(江苏专用)2018年高考数学总复习选做02矩阵

专题2 矩 阵
【三年高考全收录】
1．【2017年高考江苏】已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A B
（1）求AB ；
（2）若曲线22
1:182
x y C +
=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）
；（2）228x y +=．
（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以22
00188x y +=，
从而22
188
x y +=，即228x y +=．
因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换
【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
；
（2）矩阵变换：
a b x x
c d y y
'
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥'
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
表示点(,)
x y在矩阵
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
变换下变成点(,)
x y
''．
2.【2016年高考江苏】已知矩阵
12
,
02
⎡⎤
=⎢⎥
-
⎣⎦
A矩阵B的逆矩阵1
1
1
=2
02
-
⎡⎤
-
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
B，求矩
阵AB.
【答案】
5 1
4 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦
【解析】
试题分析：先求逆矩阵的逆：
1
1
4
1
2
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
B，再根据矩阵运算求矩阵AB.
试题解析：解：设
a b
c d
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
B，则1
1
10
1
2
01
02
a b
c d
-
⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
==
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
B B，
即
11
10
22
01 22
a c
b d
c d
⎡⎤
--⎡⎤⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
，
故
1
1
2
1
2
20
21
a c
b d
c
d
⎧
-=
⎪
⎪
⎪-=
⎨
⎪
=
⎪
⎪=
⎩
，解得
1
1
4
1
2
a
b
c
d
=
⎧
⎪
⎪=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
=
⎪
⎩
，所以
1
1
4
1
2
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
B.
因此，
1
5
1
121
4
4
021
01
2
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎢⎥
==
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-
⎣⎦⎢⎥-
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
AB.
【考点】逆矩阵，矩阵乘法
【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：
1
||||,(||0)||||d
b a b ad b
c c
d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
类似
求矩阵特征值及特征向量也是如此.
3．【2015江苏高考，21】已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣
⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. 【答案】1120-⎡⎤
A =⎢
⎥⎣⎦
,另一个特征值为1．
【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 4．【2014江苏，理21B 】[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值. 【答案】
72
． 【解析】由题意得22224y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩，解得12
4
x y ⎧=-⎪
⎨⎪=⎩.∴72x y +=. 5．【2013江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，B ＝1 20 6⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
，求矩阵A －1
B .
【答案】 1 20 3--⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
【解析】解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，则 1 00 2-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
＝
1 00 1⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12
d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦.
6．【2012江苏，理21B 】[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵1
13 44=11 22⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
－A ，
求矩阵A 的特征值．
【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．
【解析】解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.
因为1
1
3 4411 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ， 所以()
1
1 2 32 1--⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
A A
， 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝ 2 3
2 1
λλ----＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
【2018年高考命题预测】
纵观近几年江苏高考试题，对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，矩阵变换，矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考查利用基本概念、基础知识求解矩阵，高考对这部分要求不是太高，会进行矩阵的乘法运算，会利用矩阵运算进行平面变换，
会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵的特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进行矩阵的乘方运算．备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中在附加题部分.预测2017年矩阵仍是考试的重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.
【2018年高考考点定位】
高考对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，考查矩阵变换，考查矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩阵的运算．
【考点1】矩阵的运算与矩阵变换 【备考知识梳理】 1．乘法规则
(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
b 11b 21的乘法法则： [a 11 a 12]⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x 0y 0的乘法规则：
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l
＝A
k ＋l
，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *
)．
2．常见的平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1表示恒等
变换．
(2)反射变换：因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 0 0 1表
示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y
＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．
(3)伸缩变换：因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
00
k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，
矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤s 00
1可以用来表示水平伸缩变换．
(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α
角的变换，对应的矩阵是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos α －sin αsin α cos α. (5)切变变换：⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 0t
1.
(6)投影变换：⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
00
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 00
0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0
00
1表示的是y 轴上的投影变换．
【规律方法技巧】
1．待定系数法在平面变换中的应用
通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．
2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．
5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．
6．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．
7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． 8．注意两个易错点：
（1）二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )． （2）易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换．
【考点针对训练】
1．求使等式⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2
43
5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 －23 －5.
【解析】设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤m n p
q ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2m －2n p －q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，
n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，
即M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 －23 －5.
2，已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20
1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 0y 0，求点P 的坐标．
【答案】（1）⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1.；（2）(1,0)．
【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，
y ′)．
由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
20
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x ＋2y y ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .
又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1，
依题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＋2＝1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1.
(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x 0y 0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.
又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．
【考点2】矩阵的特征值与特征向量 【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵
(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质
性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的． 性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1
＝B －1A －1
.
(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c
d 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.
2．逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理：如果关于变量x ，y
的二元一次方程组(线性方程组)⎩
⎪⎨
⎪⎧
ax ＋by ＝e ，
cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a
b c
d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d －1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤e f .
(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常
数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a
b c
d ＝0.
3．特征值和特征向量
设矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c
d ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一
个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质
设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n
α＝t 1λn
1ξ1＋t 2λn
2ξ2. 【规律方法技巧】 1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法： 设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c
d ，AB ＝BA ＝E 2；
(2)公式法：
|A |＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，
当且仅当|A |≠0；
(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1
＝B －1A －1
. 2．求特征值和特征向量的方法
(1)矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，
属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y 满足M ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：
①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；
②解⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．
3．注意3个易错点：
（1）并不是每一个二阶矩阵都是可逆的： 矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a
b c
d 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. （2）不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c d 有特征值λ的充分必要条件是方
程⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解． （3）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． 【考点针对训练】
1．已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 2
1－1
3将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.
(1)求直线l ′的方程；
(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1
；若不可逆，请说明理由．
【答案】（1）l ′的方程为4x ＋y －7＝0；（2）A
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
37 －17
17 27
.
(2)∵⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
2
1－1
3≠0，∴矩阵A 可逆． 设A －1
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c d ，∴AA －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
00
1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，
解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
a ＝3
7
，
b ＝－1
7，c ＝1
7
，d ＝27，
∴A
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤37 －1
717 27.
2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
75.
(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3
α.
【答案】（1）特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11，特征值λ2＝2的一个特征向量为α
2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.； （2）⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4933.
【解析】(1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2
－3λ＋2，
令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.
当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，
得一个非零解⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1.
因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11；
当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32.
(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋3n ＝7，
m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.
所以M 3
α＝M 3
(α1＋2α2)＝M 3
α1＋2M 3
α2＝λ3
1
α1＋2λ32
α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4933.
【两年模拟详解析】
1．【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分10分） 已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值.
【解析】解：由题意得112427a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即22
87
a b -=⎧⎨-=-⎩,解得41a b =⎧⎨=⎩, 所
以
4114⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
A ,
--------------------5分 所以矩阵A 的特征多项式为241
()81514
f λλλλλ--=
=-+--，
令()0f λ=，解得5λ=或3λ=，即矩阵A 的特征值为5和3. ---------------------10分
2. 【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦1203--⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， 所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分 解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎣⎦
A ． …… 6分 根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分
法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦1203--⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
两边同时左乘逆矩阵1-A 得， 1206⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分 设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
1203--⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． …… 6分 解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A ． …… 10分
3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵
，若
，求矩阵
的特征值.
【答案】，．
4. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦uu r 的一个特征值11λ=-及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r .
求矩阵M uu r
的逆矩阵.
【答案】
【解析】 解：由题知，
，，
.
，
.
5. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-2：矩阵与变换）
设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
，求m 与λ的值. 【答案】0m =，4λ=-.
6. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵212M x -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
的一个特征值为4，求1.M - 【解析】由
2
1
02x
λλ-=-得(2)()20x λλ---=的一个解为4，代入得3x = ， 因为 2123M -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
，所以1
3144.112
2M -⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
…………10分 7. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分） 已知矩阵21414331M N --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
，，求满足方程MX N = 的二阶矩阵.X 【解析】设a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由MX N =得21414331a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即24
21
433431
a c
b d a
c b
d -=⎧⎪-=-⎪
⎨-+=-⎪
⎪-+=⎩，解得921
51
a b c d ⎧
=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪
=-⎪⎩，所以91.251X ⎡⎤
-⎢⎥
=⎢⎥-⎣⎦
……………10分 8. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10
分）已知点(,)P a b ，先对它作矩阵
M 1212⎡
⎢
⎥=⎥
⎥⎦
对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦对应的变换，
得到的点的坐标为，求实数,a b 的值．
9. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(4,16)，求矩阵M ．
【答案】B ．2356M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】
设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及14316a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中，
得8834316a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得53
26
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=⎪⎪=⎩，∴5326M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ·······10分 10．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1
1203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
【解析】由逆矩阵公式得1
10102A --⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
，再利用矩阵运算得11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
11．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．
【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '，
依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A '． 则()()2,2,1,2A B A B x y '''==--． 记旋转矩阵0110N -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
， 则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得14x y =-⎧⎨=⎩
，
所以点B '的坐标为()1,4-．
12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． （1）求a ，b 的值．
（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2
． 【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=45112B
【解析】（1）由题意，得323234a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得6＋3a ＝3，2b －6＝4， 所以a ＝－1，b ＝5．
（2）由（1），得3152A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．由矩阵的逆矩阵公式得2153B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
， 所以⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=45112
B
13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转
2
π
角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
． （1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y ＝x 2
先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P '(-1,2).（2）y －x ＝y 2
.
【解析】(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝1110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 设x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,也就是000x y x x y -=⎧⎨=⎩ 即00y y x x y =-⎧⎨=⎩
所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2
.
14．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2
＋y 2
＝2
【解析】设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)． 则1210x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′， 所以x ＝y ′，y ＝
2
x y ''
-． 代入x 2
＋2xy ＋2y 2
＝1，得y ′2
＋2y ′2x y ''-·＋2(2
x y ''-)2＝1，即x ′2＋y ′2
＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2
＋y 2
＝2．
15．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】已知变换T 把平面上的点(34)-，
，(5 0)，
分别变换成(21)-，
，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ． 【答案】1135
202115
20⎡⎤
--
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M 【解析】设a b c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
∴342513415 2.
a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， 解得1,513,202,
511
20a b c d ⎧
=-⎪⎪
⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪
⎪=⎩
. 即113520211520⎡⎤
--
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M ． 16．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟】已知矩阵1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，向量53a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5
A a . 【答案】371307⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
17．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值. 【答案】4a b +=
【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得
()20x ay x y b +++-=
即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b
+=-=-，解得04a b =⎧⎨=⎩
，所以4a b +=
18．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知矩阵21m n ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
M 的两个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求2βM .
【答案】42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，
则由111
222
M M αλααλα=⎧⎨=⎩可解得：120,2,1m n λλ====，
又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
，
所以2
2
2
2
121
122104(2)242012M M βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
.
【一年原创真预测】
1． 已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，，求矩阵1.A B - 【答案】1
101212.1060302A B --⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，于是11,0,2a b c d =-===，从而110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
，
所以1
101212.1060302A B --⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
【入选理由】本题考查矩阵的乘法运算，考查二阶逆矩阵的求法，意在考查学生逻辑思维能力和运算求解能力.本题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考查知识基础，目的明确，是高考出题方向，故选此题.
2．已知矩阵a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1
的一个特征向量为232α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
．求A 的逆矩阵．
【答案】
1
21321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
【解析】由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则 66323322a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ ， 解得3234
a c
b d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以1
2
1321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-
⎢⎥⎣⎦. 【入选理由】本题考查矩阵的特征值与特征向量，本题通过特征值与特征向量概念求得矩阵
A ，然后再求得逆矩阵，意在考查最基本的运算求解能力，意在考查学生逻辑思维能力.符合
江苏高考对选做题的要求，故选此题. 3．变换1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
．求函数2
y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程． 【答案】
2y x y -=
【入选理由】本题考查矩阵的运算与平面变换之间的关系，考查用矩阵运算表示平面变换，意在考查学生分析问题与解决问题的能力，考查推理想象能力，考查运算求解能力，本题型考查知识基础，方法简单，是高考出题方向，故选此题.
- 21 -。