2t2+vat,∴2v2t2-vat-a2=0.
∴t1=
������ ������
,
������2
=
−
������ 2������
(舍去).
∴BC=a 海里.∴∠CAB=30°.
答:甲船应沿北偏东 30°的方向去追乙船,乙船行驶了 a 海里.
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
方位角的其他表示,如:
①正南方向:指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线
重合,即目标在正南的方向线上,依此可类推正北方向、正东方向 和正西方向.
②东南方向:指经过目标的射线是正东方向和正南方向的夹角的
平分线. (2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.
2如019南年4偏月2西9日60°,指以正南方向梅为花三始麓专边享,顺文档时针方向向西旋转60°. 4
20192年14.8月°29日+45°=66.8°.故舰梅艇花三的麓航专享向文是档 北偏东66.8°.
7
题型
反思解答此类问题,首先应明确各个角的含义,然后分析题意,分 清已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,将图形中的已知量 与未知量之间的关系转化为三角形中边与角的关系,运用正弦定理、 余弦定理求解.
;
cos C= ������2+2���������������2���-������2.
(3)应用:可解两类三角形:①已知三边解三角形;②已知两边和它
们的夹角解三角形.
【做一做2】 在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则cos A=
2019答年4案月2:911日34
来自百度文库
梅花三麓专享文档
.
3
3.测量中有关角的概念 (1)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角. 如点B的方位角为α.(如图)
解应用问题需注意的问题 剖析(1)注意作图的准确性,通过积累、归纳,学会根据题目已知 的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.特别当 一些题目的图形是空间立体图形时,除要作好图形外,还要发挥空 间想象力.
(2)注意数学思想方法的应用:①化归与转化思想,即将实际问题 抽象概括,转化为解三角形的问题;②方程思想,即在三角形中应用 正弦定理、余弦定理列方程求解;③函数思想,题目中涉及最值问
解设甲船沿北偏东θ角去追赶乙船,在C点处追上,若乙船行驶的 速度是v海里/时,则甲船行驶的速度是 3������海里/时.
由于甲、乙两船到 C 的时间相等,都设为 t 小时,
则 BC=vt 海里,AC= 3������������海里,∠ABC=120°.
由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120°,
这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即
c2=a2+b2-2abcos C ;
b2=a2+c2-2accos B;
a2=b2+c2-2bccos A.
(2)推论:cos
A=
������2+������2-������2 2������������
;
cos
������
=
������2+������2-������2 2������������
1.复习巩固正弦定理、余弦定理. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决角度问题.
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
1
1.正弦定理
(1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
������ ������ ������ 即 sin������ = sin������ = sin������.
10
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
8
题型
【变式训练】 如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方 向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度 的 3倍, 问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船, 此 时乙船行驶了多少海里?
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
9
题型
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
6
题型
解如图,设所需时间为t小时,则AB'=21 t海里,CB'=9t海里.
在△AB'C中,根据余弦定理,
则有AB'2=AC2+B'C2-2AC·B'Ccos 120°,
可得 212t2=102+81t2+2×10×9t× 12, 整理得 36t2-9t-10=0,
函数、平面几何、立体几何等知识结合,因此,应注重知识间的联 系.
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
5
题型
角度问题 【例题】 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇 在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离A为10海里的C 处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9海里/时的速度向小 岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,求舰艇的航 向和靠近渔船所需的时间.(精确到0.1°) 分析首先根据题意画出图形,若设相遇点为B',由题意可知AC=10 海里,∠ACB'=120°,再利用舰艇靠近渔船所需的时间与渔船用的 时间相同,这样解△AB'C即可.
解得
t=
2 3
或t=−
5 12
(舍去).
所以舰艇需用
2 3
小时靠近渔船,
此时 AB'=14 海里,B'C=6 海里.
由正弦定理,得
������'������ sin∠������������������'
=
sin������1���2���'0°,
则
sin∠CAB'=
6×
3 2
14
=
3143,
即∠CAB'≈21.8°.
(2)应用:可解两类三角形:①已知两角及一边,解三角形;②已知两
边及其中一边的对角,解三角形.
【做一做 1】
在△ABC
中,a=5,sin
A=
1 3
,
������
=
15 4
,
则
sin
������
=
.
答案:14
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
2
2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
即 3v2t2=a2+v2t2+vat,∴2v2t2-vat-a2=0.
∴t1=
������ ������
,
������2
=
−
������ 2������
(舍去).
∴BC=a 海里.∴∠CAB=30°.
答:甲船应沿北偏东 30°的方向去追乙船,乙船行驶了 a 海里.
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
方位角的其他表示,如:
①正南方向:指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线
重合,即目标在正南的方向线上,依此可类推正北方向、正东方向 和正西方向.
②东南方向:指经过目标的射线是正东方向和正南方向的夹角的
平分线. (2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.
2如019南年4偏月2西9日60°,指以正南方向梅为花三始麓专边享,顺文档时针方向向西旋转60°. 4
20192年14.8月°29日+45°=66.8°.故舰梅艇花三的麓航专享向文是档 北偏东66.8°.
7
题型
反思解答此类问题,首先应明确各个角的含义,然后分析题意,分 清已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,将图形中的已知量 与未知量之间的关系转化为三角形中边与角的关系,运用正弦定理、 余弦定理求解.
;
cos C= ������2+2���������������2���-������2.
(3)应用:可解两类三角形:①已知三边解三角形;②已知两边和它
们的夹角解三角形.
【做一做2】 在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则cos A=
2019答年4案月2:911日34
来自百度文库
梅花三麓专享文档
.
3
3.测量中有关角的概念 (1)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角. 如点B的方位角为α.(如图)
解应用问题需注意的问题 剖析(1)注意作图的准确性,通过积累、归纳,学会根据题目已知 的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.特别当 一些题目的图形是空间立体图形时,除要作好图形外,还要发挥空 间想象力.
(2)注意数学思想方法的应用:①化归与转化思想,即将实际问题 抽象概括,转化为解三角形的问题;②方程思想,即在三角形中应用 正弦定理、余弦定理列方程求解;③函数思想,题目中涉及最值问
解设甲船沿北偏东θ角去追赶乙船,在C点处追上,若乙船行驶的 速度是v海里/时,则甲船行驶的速度是 3������海里/时.
由于甲、乙两船到 C 的时间相等,都设为 t 小时,
则 BC=vt 海里,AC= 3������������海里,∠ABC=120°.
由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120°,
这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即
c2=a2+b2-2abcos C ;
b2=a2+c2-2accos B;
a2=b2+c2-2bccos A.
(2)推论:cos
A=
������2+������2-������2 2������������
;
cos
������
=
������2+������2-������2 2������������
1.复习巩固正弦定理、余弦定理. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决角度问题.
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
1
1.正弦定理
(1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
������ ������ ������ 即 sin������ = sin������ = sin������.
10
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
8
题型
【变式训练】 如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方 向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度 的 3倍, 问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船, 此 时乙船行驶了多少海里?
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
9
题型
2019年4月29日
梅花三麓专享文档
6
题型
解如图,设所需时间为t小时,则AB'=21 t海里,CB'=9t海里.
在△AB'C中,根据余弦定理,
则有AB'2=AC2+B'C2-2AC·B'Ccos 120°,
可得 212t2=102+81t2+2×10×9t× 12, 整理得 36t2-9t-10=0,