2021届高三高考数学复习压轴题专练44—立体几何(4)【含答案】

2021届高三高考数学复习压轴题专练44—立体几何（4）【含

答案】

一、单选题

1．用平面α截棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，所得的截面的周长记为m ，则当平面α经过正方体的某条体对角线时，m 的最小值为( ) A ．

33

4

B ．5

C ．33

D ．25

解：假设截面α过体对角线1BD ，（过其他体对角线结论一样） 如图所示，

因为一平面与两平行平面相交，交线平行，

1//D E BF ∴，1//BE D F ，且1D E BF =，1BE D F =，

故四边形1D EBF 为平行四边形， 2()m BE BF ∴=+，

设CF x =，则11C F x =-，

222(11(1))m x x ∴=++-，

a ，

b 为正数时，2a b ab +，当且仅当a b =时等号成立， ∴2211(1)x x ++-1

2

x =

时，m 取最小值为：25， 故选：D ．

2．已知三棱雉A BCD -的各条棱都相等，M 为BC 的中点．则AM 与BD 所成的角的余弦值为( ) A ．

12

B ．

32

C ．

22

D ．

36

解：取CD 的中点N ，连结MN ，AN ，如图所示， 设正四面体A BCD -的棱长为2，

在正三角形ABC 中，sin 603AM AC =⋅︒=， 同理可得3AN =，

因为M ，N 分别为BC ，CD 的中点， 所以//MN BD 且1

12

MN BD =

=， 所以AMN ∠即为AM 与BD 所成的角，

在AMN ∆中，由余弦定理可得2223133

cos 12623AM MN AN AMN AM MN +-+-∠===⋅⨯⨯

，

所以AM 与BD 所成的角的余弦值为3

6

． 故选：D ．

3．在由三棱柱截得的几何体111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12AA =，111BB CC ==，2AC =，点D ，E ，F 分别是棱11B C ，11AC ，1BB 的中点．若直线1A D 与EF 所成角的余弦值为

3

9

，则(AB = )

A ．1

B ．2

C ．2

D ．4

解：几何体111ABC A B C -由三棱柱截得，故11//AA CC ， 因为1CC ⊥平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，又AB AC ⊥， 故以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设AB x =，又12AA =，111BB CC ==，2AC =，点D ，E ，F 分别是棱11B C ，11AC ，1BB 的中点，

所以11131(0,0,2),(0,1,),(,0,),(,0,1),(0,2,1),(,1,1)222x

A E F x

B x

C

D ，

故1(,1,1),(,1,1)2

x

A D EF x =-=--，

因为直线1A D 与EF 3， 所以2

11221|11|||32

|cos ,|||||

()222

x A D EF A D EF A D EF x

x -+⋅<>=

=

=

+⋅+， 解得1x =， 所以1AB =． 故选：A ．

4．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ⊥，6AB =，22PA =，

PAB PAC ∠=∠，三棱锥P ABC -的体积为31+，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为(

)

A ．36π

B ．32π

C ．24π

D ．16π

解：设P 在底面上的投影为Q ，过A 作AD BC ⊥，垂足为D ， 因为ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ⊥，6AB = 所以1

6632

ABC S ∆==，

因为三棱锥P ABC -的体积1

3313

V PQ =⨯，

所以13PQ = 因为PAB PAC ∠=∠，

所以Q 在AD 上，且3AD =

因为2228(13)31AQ PA PQ =-=-+=-， 1DQ AD AQ =-=，

过D 作DG ⊥平面ABC ，过P 作PG DG ⊥，垂足为G ， 则球心O 在DG 上，设OD x =，则31GO x =--， 所以2222222R OB OD BD OG GP OP ==+=+=， 所以223(31)1x x +=+-+， 解得1x =，2R =，

则三棱锥P ABC -外接球的表面积2416S R ππ==． 故选：D ．

5．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段AD 上，（点P 异于A 、D 两点），线段1DD 的中点为Q ，若平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP 长度的取值范围为( ) A ．(0，1]3

B ．1

(2

，1]

C ．1

[3

，1)

D ．(0，1

]2

解：如图，设平面BPQ 与直线1CC 交于点E ，

因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以平面11//ADD A 平面11BCC B ， 而平面BPQ ⋂平面11ADD A PQ =，平面BPQ ⋂平面11BCC B BE =， 所以//PQ BE ，则PDQ BCE ∆∆∽，所以

PD BC

DQ CE

=，