中考数学抛物线与平行四边形题+答案

1、如图，抛物线y=x 2
+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，
解得：b=2，c=﹣3，
则解析式为：y=x 2
+2x ﹣3；
（2）由题意结合图形
则解析式为：y=x 2
+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC=
，CD=，AD=，
由AC 2
+CD 2
=AD 2
，
所以△ACD 为直角三角形； (3)123(1
,4),(3,12),(5,12)F F F --- 2、如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0），腰BC 所在直线的解析式为y ＝－14x ＋3．
（1）求顶点B 的坐标；
（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点E ，点O 关于直线l 的对称点为O ′，连接CO ′并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当CD ＝5时，求直线l 的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P 是直线l 上的动点，点Q 是直线OD 上的动点，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P 的坐标；如果不能，说明理由．
解：（1）∵直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0）
∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°，点C 在y 轴上 又∵A （4，0），∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－1
4x ＋3中，得y ＝2
∴B （4，2） ····································································· 3分 （2）如图1，过C 作CF ⊥DA 于F
由y ＝－1
4x ＋3，点C 在y 轴上，得C （0，3） ∵AB ∥OC ，∴∠OCE ＝∠DEC
∵点O ′和点O 关于直线l 对称，∴∠DCE ＝∠OCE ∴∠DCE ＝∠DEC ，∴ DE ＝DC ＝5
∵y ＝－1
4x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，∴OC ＝AF ＝3 ∵CF ＝OA ＝4，∴DF ＝DC 2
－CF 2
＝3 ∴FE ＝DE －DF ＝2，AE ＝AF －FE ＝1 ∴E （4，1）
设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C 、E 两点坐标代入
得⎩⎪⎨⎪⎧3＝b
1＝4k ＋b 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝3
∴直线l 的解析式为y ＝－1
2x ＋3 ················································
（3）∵DA ＝DE ＋AE ＝6，∴D （4，6）
易得直线OD 的解析式为y ＝32x ①当BC 为边时，设P （x ，－1
2x ＋3）
i ）如图2，∵B （4，2），C （0，3），∴Q （x －4，－1
2x ＋4） ∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋4＝3
2(x －4)，∴x ＝5
∴P 1（5，1
2） ···································································· 9分 ii ）如图3，则Q （x ＋4，－1
2x ＋2）
∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋2＝3
2(x ＋4)，∴x ＝－2
∴P 2（－2，4） ·································································································· 10分
②当BC 为对角线时，如图4，设P （a ，－12a ＋3），Q （b ，3
2b ），则：
⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4－12
a ＋3＋3
2b ＝5 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2 ∴P 3（2，2） ······································································································ 11分 综上，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能成为平行四边形，点P 的坐标为：
P 1（5，1
2），P 2（－2，4），P 3（2，2） ··························································· 12分
3、如图，抛物线y ＝13x 2
－mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l ． （1）求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；
（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积为3，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；
（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标（使用图2）．
解：（1）∵抛物线与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l
∴⎩
⎨⎧n ＝－1
－－m 2×13＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23n ＝－1
∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－2
3x －1 ·························· 2分 令13x 2－2
3x －1＝0，得：x 1＝－1，x 2＝3
∴A （－1，0），B （3，0） ·········································· 4分
（2）设在x 轴下方的抛物线上存在点D （x ，13x 2－2
3x －1）
（0＜x ＜3），使四边形ABDC 的面积为3，过D 作DH ⊥AB 轴于H
则S 四边形ABDC ＝S △AOC ＋S 梯形OCDH ＋S △BHD ＝12×1×1＋12[1－(13x 2－23x －1)]＋12(3－x )[－(13x 2－2
3x －1)]
＝－12x 2＋3
2x ＋2
由－12x 2＋3
2x ＋2＝3，解得：x 1＝1，x 2＝2
当x ＝1时，13x 2－23x －1＝43；当x ＝2时，13x 2－2
3x －1＝－1
图1
图2
∴D 1（1，4
3），D 2（2，－1） ·············································································· 8分 （3）①当AB 为边时，只要PQ ∥AB ，且PQ ＝AB ＝4即可
又知点Q 在y 轴上，所以点P 的横坐标为4或－4，这时，符合条件的点P 有两个
当x ＝－4时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝5
3
∴P 1（－4，7），P 2（4，5
3） ············································································· 10分
②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 所以点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个 当x ＝2时，y ＝－1 ∴P 3（2，－1）
综上，满足条件的点P 有三个，其坐标分别为：
P 1（－4，7），P 2（4，5
3），P 3（2，－1） ···················· 12分
4．已知抛物线y ＝12x 2－mx ＋2m －7
2．
（1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；
（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．
①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
解：（1）∵y ＝12x 2－mx ＋2m －72
∴△＝(－m )2－4×12×(2m －72)＝m 2－4m ＋7＝(m －2)2
＋3＞0 ∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点 （2）①∵抛物线的对称轴为直线x ＝3
∴－
－m
2×12
＝3，∴m ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－3x ＋52＝12(x －3)2
－2 ∴顶点C 坐标为（3，－2）
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝12x 2－3x ＋52得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7
y 2＝6 ∴A （1，0）
∵当x ＝3时，y ＝x －1＝3－1＝2，∴D （3，2）
设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，抛物线与x 轴的另一交点为P 则E （3，0），P （5，0）
∴AE ＝PE ＝DE ＝CE ＝2，又DC ⊥AP ∴四边形ACPD 是正方形 ∴点P （5，0）即为所求
②（Ⅰ）设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3＋n
∴M （3＋n ，2＋n ），N （3＋n ，12n 2
－2）
∵D （3，2），C （3，－2），∴DC ＝4
i ）当M 在N 上方时，MN ＝2＋n －(12n 2－2)＝－12n 2
＋n ＋4
∵MN ＝DC ，∴－12n 2
＋n ＋4＝4 解得n 1＝0（舍去），n 2＝2
∴直线CD 向右平移2个单位能使得四边形CDMN 是平行四边形
ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2＋n )＝12n 2
－n －4
∵NM ＝DC ，∴12n 2
－n －4＝4
解得n 1＝1－17（舍去），n 2＝1＋17
∴直线CD 向右平移(1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形
（Ⅱ）设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3－n
∴M （3－n ，2－n ），N （3－n ，12n 2
－2）
i ）当M 在N 上方时，MN ＝2－n －(12n 2－2)＝－12n 2
－n ＋4
∵MN ＝DC ，∴－12n 2
－n ＋4＝4
解得n 1＝0（舍去），n 2＝－2（舍去）
ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2－n )＝12n 2
＋n －4
∵NM ＝DC ，∴12n 2
＋n －4＝4
解得n 1＝－1＋17，n 2＝－1－17（舍去）
∴直线CD 向左平移(－1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形
综上所述，直线CD 向右平移2或(1＋17)个单位或向左平移(－1＋17)个单位，能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形。