初中数学：5.3 平行线的性质(人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线)

5．3平行线的性质
5．3.1平行线的性质
第1课时平行线的性质
1．理解平行线的性质；(重点)
2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点)
一、情境导入
窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？
二、合作探究
探究点一：平行线的性质
如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．
解析：利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．
解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
方法总结：已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．
探究点二：平行线与角平分线的综合运用
如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD 的度数．
解析：先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，可求得∠PAC＝48°.由AP是∠BAC的角平分线，可求得∠BAP＝48°，从而可求得∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD的度数．
解：∵FG∥EC，∴∠CAG＝∠ACE＝36°.∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝48°.∵DB∥FG，∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°.
方法总结：(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．
探究点三：平行线性质的探究应用
如图，已知∠ABC.请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边
与点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．
解析：先根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．
解：∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补．理由如下：如图①，因为DE∥AB，所以∠ABC＝∠DPC.又因为EF∥BC，所以∠DEF＝∠DPC，所以∠ABC＝∠DEF.如图②，因为DE∥AB，所以∠ABC＋∠DPB＝180°.又因为EF∥BC，所以∠DEF＝∠DPB，所以∠ABC＋∠DEF＝180°.故∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补．
方法总结：画出满足条件的图形时，必须注意分情况讨论，即把所有满足条件的图形都要作出来．
三、板书设计
平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学.
第2课时平行线的性质和判定及其综合运用
1．掌握平行线的性质与判定的综合运用；
(重点、难点)
2．体会平行线的性质与判定的区别与联系．
一、复习引入
问题：平行线的判定与平行线的性质的区别是什么？
判定是已知角的关系得平行关系，性质是已知平行关系得角的关系．
两者的条件和结论刚好相反，也就是说平行线的判定与性质是互逆的．
二、合作探究
探究点一：先用判定再用性质
如图，C ，D 是直线AB 上两点，∠1＋∠
2＝180°，DE 平分∠CDF ，EF ∥AB .
(1)CE 与DF 平行吗？为什么？
(2)若∠DCE ＝130°，求∠DEF 的度数．
解析：(1)由∠1＋∠DCE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE ，即可证明CE ∥DF ；
(2)由平行线的性质，可得∠CDF ＝50°.由DE 平分∠CDF ，可得∠CDE ＝12
∠CDF ＝25°.最后根据“两直线平行，内错角相等”，可得到∠DEF 的度数．
解：(1)CE ∥DF .理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE ＝180°，∴∠2＝∠DCE ，∴CE ∥DF ；
(2)∵CE ∥DF ，∠DCE ＝130°，∴∠CDF ＝180°－∠DCE ＝180°－130°＝50°.∵DE
平分∠CDF ，∴∠CDE ＝12
∠CDF ＝25°.∵EF ∥AB ，∴∠DEF ＝∠CDE ＝25°.方法总结：根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键．从角的关系得到直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆．探究点二：先用性质再用判定
如图，已知DF ∥AC ，∠C ＝∠D ，CE 与BD 有怎样的位置关系？说明理由．
解析：由图可知∠ABD 和∠ACE 是同位角，只要证得同位角相等，则CE ∥BD .由平行线的性质结合已知条件，稍作转化即可得到∠ABD ＝∠C .
解：CE ∥BD .理由如下：∵DF ∥AC ，∴∠D ＝∠ABD .∵∠C ＝∠D ，∴∠ABD ＝∠C ，∴CE ∥BD .
方法总结：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．探究点三：平行线性质与判定中的探究型问题
如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 之间的两点，且∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF
＝2∠EDF .
(1)判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并说明理由；
(2)∠AFD 与∠AED 之间有怎样的数量关系？
解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．
解：(1)∠AED ＝∠BAE ＋∠CDE .理由如下：如图，过点E 作EG ∥AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥CD ，∴∠AEG ＝∠BAE ，∠DEG ＝∠CDE .∵∠AED ＝∠AEG ＋∠DEG ，∴∠AED ＝
∠BAE ＋∠CDE ；
(2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE
＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ＝32(∠BAF ＋∠CDF )＝32∠AFD ，∴∠AED ＝32
∠AFD .方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．
三、板书设计
同位角相等
内错角相等
判定性质
两直线平行
本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合，直接运用了“∵”“∴”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，逐步培养学生的逻辑推理能力．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别，并在推理中正确地应用．由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，所以在教学中，应让学生通过应用和讨论，体会到如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质.
5．3.2命题、定理、证明
1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；(重点)
2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例．(难点)
一、情境导入
2015年10月，屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖．屠呦呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科学家．青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基团的倍半萜内酯药物．其对鼠疟原虫红内期超微结构的影响，主要是疟原虫膜系结构的改变，该药首先作用于食物泡膜、表膜、线粒体、内质网，此外对核内染色质也有一定的影响．青蒿素的作用方式主要是干扰表膜－线粒体的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，从而阻断了营养摄取的最早阶段，使疟原虫较快出现氨基酸饥饿，迅速形成自噬泡，并不断排出虫体外，使疟原虫损失大量胞浆而死亡．要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？
二、合作探究
探究点一：命题的定义与结构
【类型一】命题的判断
下列语句中，不是命题的是()
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.
方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．
【类型二】把命题写成“如果……那么……”的形式
把下列命题写成“如果……那么……”的形式．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等．
解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．
方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．
【类型三】命题的条件和结论
写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．
解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论．
解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．
方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．
探究点二：真命题与假命题
下列命题中，是真命题的是()
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.
方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．探究点三：证明与举反例
【类型一】命题的证明
求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．
解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．
解：如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被直线MN 所截，交点分别为P ，Q ，PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP ，求证：PG ∥HQ .
证明：∵AB ∥CD (已知)，
∴∠BPQ ＝∠CQP (两直线平行，内错角相等)．
又∵PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP (已知)，
∴∠GPQ ＝12∠BPQ ，∠HQP ＝12
∠CQP (角平分线的定义)，∴∠GPQ ＝∠HQP (等量代换)，
∴PG ∥HQ (内错角相等，两直线平行)．
方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．
【类型二】举反例
举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab ＝0，则a ＋b ＝0.
解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可．
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a ＝5，b ＝0时，ab ＝0，但a ＋b ≠0.
方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．
三、板书设计
本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.。