高数下试卷合集

点 ( 0, 0 ) 到点 (
π
2
, 1 ) 的一段弧。
5.设曲线的极坐标方程为 = ρ e aθ (a > 0) ，则该曲线上相应于 θ 从 0 变到 2π 的一段弧与 极轴所围成的图形的面积为. 6. 判断级数
n =1
∑
∞
(−1) n n +1 + n
是绝对收敛还是条件收敛还是发散？
∞
7. 设将 f ( x) = x 2 (−π ≤ x ≤ π ) 展开为余弦级数 x 2 = ∑ a n cos nx(−π ≤ x ≤ π ) ，求 a 2 .
22222211222211111111arcsin10111arcsixxxdxdxpxdxpxdxxxxxyxyxyyxxpxqxxyeqxedxceedxcdxxcxxcxycyx??????????????????????????????解由得
06 级高数下测试卷 A
一、填空题： （请将正确答案填在横线上。每小题 2 分，共 10 分） 0 的距离 d = 1. 点 (2,1, 0) 到平面 3 x + 4 y + 5 z = 2. 设 z = .
2
.
{( x, y, z ) x
+ y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0 , 则以下等式错误的是( （B） ∫∫∫ y dV = 0 ；
(V )
}
).
（A） ∫∫∫ x dV = 0 ；
(V )
（C） ∫∫∫ z dV = 0 ；
(V )
（D） ∫∫∫ xy dV = 0
(V )
.
1
5. 设方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 确定了函数 z = f ( x, y ) ，则 f ( x, y ) 在点 (1, 0, −1) 处的 全微分 dz = （ ）. （B） −dx + 2dy （D） dx − 2dy ）是收敛的.
x n −1 收敛域是 ( n −1 n n =1 3
∞
A ).
（B） f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数大于零 (D) f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数不存在
A ). ( C ) (－3, 3) A ).
2 x （C） y = − x e
(B)
[-3, 3]
(1 + xy )
y
，则
∂z 2 y −1 = y (1 + xy ) . ∂x
3. 函数 f ( x, y ) = x 2 y + xe y 在 (1 , 0 ) 处方向导数的最大值等于 5 . 4. 交换二次积分的次序 ∫ dy
0 1
∫
−y −1
f ( x, y ) dx = ∫ dx ∫
−1
0
D
（B）
（A）
∫ dx ∫
0
e
ln x
0
f ( x, y )dy
（B） ∫ dx ∫
1
e
ln x
0
f ( x, y )dy
（C） ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
0 0
1
ey
（D） ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
0 e
1
ey
8. 设可微函数 f(x, y)在点 ( x0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是 ( (A) f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数等于零 (C) f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数小于零 9. 幂级数 ∑ ( A ) [-3,3)
( D)
(-3, 3]
0 的解是( 10. 微分方程 y "− 2 y '+ y =
（A） y = xe
x
（B）
y = x2ex
x （D） y = −2 xe
三、计算题： （每小题 7 分, 共 56 分） 1. 设 x z = ln ，求 dz . z y x 1 1 −x 1 − ln z + ln y, F, ' = , Fy' = , Fz' = 2 − z z y z z
4. 计算
∫
(c)
(2 xy 3 − y 2 cos x) dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 ) dy ，其中 (C ) 为抛物线 2 x = π y 2 从
点 ( 0, 0 ) 到点 ( 解
选取路径
π
2
, 1 ) 的一段弧。
五、证明题： （本题 6 分 ）： 设 z = arctan x ∂z ∂z ，求证： x + y =0 ∂x ∂y y
3
06 级高数下测试卷答案 A
一、填空题： （请将正确答案填在横线上。每小题 2 分，共 10 分） 0 的距离 d = 2 . 1. 点 (2,1, 0) 到平面 3 x + 4 y + 5 z = 2. 设 z =
1 1 + ( xy ≠ 0) 的极值. x y 1 2 = 0, 解得驻点 (1, 1) ; z xx = 3 , A=2, 2 y x
解
zx = y−
zy = x−
2 z xy = 1, B = 1, z yy = 3 , C = 2, AC − B 2 = 3 > 0, A>0 ; 故有极小值 z (1,1) = 3 y 3. 计算二重积分 ∫∫ y 2 − xy dxdy ，其中 D 是由直线= y x,= y 1, = x 0
(V )
}
C ).
（A） ∫∫∫ x dV = 0 ；
(V )
（C） ∫∫∫ z dV = 0 ；
(V )
（D） ∫∫∫ xy dV = 0
(V )
.
1
5. 设方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 确定了函数 z = f ( x, y ) ，则 f ( x, y ) 在点 (1, 0, −1) 处的 全微分 dz = （ D ）. （B） −dx + 2dy （D） dx − 2dy C ）是收敛的.
解：设 F =
1 − ' F F ∂z ∂z z z2 y y =-= = = , = -= , −x 1 x + z ∂x F ∂y Fz' − x 1 ( x + z ) y − − z2 z z2 z z z2 dx + dy dz= x+z ( x + z) y
' x ' z
−
1 z
2
2. 求函数 z = f ( x, y ) = xy + 1 = 0, x2
3. 非齐次线性微分方程 x "− 2 x '+ 5 x = tet sin 2t 的特解形式 x∗ = ( (A) ( At + B)et sin 2t ; (C) t ( At + B)et sin 2t ; ； 4. 设上半球 = V
(B) et ( At + B ) cos 2t + ( Ct + D ) sin 2t ； (D) tet ( At + B ) cos 2t + ( Ct + D ) sin 2t
−x
0
f ( x, y )dy .
5. 函数 y = 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是
(ln 2) n . n!
二、选择题： （每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在 括号内. 每小题 2 分，共 20 分） 1. R 2 的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( B （A）是开集； （C）既是开集又是闭集； ).
(1 + xy )
y
，则
∂z = ∂x
. . . .
3. 函数 f ( x, y ) = x 2 y + xe y 在 (1 , 0 ) 处方向导数的最大值等于 4. 交换二次积分的次序 ∫ dy
0 1
∫
−y −1
f ( x, y ) dx =
5. 函数 y = 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是
D
所围成的平面区域. 解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 x 的一次函数， “先 x 后 y ”积分较容易，所以
∫∫
D
y 2 − xy dxd = y
∫ dy ∫
0
1
y
0
y 2 − xy dx
3 2 11 2 = − ∫ ( y − xy ) 2 3 0y
y 0
2 1 2 2 dy == y dy ∫ 0 3 9
二、选择题： （每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在 括号内. 每小题 2 分，共 20 分） 1. R 2 的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( （A）是开集； （C）既是开集又是闭集； ).
（B）是闭集； （D）两者都不是 . ).
2. f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数存在是 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的( （A）必要条件； （C）充分必要条件； （B）充分条件； （D）以上都不是. ).
D ).
(B) et ( At + B ) cos 2t + ( Ct + D ) sin 2t ； (D) tet ( At + B ) cos 2t + ( Ct + D ) sin 2t
2
.
{( x, y, z ) x
+ y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0 , 则以下等式错误的是( （B） ∫∫∫ y dV = 0 ；
x n −1 收敛域是 ( n −1 n n =1 3
∞
).
（B） f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数大于零 (D) f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数不存在
). ( C ) (－3, 3) ).
2 x （C） y = − x e
(B)
[-3, 3]
( D)
(-3, 3]
0 的解是( 10. 微分方程 y "− 2 y '+ y =
（A） y = xe
x
（B）
y = x2ex
x （D） y = −2 xe
三、计算题： （每小题 7 分, 共 56 分） 1. 设 x z = ln ，求 dz . z y 1 1 + ( xy ≠ 0) 的极值. x y
2. 求函数 z = f ( x, y ) = xy +
D
）.
（A）
∫ dx ∫
0
e
ln x
0
f ( x, y )dy源自（B） ∫ dx ∫1
e
ln x
0
f ( x, y )dy
（C） ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
0 0
1
ey
（D） ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
0 e
1
ey
8. 设可微函数 f(x, y)在点 ( x0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是 ( (A) f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数等于零 (C) f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数小于零 9. 幂级数 ∑ ( A ) [-3,3)
（B）是闭集； （D）两者都不是 . A ).
2. f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数存在是 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的( （A）必要条件； （C）充分必要条件； （B）充分条件； （D）以上都不是.
3. 非齐次线性微分方程 x "− 2 x '+ 5 x = tet sin 2t 的特解形式 x∗ = ( (A) ( At + B)et sin 2t ; (C) t ( At + B)et sin 2t ; ； 4. 设上半球 = V
（A） dx + 2dy （C） −dx − 2dy 6. 在下列级数中，唯有（ （A） ∑
n +1 n =1 10n + 5
∞
（B）
∑
n =1
∞
n +1 n2 +1
（C） ∑
n =1
∞
(−1 ) n −1 n +1
（D） ∑
n =1
∞
1 n
）.
7. 设 D 由 x 轴， y = ln x, x = e 围成，则 ∫∫ f ( x, y )dxdy = （
（A） dx + 2dy （C） −dx − 2dy 6. 在下列级数中，唯有（ （A） ∑
n +1 n =1 10n + 5
∞
（B）
∑
n =1
∞
n +1 n2 +1
（C） ∑
n =1
∞
(−1 ) n −1 n +1
（D） ∑
n =1
∞
1 n
7. 设 D 由 x 轴， y = ln x, x = e 围成，则 ∫∫ f ( x, y )dxdy = （
y x,= y 1, = x 0 3. 计算二重积分 ∫∫ y 2 − xy dxdy ，其中 D 是由直线=
D
所围成的平面区域.
2
4.计算
∫
(c)
(2 xy 3 − y 2 cos x) dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 ) dy ，其中 (C ) 为抛物线 2 x = π y 2 从
n =0
1 − x 2 y ′ + xy = 1 − x 2 8．求一阶常微分方程的特解 . y (0 ) = 1
(
)
四、应用题： （本题 8 分） 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售， 售价分别为 p1 和 p2 ， 销售量分别为 q1 和 需求函数分别为 q 总成本函数为 C =+ q2 ， = 24 − 0.2 p1 ，q= 10 − 0.05 p2 ； 35 40 ( q1 + q2 ) 。 1 2 试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？