鲁教版七年级上册数学第一章 《三角形》导学案

第1章 三角形
1.1 认识三角形（1）
学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；
2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；
3、按角将三角形分成三类。

学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。

学习设计：
（一） 预习准备 （1）预习书2-6页
（2）思考①三角形的角之间的关系②三角形的分类 （3）预习作业
三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。

（二） 学习过程
例1 证明三角形的内角和为180°
例2 在△ABC 中，（1）0
82,42,C A B ∠=∠=∠则= （2）5,A B C C ∠+∠=∠∠那么=
（3）在△ABC 中，C ∠的外角是120°，B ∠的度数是A ∠度数的一半，求△ABC 的三个内角的度数
变式训练：在△ABC 中（1）0
78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°，0
10B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠=
例3 已知△ABC 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状？
变式训练：已知△ABC 中，0
90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？
例 4 如图，在△ABC 中，0
90ACB ∠=,CD ⊥AB 于点D ，
1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢
例5 如图，已知0
60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。

变式训练：如图在锐角三角形ABC 中，BE 、CD 分别垂直AC 、AB ，若0
40A ∠=，求BHC ∠的度数。

2
1D
C A
O
C
B
A
H
E D
C
B
A
拓展：1、如图所示，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数。

2、如图在△ABC 中，已知1,2,,A B ABC ACB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠∠求的度数。

回顾小结：
1、三角形的三个内角的和等于180°；
2、三角形按角分为三类：
（1）锐角三角形 （2）直角三角形 （3）钝角三角形 3、直角三角形的两个锐角互余
H
E
D C
B A 2
1D C B
A
1.1认识三角形（2）
一、学习目标：1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发掌空间观念、推理能力和
有条理地表达能力；
2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系：“三角
形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

二、学习重点：三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小
于第三边”。

三、学习难点： 灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。

四、学习设计 （一）预习准备 （1）预习书7-9页
（2）思考①什么叫三角形？②三角形的基本构造③三角形的三边关系 （3）预习作业：
如图，已知AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，点F 是AE 的中点，则图
中有 个三角形， 个直角三角形， 个锐角三角形， 个钝角三角形；以B 为内角的三角形有 个，它们分别是 ；以BE 为一边的三角形是 。

（二）学习过程
1、三角形的有关概念
（1）三角形的定义：由不在 上的三条线段首尾 相连所组成的图形。

（2）三角形的基本构造：
①组成三角形的三条线段叫做三角形的 ②两条边相接的点叫做三角形的 ③相邻两边组成的角叫做三角形的 2、三角形的三边关系： （1）三角形任意两边之和 第三边 （2）三角形任意两边之差 第三边 例1 图中共有几个三角形？并把它们用符号表示出来。

例2 下面各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能组成三角形。

（1）1 ；4 ；5 （2）3 ；3 ；5
（3）3x ；5x ；7x （x 为正数） （4）三条线段长度之比为4：7：6 变式训练：有下列长度的三条线段能否构成三角形？为什么？ （1）3 ；4 ；8 （2）5 ；6 ；11 （3）5 ；7 ；10 （4）4 ；4 ；9 （5）5 ；5 ；5
例3 小明要制作一个三角形铁丝架，已知有两根铁丝长度分别是3cm ，5cm （1） 他该如何选择第三根铁丝？你能帮助小明确定它的长度或范围吗？ （2） 如果要求第三根铁丝的长度是整数，那么小明有几种选择？ F E D
C
B A
G F E
D C
B A
变式训练：1、已知两条线段的长为5cm 和8cm ，要订成一个三角形，试求： （1） 第三条线段的长度范围；
（2） 若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长。

2、已知等腰三角形中，有两边长为3和7，求此等腰三角形的底边和腰长
例4 如图所示，在小河的同侧有A,B,C 三个村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A 村送信到B 村，总是走经过C 村的道路，不走经过D 村的道路，这是为什么呢？ 请利用你所学的数学知识加以证明。

拓展：1、若设,,a b c 是△ABC 的三边，则a b c a b c +++--=
2、已知,,a b c 是△ABC 的三边，2,5a b ==，且三角形的周长是偶数，（1）求c 的值；（2）判断△ABC 的形状。

回顾小结：
掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

E D
C
B A
1.1认识三角形（3）
学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2、了解三角形的角平分线、中线、高线，并能在具体的三角形中作出高线。

学习重点：1、角平分线的概念
2、三角形的中线、高线。

学习难点：高线的画法以及三个定义做计算 学习设计：
（一） 预习准备
（1） 预习书10-13
（2） 思考：什么是三角形的角平分线？中线？高线？ （3） 预习作业
画出下图三角形的三条高
（二） 学习过程
1、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
2、在三角形中， 的线段，叫做这个三角形的中线。

3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。

例1 （1）如图1，D 为S △ABC 的变BC 边的中点，若S △ADC =15, 那么S △ABC =
(2)如图2，已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高，若00
70,120,2C ∠=∠=∠=那么
D C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
图1 图2
变式训练：如图在△ABC 中，BD 平分0
,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么=
D
C
B A
例2 如图，已知在△ABC 中，ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ，试说明：
（1）0
1
180()2
BOC ABC ACB ∠=-∠+∠ (2)0
1
902
BOC A ∠=+
∠
变式训练：如图在△ABC 中，已知I 是△ABC 三个内角平分线的交点，
0130BIC BAC ∠=∠,则为（ ）
A 、40°
B 、50°
C 、65°
D 、80°
例3 如图，已知在△ABC 中，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC 的周长为15，求BC 的长。

变式训练：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15两部分，求△ABC 各边的长。

O
C
B A
I
C
B
A
O F E
C
B A
D
C B
A
拓展：1、（1）如图，若AD 为△ABC 底边BC 的中线，则ABD S
= =
1
2
; (2)两个等底（同底）三角形面积之比等于它们的 之比；两个等高（同高）三角形面积之比等于它们的 之比； （3）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，DF=FC,CE=2EB 。

已知,SDF
AECF S m S n ==四边形（其中n>m ）,则ABCD S 四边形=
2、如图1在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ (1)试探究,EAD C B ∠∠∠与的关系；
（2）若F 是AE 上一动点
①若F 移动到AE 之间的位置时，FD ⊥BD ，如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与与的关系如何？ ②当F 继续移动到AE 延长线上时，如图3所示FD ⊥BC ，①中的结论是否还成立，如果成立说明理由，如果不成立，写出新的结论。

回顾小结：(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;
(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.
F
E
D
C
B
A
图1
E D C
B
A
F 图2E D C
B
A F 图3E D
C B A
1.2 图形的全等
一、学习目标：
1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.
2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
3.掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质.
4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.
二、学习重点:
全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用.
三、学习难点:
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
四、学习设计:
(一)引入
观察教材 P15 图 1-23几组图形。

(二)学习过程
阅读课本P16-17填空：_________________两个图形就是全等图形。

全等图形的________和______都相同。

下面，我们看看图形的运动对全等图形有何影响?
活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形，先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠)；再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠)；然后将原图形沿形外某格线对称；最后将这些图形剪下来，将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程，说明了什么问题?
说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动，位置发生了变化，但形状和大小却没有改变，图形运动前后的两个图形是全等的；反过来，也就是说，两个全等的图形经过图形运动一定能重合.
请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征?
全等多边形对应边、对应角分别相等.
如图1，四边形ABCD与四边形EFGH全等，可记为
四边形ABCD≌四边形EFGH，请指出对应顶点、对应角、
对应边.
全等多边形的识别方法：如果两个多边形对应边、
对应角分别相等，那么这两个多边形全等.
三角形是特殊的多边形，所以，全等三角形的对应边、对应角分别相等；
如果两个三角形的___________、__________分别相等，那么这两个三角形全等.
例1 如图2，已知将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转
20°后得到△ADE.
(1)△ABC与△ADE的关系如何?
(2)求∠BAD的度数.
分析：将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE，故△ADE是由△ABC
旋转得到的，若将△ADE逆时针方向旋转20°，则能与△ABC重合，
所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.
探索：请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后
将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?并画出这些位置关系的代表性图形.
1.3 探索三角形全等的条件（1）
一、学习目标：
1．经历探索三角形全等的“边边边”的条件的过程． 2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 二、学习重点： 三角形全等的条件． 三、学习难点：
寻求三角形全等的条件 四、学习设计： (一)、预习准备
（1）回忆前面研究过的全等三角形． （2）预习课本P19-21 (二)、学习过程
已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．
C '
B 'A '
C B A
图中相等的边是：AB=A ′B 、BC=B ′C ′、AC=A ′C ． 相等的角是：∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、∠C=∠C ′．
（1）提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（提示：可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
（２）小明家衣橱上两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明快速配一块回来，如果只有一把尺子，小明该怎么办？
讨论下面几种情况： 1．给一个条件： 只给定一条边时：
只给定一个角时：
2．给出两个条件可能是：①一边一内角；②两内角；③两边．
①
3cm
3cm
3cm
30︒
30︒
30︒
②
50︒
50︒
30︒
30︒
③
6cm
4cm
4cm
6cm
可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条___、两边一内角、两_____一边． 在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．作图方法：
先画一线段AB ，使得AB=6cm ，再分别以A 、B 为圆心，8cm 、10cm 为半径画弧，•两弧交点记作C ，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．•这说明这些三角形都是全等的． 这反映了一个规律：
_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．
用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的__________．
[例1]如图，1、如图，△ABC 中 AB=AC ， D 为BC 中点
求证：①△ABD ≌△ACD ． ②∠BAD=∠CAD
③AD ⊥BC
证明：
变式训练：
如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
例2、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D
拓展延伸
1、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论： ⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．
F
D
C
B
E
A
2、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD. ⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ； ⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.
3、 已知：AB =AC, D 为△ABC 内部一点， 且BD = CD, 连接AD 并延长，交BC 于点E. 试找出图中的一对全等的三角形，并证明你的结论。

小结：
1、证明三角形全等的一般步骤：
①把非直接条件（公共边、公共角、对顶角，平行线，平行四边形等图形中的隐含条件）转化为直接条件（三角形中的对应相等的边或角）
②在△ 与△ 中 ∵⎩
⎨⎧ ∴△ ≌△
2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时，不要忘记证它们所在的三角形全等
A
B
C
D
1.3探索三角形全等的条件（2）
一、学习目标
1、探索出三角形全等的条件“ASA ”和“AAS ”并能应用它们来判定两个三角形是否全等。

2、体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程。

3、能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。

4、敢于面对数学活动中的困难，并能通过合作交流解决遇到的问题。

二、学习重点
掌握三角形全等条件“ASA ”和“AAS ”，并能应用它们来判定两个三角形是否全等。

三、学习难点
探索 “AAS ”的条件 四、学习设计：
1.温故而知新
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，△ABD 和△ACD 全等吗？你能说明理由吗？ 2、创设情景，引入新课
提问：一张三角形的纸片，被斯成三部分，究竟用那部分可画出原图一样的三角形？ 探究练习1.
两角和它们的夹边
将学生分组小组分工合作完成下列问题： 画一个△ABC 使它满足以下条件： 第一组：∠A=90°, ∠B=30°,AB=10cm 第二组： ∠A=60°, ∠B=45°,AB=9cm
学生动手操作，完成问题后，小组交流比较，看看能得到什么结论？学生表述，老师板书： ________________________对应相等的两个三角形全等；
（简写为_____________或者 ______________）
探究练习2.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60° 和45°，一条边长为10cm ，情况会怎样呢？
（1） 如果角60°所对的边为10cm ，你能画出这个三角形吗？
（2） 如果角45°所对的边为10cm ，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？
结论___________________________对应相等的两个三角形全等
简写为________________________________
思考：若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等，哪么这两个三角形全等，你认为对吗？能举例说明吗？
3.举例应用：
例 1.如图，已知AO=DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS ”，说明△AOB ≌△DOC 。

（若把“AO=DO ”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）
A
B C D A
变式训练：如图：已知BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，△ABD 与△ACE 全等吗？为什么？
例2、如图，OP 是∠MON 的角平分线，C 是OP 上一点，CA ⊥OM ，CB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，△AOC ≌△BOC 吗？为什么？
变式训练：
已知：如图，AB=DC ，∠A=∠D ．试说明：∠1=∠2．
拓展延伸
如图，ΔABC 中，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ． ⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论． ⑵若连结DE ，则DE 与AB 有什么关系？并说明理由．
A D E
B C
M
B
C D
A
F
G
A
B
C
D
O
1 2
1.3探索三角形全等的条件（3）
一、学习目标：
1、 明确SAS 公理的内容，能用SAS 证明两个三角形全等。

2、 通过SAS 公理的运用提高学生的逻辑思维能力，通过观察几何图形培养学生识图能力和应用数学知识
解决实际问题的能力。

二、学习重点：通过动手操作得出“SAS ”可以判定两个三角形全等.
三、学习难点：通过操作发现“两边及其一边的对角对应相等”不能成为三角形全等的条件. 四、学习设计： 一． 回顾引入：
师：到目前为止，你能用哪些方法来判定三角形全等？ 生：_____________________________________ 师：ASA ，AAS 同是两角一边，有什么区别？
师：请看下面的图形，已知∠1=∠3，BE=CF 你能只添加一个条件证出△ABC ≌ △DEF 吗？
二．学习过程：
提出问题：
据前面的探索过程可知，至少需要三个条件，除上述三种情况外还有哪种情况？ 两边与一角对应相等，可以分几种关系？ 1、两边及其夹角对应相等； 2、两边及其中一边的对角对应相等。

我们可以通过什么途径来验证以上条件能否得出全等结论？ 实践探索1：两边及其夹角对应相等
请同学们画一个三角形，两边分别为20cm 、16cm ，且夹角为40度。

小组比较交流图形能否重合。

思考：若改变图中的角度和边长也能重合吗？
明晰：________________________的两个三角形全等。

（或___________）
例1：小明不小心打翻了墨水，将自己所画的三角形涂黑了，你能帮小明想想办法，画一个与原来完全一样的三角形吗？说说怎么做？
F
A
C
E
D
B
2 1
3
4
变式训练：
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条
件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流，还
有哪组线段相等？并说明理由。

实践探索2：两边及其中一边对角对应相等
请同学们画一个三角形，两边分别为20cm、16cm，且一边的对角为40度。

小组比较交流图形能否重合。

明晰：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

例2、
工人师傅把两根钢条
AC,BD连在一起可以做成一个测量工件内槽
宽的工具（卡钳），只要量得CD的长度就可知工件的内径AB是否
符合标准。

你认为制作卡钳需要满足什么条件，并说明理由。

A、AO=CO
B、BO=DO
C、AC=BD
D、AO=CO且BO=DO
E
E F
D
H
O
B
例3.如图：
①已知AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS ”得到△ABC ≌△A ′B ′C ′. ②已知AB=A ′B ′,∠BAC ＝∠B ′A ′C ′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS ”
得到△ABC ≌△A ′B ′C ′.
③已知∠C ＝∠C ′,那只要再知道_____=_____ , _____=_____ ,就可以根据“SAS ” 得到△ABC ≌△A ′B ′C ′ 变式训练：
如图：若AB= DE ，BF=EC ,∠B ＝ ∠E ，那么 △ ABC 和△ DEF 全等吗？ 拓展延伸
1．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．△ABD ≌ △ ACE 。

2． 已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ， BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：AB ∥CD
3、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证
AC=AB+BD
A
B C
C ′
B ′
A ′
E
A
C
F
D
B
1.3探索三角形全等的条件（4）
学习目标:1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

学习重点: 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

四、学习设计：
一、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，
①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） （二）学习过程：
已知线段a ，c (a<c) 和一个直角α， 利用尺规作一个Rt △ABC ， 使∠C =∠α，AB=c ，CB= a .
按步骤作图： a c ① 作∠MCN =∠α=90°.
② 在射线 CM 上截取线段CB=a .
③ 以B 为圆心，c 为半径画弧，交射线CN 于点A . α
④ 连结AB .
(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
(4)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,
∵''BC B C AB =⎧⎨=
⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”
例1、如图2，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由.
例2、已知：如图在△ABC 和△A ′B ′C ′中，CD 、C ′D ′分别是高，并且AC ＝A ′C ′，CD ＝C ′D ′，∠ACB ＝∠A ′C ′B ′。

求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′。

变式练习
1、若把例题中的∠ACB ＝∠A ′C ′B ′改为AB ＝A ′B ′，△ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？请说明思路。

变式2：若把例题中的∠ACB ＝∠A ′C ′B ′改为BC ＝B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？请说明思路。

变式3：请你把例题中的∠ACB ＝∠A ′C ′B ′改为另一个适当条件，使△ABC 与△A ′B ′C ′仍能全等。

试说明证明思路。

拓展延伸：
如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。

（1）求证：MB=MD,ME=MF;(2)当E 、F 两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。

A
B
C
A 1
B 1
C 1
1.4 用尺规作三角形
学习目标：1、了解尺规作图的含义及其历史背景。

2、会作一个角等于已知角，并了解作法理由。

3、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形。

4、作已知线段的垂直平分线，并了解作法理由。

5、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。

学习重点：基本尺规作图
学习难点：作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线的作法分析过程。

四、学习设计：
（一）预习准备
（1）预习书30~32页
（2）学具：圆规、直尺
（3）预习作业：
已知：a
求作：AB，使AB=a
已知：∠α
求作：∠AOB，使∠AOB=∠α
α
（二）学习过程：
1．作一个三角形与已知三角形全等
（1）已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α。

求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。

α
作法与过程：
1.作一条线段BC=a，
2.以B为顶点，BC为一边，作角∠DBC=∠a；
3.在射线BD上截取线段BA=c；
3.连接AC，ΔABC就是所求作的三角形。

给出示范和作法,让学生模仿,教师可以在黑板上做一次示范,让学生跟着一起操作,并在画完图后,让学生再自己操作一遍.而在下面的作图中,就让学生小组内讨论、交流，通过集体的力量完成，教师再给以一定的指导。

（2）已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c 。

求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。

作法：1.作____________=∠α;
2.在射线______上截取线段_________=c;
3.以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________
交_______于点_______.ΔABC就是所求作的三角形.
先让学生独立思考，探索作图的过程，对可以自己作出图形的学生，要求他们在小组内交流，用自己的语言表述作图过程。

教师要注意提醒学生在作图过程中，是以哪个点为圆心，什么长度为半径作图。

（3）已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知：线段a，b，c。

求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a。

在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等。

在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性。

1.5 利用三角形全等测距离
一、学习目标：1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系；
2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

二、学习重点：能利用三角形的全等解决实际问题。

三、学习难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

四、学习设计： （一）预习准备
（1）预习书33~34页
（2）回顾：证明三角形全等的方法有哪些？
（3）预习作业：
①全等三角形的性质：两三角形全等，对应边 ，对应角 ②如图；△ADC ≌△CBA ，那么∠=∠ABC ，＝
AB
③如图；△ABD ≌△ACE ，那么∠=∠BDA ，＝
AD
（二）学习过程：
一、探索练习：
如图：A 、B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长。

他叔叔帮他出了一个这样的主意：
先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=AC ；连接BC 并延长到E ，使CE=CB ；连接DE 并测量出它的长度； （1） DE=AB 吗？请说明理由
（2） 如果DE 的长度是8m ，则AB 的长度是多少？
A
C
B
D
A
B
C
E 12
变式练习：
1．如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。

（1）在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使
AO=CO，请你能完成右边的图形。

(2) 说明你是如何求AB的距离。

2．如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明理由。

3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，完成下图并求出A、B的距离
拓展练习：
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

第一章 三角形回顾与思考
一、学习目标
（1） 进一步了解全等图形、全等三角形的概念和性质； （2） 能够辨认全等三角形中对应的元素； （3） 会正确使用全等符号标注两个三角形全等；
（4） 能灵活运用“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ” 、“HL ”来判定三角形全等； （5） 会用三角形全等的条件推理和计算有关问题。

二、学习重难点
重点：能够辨认全等三角形中对应的元素； 灵活运用“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ” 、“HL ”来判定三角形全等
难点：灵活运用“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ” 、“HL ”来判定三角形全等。

三、学习过程
（一） 知识回顾
1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2、全等三角形的特征：大小相等，形状相同．
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形周长相等，面积相等．
4、三角形全等的判定：重叠法（定义法），SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL （RT △）（请根据判定方法依次分别画图（图上标出标记），写出几何符号推理语言）． 注意：（1）“分别对应相等”是关键；
（2）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等； （3）三角分别对应相等的两个三角形不一定全等．
5、要证明两条线段或两个角相等，最常用的方法之一是利用全等三角形去证明，因此，首先筛选或构造恰当的三角形，使所要证明的线段或角分别为这两个三角形的对应元素，然后证明这两个三角形全等． 基础练习 1、选择
（1）在ABC ∆和'
'
'
C B A ∆中，''B A AB =，'B B ∠=∠，补充条件后，仍不一定能保证ABC ∆≅'
''C B A ∆，这个补充条件是（ ）
（A ）'
'
C B BC = , （B ）'A A ∠=∠ , （C ）''C A AC = , （
D ）'
C C ∠=∠. （2）下列条件能判定△ABC ≌△DEF 的一组是 （ ）
（A ）∠A=∠D ， ∠C=∠F ， AC=DF ,（B ）AB=DE ， BC=EF ， ∠A=∠D ,
（C ）∠A=∠D ， ∠B=∠E ， ∠C=∠F ,（D ）AB=DE ，△ABC 的周长等于△DEF 的周长. （3）判定两个三角形全等必不可少的条件是（ ） （A ）至少有一边对应相等，（B ）至少有一角对应相等， （C ）至少有两边对应相等，（D ）至少有两角对应相等. （4）下列条件中不能判断两个三角形全等的是（ ）
（A ）有两边和它们的夹角对应相等, （B ）有两边和其中一边的对角对应相等, （C ）有两角和它们的夹边对应相等, （D ）有两角和其中一角的对边对应相等.。