湖北省孝感市重点高中协作体2017-2018学年高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2017～2018学年度孝感市重点高中协作体期末考试
高二数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设命题：，，则为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】分析：直接利用特称命题的否定解答.
详解：由特称命题的否定得为：，，故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称命题,特称命题
的否定.
2. 复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先化简复数，再求其共轭复数.
详解：由题得=，所以它的共轭复数为.
故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查复数的化简和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数
的共轭复数
3. 已知，是两个向量，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.
详解：由题得，所以，所以或或，
所以或或.
因为或或是的必要非充分条件,
所以“”是“”的必要非充分条件.
故答案是：B.
4. 用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，应假设（）
A. 方程没有实根
B. 方程至多有一个实根
C. 方程至多有两个实根
D. 方程恰好有两个实根
【答案】A
【解析】分析：直接利用命题的否定写出假设即可,至少的反面是一个都没有。

详解：用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实根．故选：A．
点晴：本题主要考察反证法，注意反证法证明问题时，反设实际是命题的否定
5. 已知命题是命题“若，则”的否命题；命题：若复数是实数，则实数，则下列命题中为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先判断命题p，q的真假，再判断选项的真假.
详解：由题得命题p:若a>b,则，是假命题.
因为是实数，所以
所以命题q是假命题，
故是真命题.故答案为： D.
点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
6. 已知数列满足，，则（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】分析：先根据已知推算出数列的周期，再求的值.
详解：，所以
因为，
所以
点睛：（1）本题主要考查数列的递推和周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求数列的某一项时，如果n 的取值比较大，一般与数列的周期有关，所以要推算数列的周期.
7. 在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）
A. B. 与所成角为
C. 平面
D. 与平面所成角的余弦值为
【答案】C
【解析】分析：A，选项异面直线求夹角，转化为共面直线求夹角即可；B，BD垂直平面ACC1A1，C选项正面线面垂直，转化正面线垂直面内两条相交的直线即可；D选项线面角的范围为[0,90°]，即余弦值不可能为负值
详解：设正方体的边长为4，
A选项：在边上取一点H使得，连接HF，即所成的角为∠，，故A选项不正确
B选项，BD垂直平面ACC1A1，故与垂直，B不正确
C选项，AD⊥面ABB1A1，即AD⊥，取DC中点G，连接D1G，即D1G⊥DF，即DF⊥，即符合题意
D选项线面角的范围为[0,90°]，即余弦值不可能为负值
故本题选C
点晴：空间立体主要考察空间中点线面的位置关系，这类题目大家需熟练空间线面平行垂直的判定定理和性质定理，注意线线，线面，面面角的范围及求法。

8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：函数在上单调递增，即在上恒成立
详解：
由在R上单调递增可得
在R上恒成立
在R上恒成立
解得
综上所述,答案选择:D
点晴：导数中的在给定区间单调递增，即导函数在相应区间内≥0恒成立，在给定区间内单调递减，即导函数≤0恒成立。

9. 证明等式时，某学生的证明过程如下
（1）当时，，等式成立；
（2）假设时，等式成立，
即，则当时，
，所以当时，等式也成立，故原式成立.
那么上述证明（）
A. 过程全都正确
B. 当时验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从到的推理不正确
【答案】A
【解析】分析：本题是一道考查数学归纳法的题目，掌握利用数学归纳法证明的解题步骤是解答本题的关键，想一想如何利用数学归纳法进行证明
详解：n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k+1的推理中有使用归纳假设，
点晴：据题设条件，判断当n=1时，其验证及归纳假设都正确，并且假设n=k时不等式成立；
数学归纳法需利用n=k时的归纳假设，递推出当n=k+1时的结果，然而本题中从n=k到n=k+1的推理中没有使用归
纳假设，.
10. 某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式为
.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（）A. 60千米/时 B. 80千米/时 C. 90千米/时 D. 100千米/时
【答案】C
【解析】分析：先设速度为x千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值.
详解：当速度为x千米/小时时，时间为小时，
所以f(x)=
所以
令
当x∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x∈（90,120）时，函数f(x)单调递增.
所以x=90时，函数f(x)取得最小值.
故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2)如果求函数在开区间内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。

11. 直线与曲线的公共点的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】分析：由于已知曲线函数中含有绝对值符号，将x以0为分界进行分类讨论，当x≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x<0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数，
详解：当x≥0时，方程化为；
当x<0时，化为，
所以曲线是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图像可知，
直线与曲线的公共点的个数为2
故答案选B
点晴：本题主要考查了学生对直线与圆锥曲线相交的掌握情况，熟练掌握椭圆，双曲线的区别，然后利用数形结合
即可解决本题
12. 函数，，若，，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：利用均值定理可得≥2，中的，即≤2，所以a≤0
详解：
由均值不等式得≥2，当且仅当x=0取得
≤2，
，当a≤0时，≥2，≤2
故本题选C
点晴：本题是一道恒成立问题，恒成立问题即最值问题，本题结合均值，三角函数有界性等综合出题，也可以尝试特殊值方法进行解答
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 设空间向量，，且，则__________．
【答案】-2.
【解析】分析：，利用向量共线定理即可得出结论
详解：，，且
即
即m4，n 2
∴
点晴：本题主要考察空间向量的平行，注意熟记平面向量平行垂直的计算，空间向量的平行垂直的计算
14. 复数满足，则__________．
【答案】5.
【解析】分析：先求复数z，再求.
详解：由题得
所以.故答案为：5.
点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的
共轭复数.
15. 若曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为6，则__________．
【答案】.
【解析】分析：利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．
详解：曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为6
则
解得a=
点晴：注意用积分求面积的区别，图形在x轴下方时，所求积分为负值，图形在x轴上方时所求积分为正值
16. 过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于两点，过其中一交点向准线作垂线，垂足为，若
是面积为的等边三角形，则__________．
【答案】2.
【解析】分析：根据是面积为的等边三角形，算出边长，及∠，得出p与边长的关系
详解：是面积为的等边三角形
即
∠
即p=2
点晴：本题主要考察抛物线的定义及性质，在抛物线类的题目中，做题的过程中要抓住抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等的条件是做题的关键
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知复数，若，且在复平面内对应的点位于第四象限.
（1）求复数；
（2）若是纯虚数，求实数的值.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：（1）先根据和在复平面内对应的点位于第四象限求出a的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m的值.
详解：（1）因为，
所以，所以.
又因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
即.
（2）由（1）得，
所以，所以.
因为是纯虚数，
所以，所以.
点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.
18. 已知函数在处取得极大值为9.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】(1) .
(2) 函数在区间上的最大值为9，最小值为.
【解析】分析：（I）首先求解导函数，然后结合，可得.
（II）由（I）得，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数在区间
上的最大值为9，最小值为.
详解：（I）
依题意得，
即，解得.经检验，上述结果满足题意.
（II）由（I）得，
令，得；令，得，
的单调递增区间为和，的单调递增区间是，
，，
所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【解析】分析：（1）证，.即可由线面垂的判定定理得出结论；
（2）通过建系，分别求出面DSC和面SCA的法向量，进行计算，观察图中二面角的范围得出余弦值的符号
（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，所以.
又因为，，所以，即.
因为，且平面，
所以平面.
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，令，则，，，，.
易得，，.
设为平面的一个法向量，则
，取，则，，
所以.
又因为为平面的一个法向量，所以.
所以二面角的余弦值为.
点晴：空间立体是高考必考的解答题之一，在做这类题目时，正面题大家需要注意书写的步骤分，判定定理的必要点必须要有；另外在求角等问题时我们可以利用向量法进行解决问题，注意角的范围问题。

20. 已知椭圆：的离心率，该椭圆中心到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点的直线，使直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) .
(2) 存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.
【解析】分析：由，该椭圆中心到直线的距离为，求出椭圆方程；
（2）先假设存在这样的直线，设出直线方程（注意考虑斜率），与椭圆联立，考虑然后设，，利用韦达定理，利用为直径的圆过定点，转化，转化坐标构造方程进行求解。

详解：（1）直线的一般方程为，
依题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时，为椭圆的短轴端点，以为直径的圆经过点.
当直线的斜率存在时，设其斜率为，由，
得.
所以，得.
设，，则，①
而.
因为以为直径的圆过定点，所以，则，即.
所以.②
将①式代入②式整理解得.
综上可知，存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.
点晴：本题考查直线与椭圆的位置关系，这类题目一般涉及设直线方程，然后和椭圆联立，设点，考虑，然后利用韦达定理，接下来就是对题干的转化啦，本题中典型的垂直问题，主要转化方向就是向量点乘，因为斜率的话还需要考虑斜率是否存在。

21. 已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
（2）若，，使成立，求的取值范围.
【答案】(1) .
(2).
【解析】分析：的图象在处的切线方程为，得出（1，）坐标带入中，及=，即可解出，的值
详解：，
（1），，
由，
得.
令，，
所以函数在上单调递增，又，所以.
（2）令，因为当时，函数在上单调递增，所以，
于是函数在上一定单调递增.
所以在上的最大值为.
于是问题等价于：，不等式恒成立.
记，
则.
当时，因为，，所以，
则在区间上单调递减，此时，，不合题意.
故必有.
若，由可知在区间上单调递减，
在此区间上，有，与恒成立矛盾.
故，这时，在上单调递增，
恒有，满足题设要求.
所以，即.
所以的取值范围为.
点晴：本题主要考察导数综合题：能成立恒成立问题，这类型题目主要就是最值问题，学会对问题的转化是关键，本题主要在做题的过程中构造函数后发现是解决本题的关键。

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线：，直线：，直线：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线的参数方程以及直线，的极坐标方程；
（2）若直线与曲线分别交于，两点，直线与曲线分别交于，两点，求的面积.
【答案】(1) （为参数），：，：.
(2).
【解析】分析：（1）直接根据圆的参数方程求出曲线C的参数方程，利用极坐标公式求出直线，的极坐标方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面积公式求的面积.
详解：（1）依题意，曲线：，故曲线的参数方程是（为参数），
因为直线：，直线：，故，的极坐标方程为
：，：.
（2）易知曲线的极坐标方程为，
把代入，得，所以.
把代入，得，所以.
所以.
点睛：（1）本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标的互化，考查极坐标的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)第2问，化成直角坐标也可以解答，但是利用极坐标解答效率更高.
23. [选修4-5：不等式选讲]
设函数.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】试题分析：（1）由条件得，进而得，解得不等式对应解集为，即可得解；
（2）不等式恒成立，只需，从而得解.
试题解析：
解：（1）因为，所以，
所以，所以.
因为不等式的解集为，
所以，解得.
（2）由（1）得.不等式恒成立，只需，
所以，即，
所以的取值范围是.。