一道求值域问题的多种解法

一道求值域问题的多种解法
数学是一个有机的整体，所有感觉是分开的知识其实相互之间是有紧密的联系的。

即大家在学习每一部分内容时，要注意横向联系，把相互关系结成一张网，这样就可覆盖全部内容，使之融会贯通。

这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。

通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。

从而培养创新精神和创造能力。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－1
2
）2+
1
2
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x=1
2
时，x2+y2取最小值
1
2
；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。

对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π
2 ]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ
=1－1
2
（2sinθcosθ）2=1－
1
2
sin22θ
=1－1
2
×
1－cos4θ
2
=
3
4
+
1
4
cos4θ
于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值1
2
；
当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1
则 xy≤（x+y）2
4
=
1
4
，从而0≤xy≤
1
4
于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=1
4
时，x2+y2取最小值
1
2。

评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意变量为正和等号成立的条件是否同时满足。

解法四：（线性规划方法）设d=x 2+y 2 ，则d 为动点C （x ，y ）到原点（0，
0）的距离，于是只需求线段⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x 上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C 与A 或B 重合时，d max =1，则（x 2+y 2）max
当OC ⊥AB 时d min = 2 2 ，则（x 2+y 2）min =12 评注：用几何的观点研究代数问题，使
学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。

、
希望可以给大家一些启示，并且我觉得我们老师应该在一题多解上下功夫，也许大家会说，学生会一种就可以了，多了反而更乱，对大多数学生来说是负担。

我也认同这个观念，但我想说的是，我们老师应该交给学生的这个办法应该越简单，越简洁，越容易掌握不是更好吗？。