高中数学--空间中的垂直关系

a⊥α
论
线也_垂__直__这个平面
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(3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言
符号语言
性 垂直于同一个
质 平面的两条直
定 线___平__行____
理
a⊥α b⊥α
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2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
一个平面过另一个
定 平面的___垂__线___，
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(3)证明：如图，过E作EG∥AB交PA于G，连接DG. ∵E为PB的中点，∴G为PA的中点． ∵DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，∴DG⊥PA.
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∵AB⊥平面 PAD，DG⊂平面 PAD， ∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 又∵GE 綊12AB，DF 綊12AB，∴GE 綊 DF.
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【名师点评】 证明面面垂直时一般先证线面 垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中 去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过 添加辅助线来构造．
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跟踪训练 2.(2011·高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平 面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E， F分别是AP，AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
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2．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3．证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
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4. 垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的 垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来 解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平 面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步 转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂 直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
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跟踪训练 1.
如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
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证明：(1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
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2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平 面，则下列命题中的真命题是( ) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若m⊥β，m∥α，则α⊥β C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β 答案：B
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3．(教材习题改编)△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平 面ABC，则图中直角三角形的个数是__________．
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因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.
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(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD， 则PQ∥BC.因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
答案：4
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4．已知平面α、β和直线m，给出条件： ①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β； ⑤α∥β. (1)当满足条件________时，有m∥β； (2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 答案：(1)③⑤ (2)②⑤
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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 线面垂直的判定与性质 例1 (2012·高考广东卷)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中， AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点且 DF＝12AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E－BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB.
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【解】 (1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD， 故AB⊥PH. ∵PH为△PAD中AD边上的高， 故AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD， AD⊂平面ABCD， ∴PH⊥平面ABCD.
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(2)由于 PH⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点，PH＝1，故 E 到平面 ABCD 的距离 h＝12PH＝12. ∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD， 故 S△BCF＝12·FC·AD＝12×1× 2＝ 22. ∴VE－BCF＝13S△BCF·h＝13× 22×12＝ 122.
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考点 3 平行与垂直问题的综合应用 例3 (2012·高考北京卷)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，
E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点．将△ ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2. (1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由．
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名师讲坛精彩呈现
规范解答 垂直关系的综合题
例 (本题满分 12 分)如图，四边形 ABCD 为正方形，QA⊥ 平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD. (1)证明：PQ⊥平面 DCQ； (2)求棱锥 Q－ABCD 的体积与棱锥 P－DCQ 的体积的比值．
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【解】 (1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形． 因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ， 所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD 1 .2分 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ 2 ，4分 又PQ⊂平面PDAQ，所以PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ＝PQ＝ 22PD， 则 PQ⊥QD 3 .5 分 又 DC∩QD＝D， 所以 PQ⊥平面 DCQ.6 分
l⊥α
定
l⊂β
则这两个平面垂直
理
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(2)平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
两个平面互相垂 性
直，则一个平面 质
内垂直于__交__线__ 定
的直线垂直于另 理
一个平面
α⊥β l⊂β l⊥a α∩β＝a
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3．线面角和二面角的概念 (1)直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这 条直线和这个平面所成的角． 当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直 线和平面所成的角分别为90°和0°.
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由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.
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考点 2 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2012·高考江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
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【名师点评】 解答立体几何综合题时，要学会识图、 用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间 平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结 合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面 图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．
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方法感悟 1．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线都垂直⇒a⊥α； (2)判定定理 1： ml⊥、mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
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(2)直线与平面垂直的判定定理及推论
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图形语言
符号语言
判 一条直线与一个平面内
定 的_相__交__直__线__都垂直，则
定 该直线与此平面垂直
理
l⊥a l⊥b
a∩b＝O a⊂α，b⊂α
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(2)直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言
图形语言 符号语言
如果在两条平行直线中，有一
a∥b
推 条垂直于平面，那么另一条直
A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于 点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点． 求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)直线 A1F∥平面 ADE.
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【证明】 (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC， 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1.
考纲展示
2014高考导航
备考指南
1.垂直关系的判断多出现在选择题 1.以立体几何的定义、公
或填空题中，主要考查对概念、公 理和定理为出发点，认识
理、定理、性质、结论的理解及运 和理解空间中线、面垂直
用，往往与命题及平行关系综合在 的有关性质与判定定理．
一起考查，难度较小． 2.能运用公理、定理和已
2.线面垂直、面面垂直的证明及运 获得的结论证明一些空间
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证明：(1) 如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点， 所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD， PD⊂平面PCD， 所以直线EF∥平面PCD.
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(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为 正三角形． 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD. 因 为 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD ， BF ⊂ 平 面 ABCD ， 平 面 PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
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【解】 (1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DE∥BC. 又因为DE⊄平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB. (2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE. 所以A1F⊥BE.
算常以解答题的形式出现，且常与 图形垂直关系的简单命题.
平行关系综合命题，难度中等.
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本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松双互呈闯基动
现
关
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的___任__何___直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．
∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. 于是 EF⊥平面 PAB.
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【名师点评】 (1)在证明垂直关系时，要注意线面垂直 与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行 这种转化． (2)解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析， 从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问 题都可转化为线线垂直来处理．
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(2)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的__两__个__半__平__面___所组成的 图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在 两个半平面内分别作___垂__直__于__棱____的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角．
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课前热身 1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与 BD的位置关系是( ) A．平行 B．垂直但不相交 C．异面 D．相交但不垂直 答案：B