内蒙古包头市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

包头一中2021--2022学年第一学期期中考试试题
高二理科数学
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）
1、命题“ 2,210x x R x ∀∈+-<” 的否定是（ ） A ．2,210x x R x ∀∈+-≥ B ．2,210x x R x ∃∈+-< C ．2,210x x R x ∃∈+-≥ D ．2,210x x R x ∃∈+->
2、已知双曲线22
1259
x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离
为18，N 为2MF 中点，O 为坐标原点，则|NO |等于
（ ）
A.23
B.8
C.2
D.4 3、设x x x f ln )(=，若==m m f 则,2)('（ ） A ． 2e B ．e C.
ln 2
2
D ．ln 2
4、“41<<m ”是“方程
1412
2=-+-m
y m x 表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、与双曲线
22
132
x y
-=有共同的渐近线，且经过点(3,25)A -的双曲线的方程为（ ）A ．2
2
11612y x -= B ．2
2
214y x -= C ．2
2
11827y x -= D ．2
2
164
x y -=
6、假如命题“)q p ∧⌝（”是真命题，则（ ）
A ．命题p 、q 均为假命题
B ．命题p 、q 中至少有一个是真命题
C ．命题p 、q 均为真命题
D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题
7、若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程式为x y 2±=，则该双曲线的离心率
为（ ）A ．3或
26 B ．2
6或3 C ．3 D ．3 8、已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为23，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点
的直线l (斜率不为零)与椭圆C 交于,A B 两点，12,F F 为椭圆的左、右焦点，则四边形12AF BF 的周长为（ ）A.4 B.43 C.8 D.83
9、函数x cx x b ax x f +-+=24cos )( 满足==-)1(',2)1('f f 则（ ） A. - 2 B 、 2 C 、 0 D 、 1
10、、已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，直线)1(3-=x y 与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点．若
FB m AF =，则m 的值为（ ）A ．3 B ．
2
3
C ．2
D ．3 11、已知双曲线1C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲
线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ） （A ）2833x y =
（B ）2163
3
x y = （C ）28x y = （D ）216x y = 12、在椭圆22
142
x y +
=上有一点P ，21,F F 是椭圆的左、右焦点，12F PF ∆为直角三角形，则这样的P 点有（ ）A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、以双曲线x 24
－y 2
12
＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
14、已知函数x x f 2sin )(=，则=)3
('π
f ____________。

15、右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后（水足够深），水面宽 米。

16.如图，21,F F 是椭圆1C 与双曲线2C ：1
3
22
=-y x 的公共焦点，B
A ,分别是1C ，2C 在其次、四象限的公共点。

若四边形21BF AF 为矩形，则1C 的离心率是
________________。

三、解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分）
17、（10分）若动点P 在曲线122
+=x y 上移动，求点P 与)1,0(-Q 连线段中点M 的轨迹方程，并写出轨迹的焦点坐标。

18、（12分）已知抛物线x y 42=上二点P 、Q 。

若∆OPQ （O 为原点）恰为等边三角形。

求此三角形面积。

19、（12分）直三棱柱111C B A -ABC 中，D 是BC 中点。

（1）求证：C A 1∥平面D AB 1；
（2）若AC AB AA ==1，AB ⊥AC ，求异面直线C A 1与AD 所成的角的大小。

20、如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60 ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点．
（1）证明：AE PD ⊥；
（2）若2,2AB PA ==，求二面角E AF C --的余弦值．
21、（12分）已知椭圆C 的两焦点分别为)0,6(),0,6(21F F - ，长轴长为6． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知过点()0,2且斜率为1的直线交椭圆C 与A B 、两点，求OAB ∆的面积． 22、已知动点M(x,y)到直线l :x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 是否存在过点N 的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点. 使得以AB 为直径的圆恰过原点。

假如存在，求出直线m 的方程；假如不存在，说明理由。

包头一中2021--2022学年第一学期期中考试试题
高二理科数学 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C D B B C D A C C D D C
13、112
162
2=+y x 14、1- 15、24 16、552
17、设12,2),(),,(0000+==x y x x y x M y x P 则有， 所以1)2(2122+⨯=+x y ，得y x 412=
，焦点坐标（16
1
0，） 18、348),34,12(),34,12(=-∆OPQ S Q P
19、（1）连结OD AB B A ，连结于交O 11，可证C A 1平行于OD ， 可证C A 1∥平面D AB 1；
（2）111111CD D A D 、，连结中点取C B ，则11D CA ∠为所求，异面直线角的大小为︒60 （向量法相应给分）
20、（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 由于E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥． 由于PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，
P
B
E
C
D
F
A
所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥．
（2）解法一：由于PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ， 则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，3sin 302EO AE =⋅=
3cos302
AO AE =⋅=， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32
sin 454
SO AO =
=
，
又SE =
在Rt
ESO △
中，cos SO ESO SE ∠=
=
解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC
PC ，的中点，所以
(000)10)0)(020)A B C D -，，，
，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫
⎪⎪⎝⎭
，，，，，，，，所以31(300)122AE AF ⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝
⎭，，，，，．设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ， 则00
AE AF ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩，，m m 因此111101
02
y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ，由于BD AC ⊥，BD PA ⊥，
PA AC A =，
所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．又(0)BD =-，，
所以2cos 5BD BD BD
⋅<>==
=
⋅，
m m m ． 由于二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为
5
． 21、（1）13
92
2=+y x ； （2）
AB 直线的方程为2y x =+②把②带入①得化简并整理得0312422=++y x
32||,6||,4
3
,3212121==-=•-=+AB x x x x x x
2AB =d O 距离到直线，6S OAB =∆
22、（1）设),(y x M ，由2
2
)1(2|4|y x x +-=-，得13
42
2=+
y x （2）明显若存在这样的直线，其斜率不为0.
假设存在这样的直线，设其方程为),(),,(,12211y x B y x A ty x += 得0,096)43(22>∆=-++ty y t 。

4
39
,43622
1221+-=⋅+-=
+t y y t t y y 1)()1)(1(212122121+++=++=⋅y y t y y t ty ty x x
若AB 为直径的圆过O ，则0,02121=⋅+⋅=•y y x x OB OA 即
05122=--t ，无实数解。

所以不存在。