数理统计之假设检验

k z /2
X 0 n
Z / 2
拒绝域
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
由样本值求出 x 575.2
z 2 z0.025 1.96;
x 0
575.2 570
5.2
10 2.055 1.96
n
8 10
8
这说明小概率事件竟在一次试验中发生了，
检验一个H0时,是根据检验统计量来判决是 否接受H0的,而检验统计量是随机的,这就有可能 判决错误.这种错误有以下两类:
¶ H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯了 “弃真”的(或称第一类)错误.
· H0事实上是不正确的,但被我们接受了,称犯 了“存伪”的(或称第二类)错误.
假设检验的两类错误 实际情况
显著性检验：只对犯第一类错误的概率加以控制，
而不考虑犯第二类错误的概率。
P{拒绝H0| H0为真} 称 为显著性水平。
参数假设检验解题步骤
➢ 1 根据问题提出原假设H0，同时给出对立假设H1 （备选假设）；
➢ 2 在H0成立的前提下，选择合适的统计量，这个 统计量要包含待检的参数，并求得其分布；
(6) t t , 则拒绝 H0 ，接受 H1;反之，接受 H0.
左边检验
(1)H0 : 0; H1 : 0
（2）选取统计量：T X 0
Sn
（3）拒绝域为
t
x 0
sn
t (n 1)
（4）取 , 查表确定临界值 k t (n 1)
（5）计算 t x 0 n
(6) t t , 则拒绝 H0 ，接受 H1;反之，接受 H0.
➢ 3 给定显著性水平 ，按分布写出小概率事件及
其概率表达式； ➢ 4 由样本计算出需要的数值； ➢ 5 判断小概率事件是否发生，是则拒绝，否接受
二 单个正态总体参数的假设检验
一、总体均值 的假设检验
1. 2已知时，的检验 H0 : 0 -----原假设（零假设） H1 : 0 -----备选假设（对立假设） 其中 0 是已知常数
（2）选取统计量：U X 0 n
（3）拒绝域为
u
x
0
n
z
（4）取 , 查表确定临界值
（5）计算 u x 0 n
k z
(6)u z , 则拒绝 H0 ，接受 H1;反之，接受 H0.
左边检验
(1)H0 : 0; H1 : 0
（2）选取统计量：U X 0 n
（3）拒绝域为
u

x
0
小概率事件在一次试验中几乎不会发生。
带概率性质的反证法 u 通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的 事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的话,出现 一个概率等于0的事件)则绝对地否定假设.
u 带概率性质的反证法的逻辑是:
如果假设H0是正确的话,一次试验出现一个 概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0.
第一步：提出原假设和备选假设
第二步： 在假设成立前提下取统计量
第三步：给定
n
z
（4）取 , 查表确定临界值 k z
（5）计算 u x 0 n
(6) u z ,则拒绝 H0 ，接受 H1;反之，接受 H0.
例3 某大学男生身高 X ~ N (,32 ),今测得9名男生身高
平均为 X 172cm,问是否可以认为该校男生平均身高
超过170cm呢？ ( 0.05)
0.05, 0.01, 0.1
在假设检验中,称α为显著水平、检验水平。
解决办法与基本思想
➢ 1 明确所要处理的问题，答案只能是“是”或“ 否”
➢ 2 取得样本，同时要知道样本的分布 ➢ 3 把“是”转化到分布上得到一个命题或假设 ➢ 4 根据样本值，按照一定的规则，作出接受或拒
绝假设的决定。 ➢ 基本思想（规则或前提）
故拒绝H0，可以接受H1。 即认为折断力大小有差别
已知
已知，检验假设
的过程分为六个步骤：
第一步：提出原假设和备择假设
第二步： 选取统计量
第三步：拒绝域为
第四步：查表确定临界值
第五步：计算 第六步：判断
u x 0 n
(x)
2
z 0 | u | z / 2 则H0相容，接受H0 2
z x
2
| u | z / 2 则否定H0，接受H1
决定
H0为真
H0不真
拒绝H0 第一类错误 正确
接受H0 正确
第二类错误
犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}= .
显著性水平 为犯第一类错误的概率.
当样本容量n固定时，一类错误概率的减少 导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误, 必须增加样本容量.
在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率. 一般事先选定一个数,(0<<1),要求犯第一类 错误的概率≤.
必须作一些试验，也就是抽样。
根据得到的样本观察值 x1, x2 ,, xn 来作出决定。
假设检验问题就是根据样本的信息，检验 关于总体的某个假设是否正确。
➢ 假设检验是一种统计推断方法
为了了解总体的某些性质，首先作出某种假 设，然后进行试验，取得样本，根据样本值，构 造统计方法，判断是否接受这个假设，即检验这 种假设是否合理，合理则接受，否则拒绝。 小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，
实际生产的产品其长度X服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件，得
尺寸数据如下： 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格？
解(1)
0 32.5
(2) 取统计量
T X 0
Sn
(3)拒绝域
(4)
查表
（5） 将样本值代入算出统计量 T0的实测值,
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常? 解：先提出假设
H0 : 0.5 H1 : 0.5 0 0.5
选取统计量：U X 0 n
拒绝域：| u |
x 0 n
z / 2
计算得 x 1 (0.497 0.512) 0.511
解: 提出假设 H0：=549； H1：549
因为未知方差σ2，故采用t检验法。 0 549
取统计量 T X 0
Sn
拒绝域 由样本算得
查表 t 2 (n 1) t0.025(4) 2.776
这里 接受H0。新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。
例6某工厂生产一种螺钉,标准要求是长度是32.5毫米,
X )2代替 2
第一步：提出原假设和备择假设
H0 : 0 H1 : 0
第二步：选取统计量 T X 0
Sn
第三步：拒绝域为
t
x 0
Sn
t /2 (n 1)
第四步：查表确定临界值 k t /2
第五步：计算 t x 0
(x)
sn
第六步：判断
| t | t 2 则H0相容，接受H0 t 0 2
P(|Z|>zα/2)=α
Z检验 α/2
φ(x)
α/2
- zα/2
zα/2
X
拒绝域 接受域 拒绝域
双侧统计检验
例2 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖
重是一个随机变量X, 且 X ~ N(, 2 ) 当机器正常时,
其均值为μ=0.5公斤, 标准差σ=0.015公斤.
某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所 包装的糖9袋,称得净重为(公斤)（: =0.05）
例1已知某炼铁厂的铁水含碳量 在正常情况下
某日测得5炉铁水含碳量如下: 4.28;4.40;4.42;4.35;4.37.如果标准差不变, 该日铁水的平均含碳量是否显著偏低? =0.05 解:
（2）取统计量 U X 0 n
拒绝H0
例2 某次考试的考生成绩 X ~ N (, 2 ), , 2未知，
(3)拒绝域为
u
x 0 n
z
（4）取 , 查表确定临界值 k z z0.05 1.65
（5）计算
u x 0
2250
2000
5
1.65
n 250 25
则拒绝 H0 ，即认为这些产品较以往有显著提高.
2. 2未知时，的检验
未知
2，可用样本方差 S 2
1n n 1 k1 ( X k
当
H
为真时，
0
U
X 0 n
~
N（0，1）
衡量 u x 0 的大小 n
设一临界值 k>0，若
u x 0 k n
就认为有较大偏差；
则认为
H
不真，拒绝
0
H
0
若
u x 0 k
n
则接受 H0
显著性检验： P{拒绝H0| H0为真}
P
X
0
k
,
n
U X 0 ~ N（0，1） n
t0.025(35) 2.0301 | t | 2.6
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。
⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
s
15
x
n
t
/2(n
1)
63.5
36
t0.025 (35)
(58.425, 68.575)
3. 已知时， 2的检验 设总体 X ~ N (0 , 2 ), 检验 2
抽出10个样品进行检验，测得其折断力为 572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
看在H0条件下会不会产生不合理的现象，
样本均值 X为 的无偏估计，X能较好反映 的大小.
当
H
为真时，
0
X
差异不能过大。
P{ X 有较大偏差} 较小
若差异较大，即小概率事件发生，则拒绝假设 H0 .
在实际中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.
例1 某车间生产铜丝，主要质量指标是折断力
X的大小。由资料可认为 X ~ N(570,82 ) 今换了一批
原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变化， 但不知折断力的大小有无差别。（=0.05）
解 此问题就是已知方差 2 82 检验假设 H0 : 570, H1 : 570
t 2.997 4.0322
没有落入 拒绝域
故接受
H
为真，即可认为产品是合格的。
0
右边检验
(1)H0 : 0; H1 : 0
（2）选取统计量：T X 0
Sn
（3）拒绝域为
t
x 0
sn
t (n 1)
（4）取 , 查表确定临界值 k t (n 1)
（5）计算 t x 0
sn
从中随机地抽取36位考生的成绩,平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分,⑴问在显著水平0.05下是否可以认为 全体考生的平均成绩为70分？⑵求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H0 : 0 70 H1 : 70
拒绝域为
|
t
|
|
x-0
s/ n
|
t
/
2
(n
1)
计算 | t | 2.6
解 (1)H0 : 0; H1 : 0
0 170
（2）选取统计量：U X 0 n
（3）拒绝域为
u
x 0 n
z
（4）取 , 查表确定临界值 k z z0.05 1.65
（5）计算 u x 0 172 170 2 1.65 n 39
则拒绝 H0 ，可以认为该校男生平均身高超过170cm. 如题目问：是否有明显提高 H0用"" ; H1用""
第四章 假设检验
基本要求 理解假设检验的概念及其基本思想。 理解拒绝域、临界值、显著水平等概念。 掌握假设检验的基本步骤。 了解假设检验可能产生的两类错误。
一 假设检验基本概念
例，对某产品进行了工艺改造或研制了新产品， 要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异， 这样我们面临选择是否接受假设
“新产品的某一项指标优于老产品”。
| t | t 2 则否定H0，接受H1
选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0 这称为双边假设检验。
2
t x
2
例5 对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,
重复测量5次,测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）: 545 545 530 550 545
过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可 看作真值),试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无 显著差别？爆破压力X服从正态分布 =0.05
9
z /2 z0.025 1.96,
u
x 0 n
2.2 z 2 1.96
于是拒绝 H0，认为包装机工作不正常。
选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0 这称为双边假设检验。
单边检验
H
0
:
0 ;
H1 : 0 右边检验
H0 : 0; H1 : 0 左边检验
右边检验
(1)H0 : 0; H1 : 0
是否有明显下降 H0用"" ; H1用""
例4 设某厂灯泡平均寿命为2000小时,标准差为250小时 从技术改造后的灯泡中随机抽取 n=25只，测得平均 寿命为2250小时,问此产品寿命是否较前有显著提高.
( 0.05) 解 (1)H0 : 0; H1 : 0 0 2000
（2）选取统计量：U X 0 n