电大本科工程数学复习辅导教材

试卷代号：1080
中央广播电视大学2018～2018学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试卷
2018年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ ）成立． A ．
A B A B +=+
B ．
AB A B '=
C ． 1
AB A B -= D ．kA k A =
2． 设A 是n 阶方阵，当条件（ ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解．
3．设矩阵1111A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ）。

A ．0，2
B ．0，6
C ．0，0
D ．2，6 4．若随机变量(0,1)X
N ，则随机变量32
Y X =- ( )．
5． 对正态总体方差的检验用( )．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设,A B 均为二阶可逆矩阵，则1
11
O
A B O ---⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
．
8． 设 A ， B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称A 与B ． 9．若随机变量[0,2]X
U ，则()D X =．
10．若12,θθ都是θ的无偏估计，且满足 ______ ，则称1θ比2θ更有效。

三、计算题(每小题16分，共64分)
11． 设矩阵234123231A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111111230B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，那么A B -可逆吗？若可逆，求逆矩阵1
()A B --．
12．在线性方程组
123121
232332351
x x x x x x x x λ
λ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪++=⎩ 中λ取何值时，此方程组有解。

在有解的情况下，求出通解。

13. 设随机变量(8,4)X
N ,求(81)P X -<和(12)P X ≤。

(已知(0.5)0.6915Φ=，(1.0)0.8413Φ=，(2.0)0.9773Φ=)
14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为
0.15cm 。

从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）
10.4, 10.6, 10.1, 10.4
问：该机工作是否正常（0.9750.05, 1.96u α==）？
四、证明题（本题6分） 15. 设n 阶矩阵A 满足2
,A I AA I '==,试证A 为对称矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、B
2、A
3、B
4、D
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分
)
三、计算题(每小题16分，共64分)
试卷代号：1080
中央广播电视大学2018～2018学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试卷
2018年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 都是n 阶方阵，则等式（ ）成立． A ． A B A B +=+ B ．AB BA =
C ．
AB BA = D ．22()()A B A B A B +-=-
2． 已知2维向量组1234,,,,αααα则1234(,,,)r αααα至多是（ ）。

A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3．线性方程组122321
20
x x x x +=⎧⎨
+=⎩解的情况是（ ）。

A ．无解
B ．有惟一非零解
C ．只有零解
D ．有无穷多解
4．对任意两个事件 A ，B ，等式( )成立．
A ． ()A
B B A -+= B ．()A B B A +-=
C ． ()A B B A -+⊂
D ．()A B B A +-⊂ 5． 设12,,
,n x x x 是来自正态总体()N μσ2，的样本，则 ( ) 是统计量．
A ． 2x σμ+
B ．1
1n
i i x n =∑
C ． 1x μσ
- D ．1x μ
二、填空题(每小题3分，共15分) 1． 设A,B 是3阶方阵，其中
3,2,A B ==则12A B -'=．
2． 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得A x x λ=，则称λ为A 的
______。

3． 若()0.9,()0.2,()0.4P A B P AB P AB +===，则()P AB =． 4．设随机变量X ，若()3D X =,则(3)D X -+=．
5．若参数θ的两个无偏估计量1θ和2θ满足12()()D D θθ>，则称2θ比1θ更 ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1． 设矩阵12212110,1113504A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，AX B =,求X ． 2．设齐次线性方程组1231231
233202530380
x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩，λ为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其通解。

3. 设0
1230.40.30.20.1X
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,求(1)()E X ；（2）(2)P X ≤。

4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm ，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平
均值为99.9mm ，样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格？（检验显著性水平0.05=0.05(8) 2.306t α=，）
四、证明题（本题6分）
设A 是可逆的对称矩阵，试证：1
A -也是对称矩阵。

参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、C
2、B
3、A
4、D
5、B
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．12 2．特征值 3．0.3 4．3 5. 有效
三、计算题(每小题16分，共64分
)
四、证明题（本题6分）
试卷代号：1080
中央广播电视大学2018～2018学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试卷
2018年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 都是n 阶方阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．
AB A B =
B ．
A B A B +=+
C ． 1
11()
A B A B ---+=+ D ． 111()AB A B ---=
2． 方程组1212321
33 x x a x x a x x a
-=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩相容的充分必要条件是（ ），其中0,(1,2,3)i a i ≠=．
3．下列命题中不正确的是（ ）。

A ．A A '与有相同的特征多项式
B ．若λ是 A 的特征值，则
-0I A X λ=（）的非零解向量必是 A 对应于λ的特征向量 C ．若0λ=是A 的一个特征值，则AX=O 必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量
4．若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是( )．
5． 设12,,
,n x x x 是来自正态总体(51)
N ，的样本，则检验假设0=5H μ：采用统计量=U ( )．
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设221
12
=1
12214
A x x -+，则0A =的根是．
7．设 4 元钱性方程提 AX=B 有解且()1r A =，那么AX B =的相应齐次方程程的基础解系含有 ________个解向量。

8． 设 A ， B 互不相容，且 P(A)>O ，则(|)P B A =． 9．设随机变量(,)X
B n p ，则()E X =．
10．若样本12,,n x x x 来自总体(0,1)X
N ，且1
1n
i i x x n ==∑，则x ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
11． 设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，求1
()AA -'．
12．求下列线性方程组的通解。

123412341
234245353652548151115
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩ 13. 设随机变量(3,4)X
N ,试求(1)(17)P X <<；（2）使()0.9P X a <=成立的常数a 。

(已知(1)0.8413Φ=，(2)0.9772Φ=，(3)0.9987Φ=)
14. 从正态总体(,4)N μ中抽取容量为625的样本，计算样本均值得 2.5x =，求μ的置信区间度为，
99%的置信区间。

（已知0.995 2.576u =）
四、证明题（本题6分）
15. 设n 阶矩阵A 满足()()A I A I O -+=,则A 为可逆矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、A
2、B
3、D
4、A
5、C
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．1,-1,2.,-2 2．3 3．0 4．np 5.1(0,)N n
三、
试卷代号：1080
中央广播电视大学2009～2018学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试卷
2018年7月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A ，B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）． A ．
AB A B =
B ． 2
22()
2A B A AB B -=-+
C ． AB BA =
D ． , AB O A O B O ===若则或
2． 向量组110201230037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，，，的秩是（ ）． A ．1 B ．3 C ． 2 D ．4
3． n 元线性方程组，AX b =有解的充分必要条件是（ ）。

A ． ()()r A r A
b =B ．A 不是行满秩矩阵
C ． ()r A n <
D ．()r A n =
4． 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是 ( )．
A ．
625 B ． 310 C ．320 D ． 925
5． 设12,,,n x x x 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，则 ( )是μ无偏估计．
A ．123111555x x x ++
B ．123x x x ++
C ．123113555x x x ++
D ．123222555
x x x ++
二、填空题(每小题3分，共15分)
1． 设,A B 均为3阶方阵，且1
2,3,3A B A B
-'==-=．
2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 ___，则称λ为A 的特征值λ．
3．设随机变量0
120.20.5X
a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则a =． 4．设X 为随机变量，已知()3D X =，此时(32)D X -=． 5．设θ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ______ ．
三、计算题(每小题16分，共64分)
1． 设矩阵112215235,011324A B -⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
，且有AX B '=，求X ． 2．求线性方程组12341234
1234123431
2722432124822
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=-⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩的全部解。

3. 设(3,4)X
N ,试求（1）(59)P X <<；（2）(7)P X >。

(已知(1)0.841
Φ=，(2)0.9772Φ=，(3)0.9987Φ=)
4. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度(32.5,1.21)X
N ，今从这批砖中随机地抽取了9块，
测得抗断强度（单位：
2/kg cm ）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格
0.976(0.05, 1.96)u α==？
四、证明题（本题6分）
设A B 、是n 阶对称矩阵，试证：A B +也是对称矩阵。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、A 2、B 3、A 4、D 5、C
二、填空题(每小题3分，共15分) 1．-18 2．Ax x λ= 3．0.3 4．27 5.()E θθ=
三、计算题(每小题16分，共64分) 1．解：利用初等行变换得
2．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
试卷代号：1080
中央广播电视大学2009～2018学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
工程数学(本) 试卷
2018年1月
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1． 设A 为对称矩阵，则条件（ ）成立． A ． 1
AA
I -= B ． A A '= C ． 1
A A -'=
D ． 1
A
A -=
2． 1
3547-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（ ）．
A ．7453-⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦B ．7453-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
C ． 7543-⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦ D ．7543-⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
3． 若 ( )成立，则n 元方程组0AX =有唯一解。

A ． ()A n =秩B ．0A ≠
C ． ()A n <秩
D ．A 的行向量组线性无关
4． 若条件 ( )成立，则随机事件,A B 互为对立事件． A ．AB A B U =∅+=或 B ． ()0()P AB P A B I =+=或 C ．AB A B U =∅+=且
D ． ()0()P AB P A B I =+=且 5． 对来自正态总体2
(,)X N μσμ（未知）
的一组样本123,,X X X ，记3
1
13i i X X ==∑，则下列各式中 ( )不是统计量．
A ．X
B ．
3
1
i
i X
=∑
C ．3211()3i i X μ=-∑
D ．321
1()3i i X X =-∑
二、填空题(每小题3分，共15分)
6． 设,A B 均为3阶方阵，且13
6,3,()A B A B -'=-=-=．
7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 ___，则称x 为A 相应于特征值
λ的特征向量．
8．若5.0)(,
8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ．
9．如果随机变量X 的期望()2E X =且2
()9E X =，那么(2)D X =．
10．不含未知参数的样本函数称为 ______ ．
三、计算题(每小题16分，共32分)
11． 设矩阵110200121,050223005A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求1
A B -．
12．当λ取何值时，线性方程组123412341
2342227369741
x x x x x x x x x x x x λ+--=-⎧⎪
+++=⎨⎪+++=+⎩有解，在有解的情况下求出此方程组的一
般解．
四、计算分析题（每小题16分，共32分） 13. 设(3,4)X
N ,试求（1）(1)P X <；（2）(57)P X <<。

(已知(1)0.841
Φ=，(2)0.9772Φ=，(3)0.9987Φ=)
14. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9 个，测得直径平均值为
15.1 mm ，若已知这批滚珠直径的方差为2
0.06，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间
0.976( 1.96)u =
五、证明题（本题6分）
15. 设随机事件A B 、相互独立，试证：,A B 也相互独立。

参考解答
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、B 2、D 3、A 4、C 5、C
二、填空题(每小题3分，共15分) 6．8 7．Ax x λ= 8．0.3 9．20 10．统计量
三、计算题(每小题16分，共64分) 11．解：利用初等行变换得
12．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
四、计算分析题（每小题16分，共32分）。