高一数学(人教A版)必修1课件：2-2-1-1对数的定义与性质

＝324.
(3)log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
(4)3log2x＝27＝33，∴log2x＝9，∴x＝512.
名师辩误做答
忽略了对数式的底数和真数的取值范围
[例 4] 对数式 loga－2(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是
()
A．(－∞，5)
我们把底数为 10 的对数叫做常用对数 ，并把 log10N 记为 lgN.我们把无理数 e＝2.718 28…为底数的对数称为 自然对数 并把 logeN 记为 lnN.
归纳提升：通过以上认识，我们知道： (1)指数式与对数式可以互化． (2)零和负数没有对数． (3)对数的底数 a>0 且 a≠1，真数 N>0. (4)logaa＝1，loga1＝0(a>0 且 a≠1)． (5)对数恒等式：将 ax＝N 中的 x 用 x＝logaN 替换即得 alogaN＝(a>0 且 a≠1，N>0)．
探究：以上各式从形式上都是已知底数和幂的值，求指 数．其中(1)～(3)都是有意义的，我们把这一类问题称为对数 问题．一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记为 x＝logaN，其中 a 叫底数，N 叫真数， 例如：13×1.01x＝18，则 x＝log1.011183.
[答案] D
3．有以下四个结论：
①lg(lg10)＝0; ②lg(lne)＝0；
③若 10＝lgx，则 x＝10; ④若 e＝lnx，则 x＝e2.
其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
[答案] C
4．使式子 log(x＋1)(1－x)有意义的 x 的值是( )
A．x<－1 或>1
B．－1＜x＜1
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
成才之路·数学
人教A版·必修1
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2.2 对 数 函 数
第二章
2．2.1 对数与对数运算
第二章
第 1 课时 对数的定义与性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课前自主预习 思路方法技巧 建模应用引路
方名法师警辩示误探做究答 基础巩固训练 能力强化提升
通过以上所学，完成下列练习．
1
(1)指数式 9 2 ＝3 可以改写为对数式____________．
(2)对数式 log28＝3 可以改写为指数式__________． (3)求下列各式的值：
①log33＝________； ③lg10＝________；
②log0.51＝________； ④lne2＝________.
②x＝4－
2 3
3
＝1＝ 3 42
4 4.
③log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5. ④log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1 000.
⑤2 log3x＝14，∴2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2，∴x＝19.
(1)若 log3x＝－12，则 x＝________.
课前自主预习
温故知新 1．在指数 ab＝N 中，a 称为 底数，b 称为 指数 ，N 称为 幂值，在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后，b 的取值范 围由初中时的限定为整数扩充到了实数 ． 2．若 a>0 且 a≠1，则 a0＝ 1 ；a1＝ a ；对于任意 x∈R， ax>0.
3．填空：
(1)34＝81；(2) (4)3 ＝64；
总结：1.幂的底数作为对数的 底数 ，幂作为对数的真数， 幂指数即为 对数值 ．
2．对于(4)、(5)两个小问题，(4)中无法求出 x，而(5)中的 x 非常多，如果写成对数的形式没有意义，因此在对数 x＝logaN 中要注意底数 a>0 且 a≠1，真数 N>0.
3．观察(6)、(7)两个小数，其底数分别为 10 和 e，这是 两个比较特殊的数，以其为底的对数分别叫做常用对数和自 然对数，这两个对数是在科学技术和日常解决问题中经常使 用的，应记清其底数及各自的符号表示：lgN 与 lnN.
1 (3)5－3＝ 125
；(4)2－4＝116.
新课引入 前面我们学习了指数与指数函数，知道一个底数及一个 指数，那么我们就可以计算出其值，那么有这样的问题：已 知 2x＝16，那么 x 等于几呢？ 就是一个求指数的问题，求哪 一年的人口可以达到 18 亿、20 亿的问题也是求指数的问题， 这些问题都要用对数的知识来解决．
自主预习 问题：观察下列问题，找出其共同特征： (1)已知 13×1.01x＝18，求 x； (2)已知 1.01x＝2103，求 x； (3)已知 5x＝625，求 x； (4)已知 6x＝－6，求 x；
(5)已知 1x＝1，求 x； (6)已知 10x＝10 000，求 x； (7)已知 ex＝5，求 x.
(2)若 logx2＝－3，则 x＝________.
(3)log3(log4x)＝1，则 x＝________.
(4)3log2x＝27，则 x＝________.
[答案]
3 (1) 3
34 (2) 2
(3)64
(4)512
[解析]
(1)x＝3－
1 2
＝
1＝ 3
33；
(2)x－3＝2，x＝2－
1 3
(1)log1
5
1125＝________.
(2)log319＝________.
(3)log42 2＝________.
[答案]
(1)3
(2)－2
3 (3)4
[解析]
(1)log1
5
1125＝log15
(15)3＝3
(2)log319＝log33－2＝－2；
(3)设 log42 2＝x，∴4x＝2 2，即 22x＝232，∴x＝34，
a－2≠1，
∴2<a<3 或 3<a<5.
基础巩固训练
1．把对数式 x＝lg2 化为指数式为( )
A．10x＝2
B．x10＝2
C．x2＝10
D．2x＝10
[答案] A
2．指数式 b2＝a(b>0 且 b≠1)化为对数式是( )
A．log2a＝b C．logab＝2
B．log2b＝a D．logba＝2
C．－1＜x＜1 且 x≠0 D．x≠0
[答案] C
[解析]
1x＋－1x>≠01 x＋1>0
，即－1＜x＜1 且 x≠0，，故选 C.
5．(2012～2013 山东鱼台中学高一月考试题)已知 log2x＝
3，则 x＝( )．
A．4
B．6
C．8
D．9
[答案] C [解析] x＝23＝8，故选 C.
[解析] ①设 log464＝x，则 4x＝64， ∵64＝43，∴x＝3，∴log464＝3. ②设 log31＝x，则 3x＝1， ∵1＝30，∴x＝0，∴log31＝0. ③设 log927＝x，则 9x＝27 即 32x＝33 ∴2x＝3 即 x＝32，∴log927＝32.
[点评] 只要 a>0 且 a≠1，N>0 就有 alogaN＝N 成立，故 利用对数恒等式有 2log2π＝π.
∴log42 2＝34.
建模应用引路
3 解简单的对数方程
[例 3] 求下列各式中的 x： ①logx( 2－1)＝－1; ②log4x＝－23； ③log2(log5x)＝0; ④log3(lgx)＝1； ⑤2log3x＝14. [分析] 利用指对互化、对数恒等式及对数的性质求解．
[解析] ①x－1＝( 2－1)，∴x＝ 21－1＝ 2＋1.
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A 由题意，得 5－a>0，∴a<5. [错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围 限制，只考虑了真数而忽视了底数．
[思路分析] 对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此
失彼． [正解]
5－a>0， D 由题意，得a－2>0，
(1)35＝243；
(2)2－8＝2156；
(3)lga＝0.4771； (4)ln12＝b
[解析] (1)log3243＝5 (2)log22516＝－8 (3)100.4771＝a. (4)eb＝12.
能力强化提升（点此链接）
6．若 logx4＝2，则 x 的值为( )
A．±2
B．2
C．－2
D. 2
[答案] B [解析] x2＝4 且 x>0 ∴x＝2，故选 B.
7．已知 logx9＝－2，则 x＝________.
[答案]
1 3
[解析] x－2＝9，∴x2＝19，∴x＝13.
8．将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式：
[答案] (1)log93＝12 (2)23＝8 (3)1 0 1 2
思路方法技巧
1 对数的定义与指对互化
学法指导：对数式 logaN＝b 是由指数式 ab＝N 变化得 来的，两式底数相同，对数式中的真数 N 就是指数式中的幂 的值，而对数值 b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的 关系如图：
并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9 就不 能直接写成 log(－3)9＝2，只有 a＞0 且 a≠1，N＞0 时，才有 ax ＝N⇔x＝logaN.
[例 1] 把下列各等式化为相应的对数式或者指数式
①53＝125；
②(14)－2＝16；
③log1 8＝－3;
2
④log3217＝－3.
[分析] 利用指数式与对数式间的等价关系式求解．
[解析] ①∵53＝125，∴log5125＝3.
②∵(14)－2＝16，∴log14 16＝－2.
③∵log1
2
8＝－3，∴(12)－3＝8.
④∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
[点评] 互化时，首先指数式与对数式的底数相同，其次 将对数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对 数式的对数)．
2 对数的性质与利用对数定义求值
学法指导：对数是指数的逆运算，对数的求值，要通
过指数来解决如 logaa＝1，loga1＝logaa0＝0，loga1a＝logaa－1
＝－1，loga
1
a＝logaa2
＝12.
[例 2] 求下列各式的值 ①log464； ②log31； ③log927； [分析] 求对数式的值，可以设其为 x，将之转化为指数 式求解．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)4 2 ＝2；
(4)log1 32＝－5.
2
[分析] 按照指数式与对数式的关系转化，幂底数对应对 数底数，指数对应对数，幂对应真数．
[解析] (1)log416＝2.(2)lg100＝2. (3)log42＝12.(4)(12)－5＝32.