2020年高考数学一模试卷(含答案)

2020年高考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）
1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）
A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）
A．1B．2C．D．3
3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）
5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1
6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4
7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）
A．﹣l60B．﹣20C．20D．160
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），
．则（）
A．1B．C．2D．与α有关
9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：
N＝2n（n＞0）lgN N的位数
21lg2一位数
22lg4一位数
23lg8一位数
241+lg1.6两位数
251+lg3.2两位数
261+lg6.4两位数
272+lg1.28三位数
282+lg2.56三位数
292+lg5.12三位数
2103+lg1.024四位数
………………
试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）
A．101B．50C．31D．30
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为．
13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．
14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）
15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．
从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的
专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：
专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利
息
住房租金赡养老人
老员工402203
中年员工821518
青年员工120121
（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；
（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．
18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；
（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．
19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？
若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．
20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．
（Ⅰ）求g（x）的极小值；
（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．
（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；
（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；
（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）
A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
故选：D．
2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）
A．1B．2C．D．3
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可
解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|，
故选：C．
3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．
解：函数y＝sin2x+cos2x sin（2x），
∵ω＝2，∴T＝π．
故选：B．
4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）
【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．
解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，
∴f（﹣1）＝﹣2，
∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．
故选：B．
5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1
【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．
解：a，3，b，9，c成等比数列，
则bc＝81，b2＝27，
∴，
∴log3b﹣log3c＝log31，
故选：A．
6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4
【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（，0），可得2，得p＝4．
解：∵双曲线中a2＝3，b2＝1
∴c2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y2＝2px的焦点（，0）即F（2，0）
∴2，即p＝4
故选：D．
7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）
A．﹣l60B．﹣20C．20D．160
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
解：展开式的通项公式为T r+1•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为﹣8•160，
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），
．则（）
A．1B．C．2D．与α有关
【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．
解：根据题意，A（cosα，sinα），．
则（cosα，sinα），（cos（α），sin（α）），
则有（cosα+cos（α），sinα+sin（α）），
故||2＝[cosα+cos（α）]2+[sinα+sin（α）]2＝2+2cosαcos（α）+2sinαsin（α）＝2+2cos3，
则||；
故选：B．
9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．
解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2，
若ab≥1，则a+b≥2．
反之不成立，例如取a＝5，b．
∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．
故选：A．
10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：
N＝2n（n＞0）lgN N的位数
21lg2一位数
22lg4一位数
23lg8一位数
241+lg1.6两位数
251+lg3.2两位数
261+lg6.4两位数
272+lg1.28三位数
282+lg2.56三位数
292+lg5.12三位数
2103+lg1.024四位数
………………
试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）
A．101B．50C．31D．30
【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．
解：∵450＝2100，∴N＝2100，
则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，
由表中数据规律可知，N的位数是31位数，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若共线，即，
∵，，
∴1×m＝﹣2×（﹣3），
∴m＝6．
故答案为：6．
12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为1．
【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．
解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），
所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，故答案为：1．
13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．
如图所示：
所以：V．
故答案为：．
14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝8；a n＝15n﹣7．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）
【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．
解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．
∴a1＝8，a n＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．
故答案为：8，15n﹣7．
15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是①②④．
【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cos x的奇偶性及单调性即可得出结论．
解：①∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
故值域为[1，+∞），符合题意；
②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；
③∵2x＞0，
∴2x+1＞1，
故值域为（1，+∞），不合题意；
④函数f（x）＝x2+cos x为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sin x，f''（x）＝2﹣cos x＞0，故f′
（x）在R上单调递增，
又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，
又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明
理由．
从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；
选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．
解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：
当时，，
所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，
则△ABC的面积，
因为，
所以S＞2成立．
选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：
当时，，
即，整理得，，所以，
因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，
所以△ABC是A为直角的三角形，
所以△ABC 的面积，
所以不成立．
17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：
专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利
息
住房租金赡养老人
老员工402203
中年员工821518
青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；
（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．
（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，
抽取的老年员工人，
中年员工人，
青年员工人．
（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，
，，．所以X的分布列为
X012
P
数学期望E（X）．
18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；
（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．
【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；
（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；
（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．
解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点
所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．
因为∠AEG＝90°，
所以GE⊥AE．
因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E
所以AE⊥平面EBHG．
（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，
由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．
所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图空间坐标系
可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，
所以，即．
令x＝1，则．
平面EBHG的法向量为．
设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．
（Ⅲ）由，则，
所以．
因为EF∥平面AGH，则．
即1﹣2λ＝0．
所以．
19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？
若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．
（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条
件．
解：（Ⅰ）由题意得，
b＝1，
又a2＝b2+c2
解得，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），则直线AM的方程为，
直线AN的方程为，
则E点坐标为，F点坐标为．
假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，
即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），
即
即|OG|2＝|OE||OF|，
即
所以，
所以存在点G坐标为满足条件．
20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．
（Ⅰ）求g（x）的极小值；
（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．
解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，
由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，
所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，
当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；
当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，
所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1
当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，
所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，
即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，
又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，
又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；
所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，
所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
所以f（x0）＜f（0）＝0，
所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，
所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立
所以a的取值范围为（﹣∞，2]．
21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．
（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；
（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；
（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．
【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．
（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，可得a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，因此[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，可得[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，可得：[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．
（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，可得a k+1＝0，[a k+1]＝0，可得a i ＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，可得[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，可得数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），转化为，令，即b i+1＝cb i，i≥m．经过讨论：当b m＝0时，得证．当b m≠0时，b i≠0，i≥m，
，当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，进而证明结论．
解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，
∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，
同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………
（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，
所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，
设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，
所以[a i]≥0，∀i≥0．
又因0≤a i﹣[a i]＜1，
则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………
假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，
则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，
则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………
则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，
则当n≥[a0]时，[a n]≤0，
这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………
即存在k∈N，[a k]＝0．
从而{[a i]}的最小值为0．………………
（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，
所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，
所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………
当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………
若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，
则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，
则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，
所以数列{[a i]}单调不减．
由于[a i]是负整数，
所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．
所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），
则，令，
即b i+1＝cb i，i≥m．
当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，
因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，
所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………
∴，
则
令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．
综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………。