安徽省宿州市高三数学第三次教学质量检查考试试题 文 新人教A版

宿州市2012届高三第三次模拟考试
数 学（文科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 复数
i i
+1 等于（ ） （A ）i 2121-- （B ）i 2
121+- （C ）i 2121- （D ）i 21
21+
（2）设集合{}06|2＜-+=x x x M ，{1|x N =≤x ≤}3，则=N M （ ）
（A ）)2,1[ （B ）]2,1[ （C ）]3,2( （D ）]3,2[ （3）命题“任意0≥x ，都有12≥x
”的否定，叙述正确的是（ ）
（A ）存在0<x ，使得12≥x
（B ）任意0<x ，使得12<x
（C ）存在0≥x ，使得12<x
（D ）存在0<x ，使得12<x
（4）把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图像的解析式是（ ）
（A ）)62sin(2π+=x y （B ）)32sin(2π
+=x y （C ）)621sin(2π+=x y （D ）)6
21sin(2π
-=x y
（5）函数x
x x f 1
log )(2-=的零点所在的区间是（ ）
（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）)3,2( （D ）)4,3(
（6）设b a ,是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中不正确．．．
的一个是（ ）
（A ）若βα⊥⊥a a ,，则βα// （B ）αα⊥⊥b a ,，则b a // （C ）若αα⊆⊥a b ,，则b a ⊥ （D ）若αα⊆b a ,//，则b a // （7）直线03=++ay x 与直线064=++y ax 平行的充要条件是（ ）
（A ）2=a （B ）2-=a （C ）2=a 或2-=a （D ）2-=a 或0=a
（8）设1
.02011=a ，20102012ln
=b ，20102011
log 3
1=c ，则a ,b ,c 的大小关系是（ ） （A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）c a b >> （D ）a c b >> （9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
（A ）2 （B ）310 （C ）6 （D ）3
22
（10）程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）
（A ）3- （B ）2
1-
（C ）31
（D ）2
第II 卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）已知⎩⎨
⎧>-≤=)
0()
1()0(sin )(x x f x x x f π，则=32
(f .
（12）已知向量)2
1
,1(),1,3(-==，若λ+与垂直，则λ等于 .
（13）双曲线
132
2=-m
y m x 的一个焦点是)2,0(，则实数m 的值是 . （14）设变量y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值
是 .
（15）定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上是增函数，给出下
列关于)(x f 的判断：
①)(x f 是周期函数； ②)(x f 关于直线1=x 对称； ③)(x f 是]1,0[上的增函数； ④)(x f 在]2,1[上是减函数；
⑤)0()2(f f =.以上命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解
第（10）题图
答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)
已知函数x x x f 2sin )3
2cos()(++
=π
.
(Ⅰ) 求函数)(x f 的最大值；
(Ⅱ) 若ABC ∆的三边c b a ,,所对的角分别为A ，B ，C ，且C 为锐角，4
1)2(
-=C f ，3=c ,3=+b a ，求ABC ∆的面积.
（17）（本小题满分12分）
某校一研究性学习小组对宿州市工薪阶层关于“楼市限购令”态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表：
进行跟踪调查，求选中的2人中至少有1人赞成“楼市限购令”的概率.
（18）（本小题满分12分）
如图，⊥AB 平面ACD ,⊥DE 平面ACD ,
︒=∠=
==90,2
1
DAC DE AB AC AD ,F 是CD 的中点. （Ⅰ）求证：/AF/平面BCE ；
（Ⅱ）求证:平面⊥BCE 平面CDE .
（19）（本小题满分12分）
0.04 0.03
0.02 0.01
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(+-=n n n a S t S (0>t )，且34a 是1a 与2
2a 的等差中项.
(Ⅰ)求t 的值及数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设n
n a n b 1
2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
（20）（本小题满分13分）
已知2)(,ln )(23+-+==x ax x x g x x x f . (Ⅰ)如果函数)(x g 在1=x 处取得极值，求a 的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求函数)(x g y =的图像在点))1(,1(--g P 处的切线方程； （Ⅲ）若不等式2)()(2+'≤x g x f 对于任意0x >恒成立，求实数a 的取值范围.
（21）（本小题满分14分）
已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过
31,2P ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知圆O :2
2
2
R y x =+，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点M ，且直线l 与圆O 相切于点N ；求||MN 的最大值．
宿州市2012届高三第三次模拟考试 数 学（文科） 参考答案
二、填空题：（11）2
3
- （12）4 （13）1- （14）7 （15）①②⑤ 三、解答题：
（16）解：（Ⅰ）2213sin
2sin 3cos
2cos )(x cox x x x f -+
-=π
π
2
1
2sin 23+-=x …3分
当222ππ-=k x 即)(4Z k k x ∈-=ππ时，函数)(x f 的最大值是2
1
3+…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
23sin 4121sin 23)2(π
==∴-=+-=C C C C f ……8分
∴C ab ab b a C ab b a c cos 22)(cos 22222--+=-+=，∴2=ab …………10分
∴2
3
sin 21=
=
∆C ab S ABC ………………………………………………………12分 （17）解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以频率分布直方图
中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01故频率分布直方图如图.
…………4分
（Ⅱ）设月收入在[15,25）内的5人分别为54321,,,,a a a a a 其中，4321,,,a a a a 为赞成者. 月收入在[65,75)内的5人分别为54321,,,,b b b b b ，其中1b 为赞成者，从月收入（单位：百元）在[15,25）,[65,75)的被调查者中各随机选取1人进行追踪调查，共有),(11b a ，),(21b a ，
),(31b a ，),(41b a ，),(51b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(42b a ，),(52b a ，),(13b a ，
),(23b a ，),(33b a ，),(43b a ，),(53b a ，),(14b a ，),(24b a ，),(34b a ，),(44b a ，),(54b a ，),(15b a ，),(25b a ，),(35b a ，),(45b a ，),(55b a .共有25种情况.其中至少有1人赞成“楼
市限购令”的情况有21种.
故选中的2人中至少有1人赞成“楼市限购令”的概率25
21
=
p …………………12分 0.04
（18）解析：（Ⅰ）取CE 的中点M ，连结MF ,MB ，在CDE ∆中，
DE MF //,DE MF 2
1
=,又因为⊥AB 面ACD ,⊥DE 面ACD .所以DE AB //且∴ AB MF //且AB MF =，∴ 四边形ABMF BM AF //, 面BCE AF ⊄，所以面BCE BM ⊂ 故BCE 平面/AF/…………6分
（Ⅱ）AD AC =，F 是CD 中点,所以CD AF ⊥, 又DE 面ACD ,所以AF DE ⊥，D DE CD = , ⊥AF 平面CDE
由（Ⅰ）知BM AF //，⊥BM 平面CDE ， ⊂BM 面BCE
故CDE BCE 平面平面⊥……………12分 （19）解：（Ⅰ）当1=n 时，)1(111+-=a S t S ，所以a 1当2≥n 时，)1(+-=n n n a S t S ①
)1(111+-=---n n n a S t S ，②
①－②，得1-⋅=n n a t a ，即t a a
n n =-1
.
故{}n a 是首项t a =1，公比等于t 的等比数列，所以n n n t t t a =⋅=-1………………4分 故22t a =，33t a =
由34a 是1a 与22a 的等差中项，可得23281a a a +=即2
3
28t t t += 因t ＞0，整理，得01282
=--t t ，即0)14)(12(=+-t t ，
解得21=
t 或41-=t （舍去），所以2
1=t ，故n n n a 21)21(==.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得n n
n n a n b 2)12(1
2⨯+=+=，
所以=n T 3×2+5×22
+7×23+…+(2n－1)×1
2
-n +（2n+1）×2n
,③
=n T 23×22+5×23+7×24+…+(2n－1)×n 2+（2n+1）12+n ,④
③－④，得=-n T 3×2+2(22
+23
+…+n
2)－(2n+1)×1
2
+n ……………8分
=6+122)12(2
12
222+⨯+--⨯-⨯
n n n =－2+2n+2－(2n+1)×12+n =－2－(2n －1)×12+n …11分 所以=n T 2+(2n －1) ×1
2+n .……………12分
（20）解：（Ⅰ）123)(2
-+='ax x x g ，由题意)(x g 在1=x 处取得极值， 将1=x 代入方程01232
=-+ax x 得a =－1. …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：123)(2--='x x x g ，2)(2
3+--=x x x x g ，1)1(=-g . ∴4)1(=-'g ，
∴点)1,1(-P 处的切线斜率4)1(=-'=g k ,
函数)(x g y =的图像在点)1,1(-P 处的切线方程为：
)1(41+=-x y ，即054=+-y x .…………8分 （Ⅲ）2)()(2+'≤x g x f .
即≤x x ln 21232
++ax x 对),0(+∞∈x 上恒成立.
可得a ≥x x x 2123ln --
对),0(+∞∈x 上恒成立. 设=)(x h x x x 2123ln --,则222)13)(1(21231)(x
x x x x x h +--=+-='. 令0)(='x h ，得3
1
,1-==x x （舍）.
当10<<x 时 , 0)(＞x h '；当1>x 时，0)(＜x h '.
∴当1=x 时，)(x h 取得最大值，2)(max -=x h ，∴a ≥－2 ∴a 的取值范围是[－2,+∞）. …………13分
（21）解：（Ⅰ）解法一：由椭圆的定义
知:
222
24,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a ，故C 的方程为13
422=+y x . …………6分 解法二： 依题意，122=-b a ①， 将点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭坐标代入得12312222
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
b a ②
由①②解得3,42
2
==b a ，故C 的方程为13
42
2=+y x . …………6分 （Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为t kx y +=，
由直线l 与圆O 相切，得2222
)1(,1|
|r k t k t r +=+=
① …………8分 由01248)43(1342222
2=-+++⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
t ktx x k t kx y y x ， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以0)124)(43(4)8(222=-+-=∆t k kt ，
得2
243k t +=②，
所以t k
k
kt x M 44342
-=+-
=. ………………………………………………………10分 由MN ON ⊥，可得
2
2
222222223434341||||||r k
k r x r y x ON OM MN M M M -++=-+=-+=-=③……12分 由①②2
2243r
r k --=⇒④，将④代入③得347127||22
2-≤--=r r MN ， 当且仅当)4,3(322∈=r
所以32||-≤MN ……………………………………………………………… 14分。