8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件ppt

1 2
2 3
4 3
2
3
解：(1)V 圆柱＝πr ·
2r＝2πr ，V 圆锥＝3·πr ·
2r＝3πr ，V 球＝3πr ，所以 V
∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2.
圆柱
(2)S 圆柱＝2πr·
2r＋2πr2＝6πr2，S 圆锥＝πr· 4r2＋r2＋πr2＝( 5＋1)πr2，S
＝4πr2，所以 S 圆柱∶S 圆锥∶S 球＝6∶( 5＋1)∶4.
以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
分析分析几何体的形状
求表面积
解 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是4,下底半
径是16,母线DC=
52 + (16-4)2 =13.故该几何体的表面积为
π(4+16)×13+π×42+π×162=532π.
反思感悟 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面
样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的对
角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得
6
(2R) =a +a +(2a) ,即 4R =6a ,所以 R= 2 a.
2
2
2
2
2π 3 2π
从而 V 半球= 3 R = 3
2
6

2
2
3
6π 3
3
4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是
________．
3
【答案】 2
4 3
4
3
3
【解析】设大球的半径为 R，则有3πR ＝2×3π×1 ，R ＝2，所以 R
3
＝ 2.
5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是
2r.
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；
(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比．
A． 3
B．3π
C．4 3
D．12π
(
)
【答案】D
【解析】∵棱长为 2 cm 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴
22＋22＋22
2
球半径 R＝
＝
3
(cm)
，
∴
球
的
表
面
积
S
＝
4π×(
3
)
＝
2
12π(cm2)．故选 D．
3.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为(
A.40π
它们的体积公式可统一如下:
(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高);
(2)V
1
锥体= Sh(S
3
(3)V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
台体= (S'+
3
为锥体的底面积,h 为锥体高);
S'S+S)h(S',S 分别为上、下底面面积,h 为台体高).
微思考
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
提示如图.
V=Sh
1
= 2 a.
6π 3
又 V 正方体=a ,因此 V 半球∶V 正方体= 2 a ∶a3= 6π∶2.
3
方法点睛 球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为
平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球
的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
当堂检测
1．直径为6的球的表面积和体积分别是
+ = 6,
( + )(-) = 12,
+ = 6,
= 4,
- = 2,
整理,得
解得
= 2.
+ = 6,
4
224π
3 4
3 4
3 3
故两球的体积之差的绝对值为 π×4 - π×2 = π(4 -2 )=
.
3
3
3
3
要点笔记因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题
圆锥
侧面积:S侧=πrl;
表面积:S=πr2+πrl
几何体 侧面展开图
圆台
底面积、侧面积、表面积
上底面面积:=πr'2;
下底面面积:=πr2;
侧面积:S侧=π(r+r')l;
表面积:S=πr2+πr'2+π(r+r')l
要点笔记运用公式时的注意事项
1.明确公式中各符号的含义.
2.S表=S侧+S底,注意所求几何体的底面个数.
2
2
探究四
简单的几何体的外接球和内切球问题
例4若棱长为2 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
(
)
A.12π B.24π C.36π D.144π
答案 B
解析 正方体外接球的球心在体对角线的中点,设半径为R,则
(2R)2=3×(2 2 )2,即4R2=24,所以球的表面积为4πR2=24π.故选B.
其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为
2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
探究二
圆柱、圆锥、圆台的体积
例2已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一
周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
.
分析将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面
B.52π
C.50π
)
212
D. 3 π
答案 B
解析 作出圆台的轴截面如图所示:
上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过D做DE垂直NC,垂足为E,则EC=6-
2=4,CD=5,故DE=3.即圆台的高为3,所以圆台的体积为
1
V= ×3×(π×22+π×62+ π × 22 × π × 62 )=52π.
∴4π=2πR,得 R=2.h= 42 -22 =2 3,
1
8 3
2
∴圆锥的体积 V=3×π×2 ×2 3 = 3 π.
探究三
球的表面积和体积
例3若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的
绝对值为
.
224π
答案
3
2
2
4π
-4π
= 48π, 即
解析 设两个球的半径分别为 R,r(R>r),则由题意得
反思感悟 解决几何体的外接球和内切球问题的关键是确定球的球心位置,
然后求半径.内切球的半径常用等体积法;简单几何体的外接球,如长方体
的外接球,根据长方体的体对角线即为外接球的直径求解,其中若长方体的
体对角线及长、宽、高分别为l,a,b,c,则l2=a2+b2+c2.
素养形成
转化与化归思想在球的接、切问题中的应用
编辑他父亲的著述《缀述》.祖暅在数学上的主要成就,就是提出了下面的
体积计算原理:“幂势既同,则积不容异”.其中幂指截面积,势指高,这一原理
用现代语言可叙述为:“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这
两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个
几何体的体积相等”.这个原理,西方叫卡瓦列里原理,由卡氏于公元1635年
2023
人教版普通高中教科书·数学
第八章
必修
第二册
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆
台、球的表面积公式及体积公式.(直观想象、数学抽象)
2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积并解
.
2
在 Rt△C'CO 中,由勾股定理得 CC'2+OC2=OC'2,
即a +
2
从而 V
2
2
2
=R
6
,所以 R= 2 a.
2
2π 3 2π
R=
半球=
3
3
因此 V 半球∶V 正方体=
6

2
3
=
6π 3
a ∶a3=
2
6π 3
a .又 V
2
6π∶2.
=a3,
正方体
(方法二)将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同
A．144π，144π
B．144π，36π
C．36π，144π
D．36π，36π
(
)
【答案】D
4 3 4π
【解析】半径 R＝3，所以 S 表＝4πR ＝36π，V＝3πR ＝ 3 ×27＝36π.
2
故选 D．
2．(2020 年辽宁学业考试)如果棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同
一个球面上，那么这个球的表面积是
及平面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即
可,基本步骤如下:
(1)得到空间几何体的平面展开图;
(2)依次求出各个平面图形的面积;
(3)将各平面图形的面积相加.
延伸探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所
得几何体的表面积.
解 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.
决简单的实际问题,理解柱体、锥体、台体的体积之间的关
系.(数学运算、逻辑推理)
3.会求组合体的表面积及体积.(数学运算、直观想象)
思维脉络
课前篇 自主预习
祖暅原理
激趣诱思
祖暅是祖冲之的儿子,是一位博学多才的数学家.唐代王孝通称他为祖暅,
阮元《畴人传》中称他为祖暅之,另字景烁.他继承家学,主要工作是修补
时,设法求出球的半径是解题的关键.
变式训练2(2021云南昆明期末)一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的
表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(
6
A. 2
3
B. 2
2
C. 2
)
1
D.2
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高h=2r,设球的半径为R,由题可知

6
S 柱=S 球,即 2πr +2πr·2r=4π·R ,解得 = 2 ,故选 A.
所围成的几何体是由两个底面半径为 3 ,高为1的圆锥组成的组合体,利用
圆锥的体积公式可得结果.
答案 2π
解析 将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲
面所围成的几何体为一个组合体,如图,该组合体由两个同底的圆锥组成,
1
两个圆锥的底面半径为 3,高为 1,体积为 2× π×( 3)2×1=2π.
本 课 结 束
在《连续不可分量几何》里提出,但这比祖冲之父子晚1 100多年.因而我
们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当.
知识点拨
知识点一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
几何体 侧面展开图
底面积、侧面积、表面积
底面积:S底=πr2;
圆柱
侧面积:S侧=2πrl;
表面积:S=2πr2+2πrl
底面积:S底=πr2;
球
6.一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比
为
.
答案 3π∶6∶π
解析 设正方体的棱长为2a,外接球半径为R,内切球半径为r,则
2R=2 3a,R= 3a,2r=2a,r=a.
所以,外接球、正方体、内切球的表面积之比为 S1∶S2∶S3=(4πR2)∶[6×(2a)2]∶
(4πr2)=[4π( 3a)2]∶(24a2)∶(4πa2)=12π∶24∶4π=3π∶6∶π.
微思考
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
提示如图所示.
微练习
(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为
面积为
,表
.
(2)如图,圆锥的底面半径为1,顶点到底面中心的距离为 3 ,则圆锥的侧面
积为
.
(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等
于
.
3
反思感悟 求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空
间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及
圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式
计算.
变式训练1用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积
为
.
8 3
答案
π
3
1
解析 半圆的弧长为2×2π×4=4π,设圆锥的底面半径为 R,高为 h,
典例在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之
比.
分析过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径
的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.
解 (方法一)作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为 R,正方体的棱长
为 a,则 CC'=a,OC=
2
V= (S'+
3
S'S+S)h
1
V= Sh
3
微练习
右图是由圆柱与圆锥构成的组合体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正
方形,上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为
.
答案 20π
解析圆柱的底面半径是2,高为4,圆锥底面半径是2,高为3,则V=π×22×4+
×π×22×3=20π.
1
3
知识点三、球的表面积和体积
1.S球=4πR2(R是球的半径)
2.V球=
4
πR3(R是球的半径)
3
微练习
已知球的表面积是16π,则该球的体积为
答案
.
32
3
解析设球的半径为 R,则由题意可知 4πR2=16π,解得 R=2.所以球的体积
4
3 32
V=3πR = 3 .
课堂篇 探究学习
探究一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求
答案 (1)24π 32π (2)2π
(3)67π
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的体积
1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)
2.V圆锥=
3.V圆台=
1 2
πr h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)
3
1
πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高).
3
名师点析棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,