广东省东莞中学2024年高三下学期模拟考试(1)数学试题试卷

广东省东莞中学2024年高三下学期模拟考试（1）数学试题试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，
则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A ．13
B ．63
C ．33
D ．23
2．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1
2||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．3y x =± C ．2y x =± D ．2y x =±
3．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）
A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．(1,2)
D ．(2,3) 4．已知0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22π
αβ+= B ．4παβ+=
C ．4αβ-=π
D ．22π
αβ+=
5．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n
B ．若m //α，n //α，则m //n
C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥β
D ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β
7．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A ．向右平移5π6个长度单位
B ．向右平移5π
12个长度单位
C ．向左平移5π
6个长度单位 D ．向左平移5π
12个长度单位 8．要得到函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移6π个单位
B ．向右平移3π
个单位
C ．向左平移3π
个单位 D ．向左平移6π
个单位
9．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（
） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2
10．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
11．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ）
A ．[﹣3，2）
B ．（﹣3，2）
C ．（﹣1，0]
D ．（﹣1，0）
12．设全集()(){}
130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )
A ．{}1,3-
B ．{}1,0-
C ．{}0,3
D ．{}1,0,3- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=_________ 14．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．
15．设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m ∥n ，则m ∥α；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；
③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；
④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β；
其中正确命题的序号为_____．
16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)． （1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段AB 的中点的横坐标；
（2）设点A 关于x 轴的对称点为C ，求证：M ，B ，C 三点共线；
（3）设过点M 的直线交椭圆于,G H 两点，若椭圆上存在点P ，使得OG OH OP λ+=（其中O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．
18．（12分）已知函数()ln f x x =.
（1）设()()f x g x =，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点.
（2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1a e -+上不单调，证明：111a a a +>+. 19．（12分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。

中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.
（1）根据上述样本数据，将22⨯列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？
（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为12
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？
附： 20()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828 2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20．（12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足条件22,c b a C π
==．
（1）求角A ；
（2）若ABC 边AB 上的高为3，求AB 的长． 21．（12分）已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-
+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2
F x f x ag x =+的单调性； （Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，60BAD ︒∠=4AB =.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解题分析】
首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【题目详解】
由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，
设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6PO =，22CO =， 同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥， 所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角， 有22222cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅， 故1sin 1cos 3
POC POC ∠=-∠=
. 故选：A.
【题目点拨】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.
2．C
【解题分析】
利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，
结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

【题目详解】
设1(,0)F c -，2(,0)F c ， 由1
2||FO OM =，1OMF ∆与2PF F ∆相似， 所以112
2||P F F P OM F O ==，即122PF PF =， 又因为122PF PF a -=， 所以14PF a =，22PF a =，
所以222，即22，22，
所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.
故选：C.
【题目点拨】
本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

3．B
【解题分析】
根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论.
【题目详解】
∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为2
b x =，0(0)1<=<f a ， 1122
<=<b x ，∵()2'=-f x x b ， 所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+-> ⎪⎝⎭
g a b g a b ， 所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选:B.
【题目点拨】
本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.
4．C
【解题分析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫=
=+ ⎪-⎝⎭
,即可求得结果. 【题目详解】 2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭
， 所以4παβ=
+，即4
αβ-=π. 故选:C.
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.
5．D
【解题分析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2
上的符号，即可判断选择. 详解：令()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
6．B
【解题分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性.
【题目详解】
A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,
,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确； B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；
C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．
D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确．
故选：B
【题目点拨】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
7．D
【解题分析】
55cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()332612y x x x x πππππ=+=++=+=+，所以要的函数cos(2)3
y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512
π个长度单位得到，故选D 8．D
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【题目详解】 解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象， 只需将函数sin 2y x =的图象向左平移
6π个单位． 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
9．A
【解题分析】
求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()
1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距.
【题目详解】 ()2321f x x x '=-+，故()12f '=，
所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-.
令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
10．D
【解题分析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=
频数频率求出班级人数. 【题目详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×
20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是
180.30
=60（人）.
【题目点拨】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=
频数样本容量的应用问题，属于基础题 11．C
【解题分析】
先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.
【题目详解】
因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}，
又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，
所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}.
故选：C
【题目点拨】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．A
【解题分析】
先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.
【题目详解】
由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.
【题目点拨】
本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1
【解题分析】
令1x =-，结合函数的奇偶性，求得(1)(1)1f g -+=-，即可求解(1)(1)f g -的值，得到答案.
【题目详解】
由题意，函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-， 令1x =-，可得20(1)(1)(1)(1)(11)21f g f g -+-=-+=-+-=-，
所以(1)(1)1f g -=.
【题目点拨】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．-2 【解题分析】 试题分析：
，
考点：等比数列性质及求和公式 15．④ 【解题分析】
根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】
对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误；
对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；
对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【题目点拨】
本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 16．
6
π 【解题分析】
由sin 23C B =，根据正弦定理“边化角”，可得23c b =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A . 【题目详解】
sin 23C B =
根据正弦定理：
sin sin b c
B C
= ∴可得3c b =
根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-
由已知可得：22a b -=
故可联立方程：2
2222
2cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩
解得：cos 2
A =. 由0A π<<
∴6
A π
=
故答案为：
6
π. 【题目点拨】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) AB 的中点的横坐标为2
3
；（2）证明见解析；（3）(2,2)- 【解题分析】 设1122(,),(,)A x y B x y .
（1）因为直线l 的倾斜角为45︒，(1,0)F ，所以直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组22
112
y x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得2340x x -=，则121242
,323
x x x x ++==，
故线段AB 的中点的横坐标为
23
． （2）根据题意得点11(,)C x y -，
若直线AB 的斜率为0，则直线AB 的方程为0y =，A 、C 两点重合，显然M ，B ，C 三点共线； 若直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，
联立方程组22
112
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22
(2)210m y my ++-=， 则121222
21
,22
m y y y y m m +=-=-++，设直线BM 、CM 的斜率分别为BM k 、CM k ， 则
212112*********
2112121212
(2)(2)(1)(1)2()
22(2)(2)(1)(1)1()BM CM y y y x y x y my y my my y y y k k x x x x my my m y y m y y --+--+--+-=
-====-------++2222
2222220
2122
m m m m m m m m -+
++=+-
++，即BM k =CM k ，即M ，B ，C 三点共线．
（3）根据题意，得直线GH 的斜率存在，设该直线的方程为(2)y k x =-， 设003344(,),(,),(,)P x y G x y H x y ，
联立方程组22
12
(2)x y y k x =+=-⎧⎪
⎨⎪⎩，消去y 并整理，得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 由4
2
2
644(12)(82)0k k k ∆=-+->，整理得2
1<2k ，又22343422
882
,1212k k x x x x k k -+==++，
所以34342
4(4)12k
y y k x x k +=+-=-+，
结合OG OH OP λ+=，得034034,x x x y y y λλ=+=+， 当0λ=时，该直线为x 轴，即0y =，
此时椭圆上任意一点P 都满足OG OH OP λ+=，此时符合题意；
当0λ
≠时，由OG OH OP λ+=，得202
021*******k x k k y k λλ⎧=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅
⎪+⎩
，代入椭圆C 的方程，得42222222
32161(12)(12)k k k k λλ+=++，整理，得22
2
21616
1122k k k
λ==
++， 再结合2
1<2
k ，得到20<<4λ，即(2,0)
(0,2)λ∈-，
综上，得到实数λ的取值范围是(2,2)-． 18．（1
）(x ∈
为增区间；)
x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析
【解题分析】
（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.
（2）求得()h x 的导函数()'
h x ，结合()h x 在区间()
1,1a
e -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明
111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111
a a a +>+成立. 【题目详解】
（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由3
12ln ()0x
g x x -'=
>
，解得(x ∈为增区间；
由3
12ln ()0x
g x x -'=
<解得)
x ∈+∞为减区间.
下面证明函数只有一个零点：
∵2
11
0,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭
，所以函数在区间(内有零点，
∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.
（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111
x x
a x e a
h x e x x x --'=-=>--
当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，
则()0x
m x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，
又∵()h x 区间()
1,1a e -+上不单调，所以存在()
01,1a x e -∈+，使得()h x '在()
1,1a
e -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，
所以()00m x =，
且()
()11010a e
e a
m e e
e a e a m x αα
α---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α
--+>
两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证
11
1
a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+
>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x
n x e '=->
∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10x
e x x >+>①
在①中令x a =，∴111111a
a a e a e e a a ->+⇒
<⇒<++ 令1ln x a
=∴1
ln
1
ln 1a
e a >+，即111ln 11ln a a a a
>+⇒>-
即
11
1ln 1a e a a a -+>+-+，∴111
a a a +>+. 【题目点拨】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 19．（1）列联表见解析，99%；（2）95，18
25
；（3）第二种优惠方案更划算. 【解题分析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为3
5P =
，知ξ服从二项分布，即3
(3,)5
B ξ，可求得其期望和方差；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【题目详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以2
2
60(1081230)7.033 6.63522384020
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴ 有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123
205P =
=，3
()5
B ξ∴3, ，
()()393318
=3,31555525
E D ξξ⎛⎫∴⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元
若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，
()0
2
2
1111200=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1
1
121111080==222P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
221111020=224P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()111
1200108010201095424
E X ∴=⨯+⨯+⨯=
11001095>∴，选择第二种优惠方案更划算
【题目点拨】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题. 20．（1）
3
π．（2）32 【解题分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得sin 2sin 2C B A =-，再根据4B A C A πππ⎛⎫
=--=-+ ⎪⎝
⎭
，利用两角和的正弦公式即可求解. （2）已知3CD =3
A π
=
知1AD =，在BDC ∆中，解出BD 即可.
【题目详解】
（1）由正弦定理知
sin 2sin 2sin C B A =-
由己知4
C
π
，而4B A C A πππ⎛⎫
=--=-+
⎪⎝
⎭
22sin 2sin 24A A π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭ 222cos sin 2sin 22A A A ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
2cos A =
∴1cos 2A =
，3
A π= （2）已知3CD =，
则由3
A π
=
知1AD =
5,12tan CD
B A
C DB B
ππ=--=
= 先求51sin
sin (26)12434
πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 51cos
cos (62)12434
πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭ ∴5(62)
tan
2312(62)
π+==+- ∴323323
DB =
=-+
∴1233232AB AD DB =+=+-=-
【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.
21． (1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减;(2)114. 【解题分析】 试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得
()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数
()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]
1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求． 试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113
ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+
=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()2111
1ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=
. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1
x a
>. 故函数()y F x =在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1
,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. （II ）由题意知0t ≥.
()2111ax x f x ax x x
-+==
'+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤ ()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立， 即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()2
1ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-
+-+，
由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1
120h x ax t x
'=
-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()1
12H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--，
则()()max 1
22120H a H x t x
=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.
故max 1212t x x ⎛
⎫-≥+ ⎪⎝
⎭，
而1
2y x x
=+
在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为9
2
.
由9212t -≥，解得11
4
t ≥
. 故实数t 的最小值为11
4
．
22．（1）证明见解析（2
）7
【解题分析】
（1）由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BD ⊥，结合线面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ；
（2）以点A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PAB 与平面PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【题目详解】 （1）证明：
底面ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，
PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥
又AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，
BD ∴⊥平面PAC ；
（2）解：
AB AD =，60BAD ︒∠=，ABD ∴为等边三角形，
sin 60242AC AD ︒∴=⋅⋅=⨯=PA ⊥底面ABCD ，PCA ∴∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，
在Rt PAC △中，由3
tan 3
43PA PA PCA AC ∠=
==
，解得4PA =. 如图，以点A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴 建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,4)P ，(0,0,0)A ，2,2()3,0B ，(4,0,0)D ，(6,23,0)C .
(0,0,4)PA ∴=-，(2,23,4)PB =-，(4,0,4)PD =-，(6,23,4)PC =-.
设平面PAB 与平面PCD 的一个法向量分别为(,,)m x y z =，()111,,n x y z =.
由40
22340m PA z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =-，得(3,1,0)m =-； 由1111162340440
n PC x y z n PD x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11y =-，得(3,1,3)n =-. 27
cos ,7||||
m n m n m n ⋅∴<>=
=⋅.
∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为277
.
【题目点拨】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．。