函数的单调性-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题导入
思考1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间变化的函数
l
ℎ() = −4.9 2 + l4.8
+ 11的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数
’
() = ℎ () = −9.8 + 4.8的图象. =
令 ’ ()
=
2 2 −1
.

2
，
2
< 0，得0 < <
∴()在(0,
= 2
1
−

2
，
2
2
2
)上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2
2
∴函数()的单调递减区间为(0,
2
2
)，单调递增区间为( , +∞).
2
2
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(2)() =

；
−2
’
解(2)：函数()的定义域为(−∞, 2) ∪ (2, +∞)， () =
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0.
O
1
4
x
试画出函数()图象的大致形状.
解：当1 < < 4时， ’ () > 0，可知()在区间(1,4)内单调递增；
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减；
2
.

当 > 0时，若 ∈ (−∞, 0)，则 ’ () > 0.
若 ∈
2
(0, )，则 ’ ()

若 ∈
2
( , +∞)，则 ’ ()

< 0.
∴()在区间(−∞, 0)上为增函数.
2
∴()在区间(0, )上为减函数.

> 0.
2

∴()在区间( , +∞)上为增函数.
1

1
，

’
∈ (−∞，0) ∪ (0, +∞)，所以 () =
1
2
> 0.
所以，函数() = 1 − 在(−∞，0)和(0, +∞)上单调递增，如图所示.
例析
例2.已知导函数 ’ ()的下列信息：
l
’
当1 < < 4时， () > 0；
y f ( x)
y
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0；
练习
3

例1.已知函数() = 3 − 3 2 + 1 − ，讨论函数()的单调性.
2

解：由题设知 ≠ 0. ’ () = 3 2 − 6 = 3( − )，
当 < 0时，若 ∈
2
(−∞, )，则 ’ ()

2

2

∴()在区间(−∞, )上为减函数.
当 ∈
l’
l
(0, )时，ℎ ()
> 0，函数的图象是“上升”的，函数ℎ()在(0, )内单调递增；
当 ∈ (, )时，ℎ’ () <l 0，函数的图象是“下降”的，函数ℎ()(, )内单调递减.
问题1：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
这种情况是否具有一般性呢？
在(0, +∞)上， ’ () > 0.
新知探索
如图，导数 ’l(0 )表示函数 = ()的图象在点(0 , (0 ))
l
处的切线的斜率.可以发现：
l
在 = 0 处， ’ (0 ) > 0，切线是“左下右上”的上升式，
函数 () 的图象也是上升的，函数 () 在 = 0 附近单调递增；
当导数小于零时，函数在此区间内单调递减.
练习
题型一：判断或讨论函数的单调性
3

例1.已知函数() = 3 − 3 2 + 1 − ，讨论函数()的单调性.
2

解：由题设知 ≠ 0. ’ () = 3 2 − 6 = 3( − )，
令 ’ ()
= 0，得1 = 0，2 =
(2 )−(1 )
0时，函数是增函数；当
2 −1
<
>
(2 )−(1 )
0时，函数在区间上是减函数，而
2 −1
是函数在区间[1 , 2 ]上的平均变化率，其几何意义是指曲线()过点(1 , (1 ))，
(2 , (2 ))的割线的斜率.
新知探索
思考3：请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数
令 ’ () > 0，即 − 3 > 0， > 3；
(−3)
.
(−2)2
令 ’ () < 0，得 < 2或2 < < 3.
∴()在(−∞, 2)和(2,3)上单调递减，在(3, +∞)上单调递增，
∴函数()的单调递减区间为(−∞, 2)和(2,3)，单调递增区间为(3, +∞).
故 ’ () =
1−
2
即函数() =
> 0，

在区间(0,2)上是单调递增函数.

练习
题型二：求函数的单调区间
例2.求下列函数的单调区间.
(1)() = 2 − ；
解(1)：函数()的定义域为(0, +∞)， ’ ()
令 ’ () > 0，得 >
(2)若 ’ () < 0，则 = ()在(, )上单调递减；
(3)若恒有 ’ () = 0，则 = ()是常数函数，不具有单调性.
练习
方法技巧：
2.含有参数的函数单调性的解题技巧：
讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对
含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类
l
在某个区间(, )上，如果 ’ () < 0，那么函数 = ()在区间(, )上单调递减.
如果在某个区间上恒有 ’ () = 0，那么函数()有什么特性？
函数()为常数函数，其图象平行于轴或与轴重合.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)函数()在定义域上都有 ’ () > 0，则函数()在定义域上单调递增.(
讨论的标准.
含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式∆及根的大小关系
等方面进行讨论.
练习
变1.试证明：函数() =
证明：由于() =
∴ ’ () =
1
∙− ×1

2

在区间(0,2)上是单调递增函数.


，

=
1−
.
2
由于0 < < 2，∴ < 2 < 1，
l
24
，是函数ℎ()的零点.
49
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区
别？如何从数学上刻画这种区别？
新知探索
观察图象可以发现：
ll
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度ℎ随时间的增加而
l
增加，即ℎ()单调递增.相应地，()
= ℎ’ () > 0.
5.3.1 函数的单调性
问题导入
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函
l
l
数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中，我们学习
l
了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了
函数的局部变化.能否利用导数更加精确的研究函数的性质呢？本节我们就来讨论
l
量的值1 ，2 ，当1 < 2 时，都有(1 ) < (2 )((1 ) > (2 ))，那么就说函数在
区间上是增(减)函数.如果一个函数在某区间上是增函数或是减函数，那就说这个
(2 )−(1 )
函数在该区间上具有单调性.上述定义也可以理解为：在区间上，当
2 −1
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(3)() = − 3 + 3 2 .
解(3)：函数()的定义域为(−∞, +∞)， ’ () = −3 2 + 6.
令 ’ () > 0，即0 < < 2；
令 ’ () < 0，得 < 0或 > 2.
∴()在(0,2)上单调递增，在(−∞，0)，(2, +∞)上单调递减，
< 0.
2
若 ∈ ( , 0)，则 ’ () > 0. ∴()在区间( , 0)上为增函数.
若 ∈ (0, +∞)，则 ’ () < 0.
∴()在区间(0, +∞)上为减函数.
练习
方法技巧：
1.利用导数判断或证明函数单调性的思路
求函数()的导数 ’ ()：
(1)若 ’ () > 0，则 = ()在(, )上单调递增；
(2)函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.(
)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.(
答案：×，×，√.
辨析2.函数() = ( − 3) 的单调递增区间是(
A.(−∞, 2)
答案：D.
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2, +∞)
).
)
)
在(−∞, 0)上， ’ () > 0；
在(0, +∞)上，()单调递增.
在(0, +∞)上， ’ () > 0.
新知探索
l
y
l f ( x)
1
x
O
x
y
f '( x)
1
x2
O
x
在(−∞, 0)上，()单调递增；
在(−∞, 0)上， ’ () > 0；
在(0, +∞)上，()单调递增.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度ℎ随时间的增加而
减小，即ℎ()单调递减.相应地，() = ℎ’ () < 0.
思考2：我们看到，函数ℎ()的单调性与ℎ’ ()的正负有内在联系.那么，我们能否由
ℎ’ ()的正负来判断函数ℎ()的单调性呢？
新知探索
对于高台跳水问题，可以发现：来自2xy
f '( x) 2 x
O
x
在(−∞, 0)上，()单调递减；
在(−∞, 0)上， ’ () < 0；
在(0, +∞)上，()单调递增.
在(0, +∞)上， ’ () > 0.
新知探索
ll
y
l
O
f ( x) x3
y
f '( x) 3x 2
x
O
x
在(−∞, 0)上，()单调递增；
∴函数()的单调递减区间为(−∞，0)和(2, +∞)，单调递增区间为(0,2).
练习
方法技巧：
求可导函数()的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数()的定义域；
(2)求导函数 ’ ()；
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数()图象的大致形状如图所示.
新知探索
思考3：请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数
ll
= ()的平均变化率的几何意义与 ’ ()的正负的关系.
l
一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变
例析
例1.利用导数判断下列函数的单调性：
l
(1)() = 3 + 3；(2)() = − ， ∈ (0, )；
解：(1)因为() = 3 + 3，所以 ’ () = 3 2 + 3 = 3( 2 + 1) > 0.
所以，函数() = 3 + 3在上单调递增，如图所示.
f ( x) x
y
O
x
f ( x) x
y
O
x
2
f ( x) x
y
O
x
3
f ( x)
y
O
x
1
x
新知探索
ll
f ( x) x
yl
O
x
在(−∞, +∞)上，()单调递增
y
f '( x) 1
O
x
在(−∞, +∞)上， ’ () > 0
新知探索
ll
y l
O
f ( x) x
解：(2)因为() = − ， ∈ (0, )，所以 ’ () = − 1 < 0.
所以，函数() = − 在(0, )上单调递减，如图所示.
例析
例1.利用导数判断下列函数的单调性：
(3)() =
−1
.

l
解：(3)因为() = 1 −
ll
= ()的平均变化率的几何意义与 ’ ()的正负的关系.
l
由此可见，当区间(1 , 2 )的长度很小时，平均变化率就可以近似地反映函数 =
l
()在这个区间上的单调性，而当2 → 1 时，平均变化率的极限是函数 = ()在
= 1 处的导数.故当函数在某个区间内的导数大于零时，函数在此区间内单调递增；
在 = 1 处， ’ (1 ) < 0，切线是“左上右下”的下降式，
函数()的图象也是下降的，函数()在 = 1 附近单调递减.
新知探索
’
一般地，函数()的单调性与导函数
()的正负之间具有如下的关系：
l
l
在某个区间(, )上，如果 ’ () > 0，那么函数 = ()在区间(, )上单调递增；