材料力学7-应力状态和强度理论x

Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
应力状态和强度理论
1. 一点的应力状态
北京交通大学工程力学研究所
汪越胜
Wang Yue-Sheng
北京交通大学工程力学研究所
汪越胜
Wang Yue-Sheng
应力状态
1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute
Beijing Jiaotong University
应力状态
1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute
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拉、压杆件截面上的应力: 拉、压杆件截面上的应力:
拉、压杆件上一点的应力: 拉、压杆件上一点的应力:
A
FN
σβ
F σ= N A
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σ θ = σ cos 2θ
τ θ = σ sin ( 2θ )
汪越胜 Wang Yue-Sheng
σ
单元体
σ
σ
2
σ σα
σα τα τβ σβ
1 2
σ α = σ cos α
1 τ α = σ sin ( 2α ) 2
汪越胜 Wang Yue-Sheng
北京交通大学工程力学研究所
应力状态
1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute
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应力状态
1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute
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构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为 该点的应力状态。

可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。

根据平衡方程
∑F
n
=0
∑F
t
=0
单元体如何取？
σ θ dA − (σ x dAcosθ )cosθ = 0 τ θ dA − (σ x dAcosθ )sinθ = 0
σ θ = σ x cos θ
2
北京交通大学工程力学研究所
1 τ θ = σ x sin (2θ ) 2
汪越胜 Wang Yue-Sheng
在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面 构成的边长无穷小的六面体，每对相互平行面上 的性质相同的应力大小相等。

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1


应力状态
1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute
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例 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

P A y B C z P M x P
σx
A
σx τ yx
C
2. 平面应力状态
τ xy
σx
τzx
B
τxz
σx
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
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汪越胜
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应力状态
2.平面应力状态
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Institute of Engineering Mechanics
应力状态
σy
a y
2.平面应力状态
y
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图示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布：有一对平面上的 应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面 内。

a' d'
τ
F A a
(1) 斜截面上的应力
τ yx σx
z b a d σ x e
α
τ yx σy
d
n
α
σ
(a)
τ
A b'
d
τ
c d
σ
c'
τ xy τyx σy
τ xy
x
τ xy
c
σx
b
σx
f
τ xy
c
x
(b)
τ
σy τ yx
b a
τ
1）正应力σ 拉为正，压为负； 2）切应力τ 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负； 3）对 α 角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合 时，其值为正；反之为负。

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该应力状态则称为平面应力状态
σ τ
b
A
τ σ
τ
c
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应力状态
分离体:
2.平面应力状态
e
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应力状态
2.平面应力状态
e
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τ xydAcosα σxdAcosα
b
σ αdA ταdA
f
n
τ xydAcosα σxdAcosα
b
σ αdA ταdA
f
n
α
α
τ yxdAsinα σ y dAsinα
t
τ yxdAsinα σ y dAsinα
t
∑F
n
=0 ⇒
− (σ y dA sin α ) sin α + (τ yx dA sin α ) cos α = 0
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
σ α dA − (σ x dA cos α ) cosα + (τ xy dA cos α ) sin α
∑F = 0
t
⇒
+ (σ y dA sin α ) cos α + (τ yx dA sin α ) sin α = 0
τ α dA − (σ x dA cos α ) sin α − (τ xy dA cos α ) cosα
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
2


应力状态
2.平面应力状态
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应力状态
2.平面应力状态
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σ α dA − (σ x dA cos α ) cosα + (τ xy dA cos α ) sin α
τ α dA − (σ x dA cos α ) sin α − (τ xy dA cos α ) cosα
− (σ y dA sin α ) sin α + (τ yx dA sin α ) cos α = 0
最大/最小正应力：
+ (σ y dA sin α ) cos α + (τ yx dA sin α ) sin α = 0
任一斜截面上的应力分量：
σ max ⎫ σ x + σ y ⎛σx −σ y ⎞ 2 ± ⎜ ⎬= ⎟ + τ xy σ min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠
tan 2α 0 = −2τ xy σx −σ y
2
(τ α 0 = 0)
主应力
σα =
τα =
σx +σy
2 σx −σ y
2
+
σx −σ y
2
σmin (σ2)
(σ1)
cos 2α − τ xy sin 2α
主平面
α 0 = arctan ⎜
1 2 ⎛ −2τ xy ⎜σx −σy ⎝ ⎞ ⎟ (+90°) ⎟ ⎠
σmax
sin 2α + τ xy cos 2α
汪越胜 Wang Yue-Sheng
σmax
汪越胜 Wang Yue-Sheng
σmin
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应力状态
2.平面应力状态
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应力状态
2.平面应力状态
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最大/最小切应力：
τ max ⎫ ⎛σx −σ y ⎞ σ1 − σ 2 2 ⎬=± ⎜ ⎟ + τ xy = ± τ min ⎭ 2 ⎠ 2 ⎝
σx −σ y tan 2α1 = 2τ xy
α1 = α 0 + π
4
2
例 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。

求C点α =−30°截面 y 上的应力。

(大小相等)
F T C T F x
τ yx σ τxy
x
C
σ τxy τ yx
x
x
σ2
(a)
σ1 σ2
(b)
解：C点拉应力和切应力分别为：
与主平面夹角为45°
σ1
汪越胜
σx =
F 500 ×103 = = 63.7 MPa A π ×100 2 4
汪越胜 Wang Yue-Sheng
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Wang Yue-Sheng
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应力状态
τ xy =
2.平面应力状态
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应力状态
(2) 应力圆
σx +σy
2 σx −σ y
2.平面应力状态
σx −σy
2
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Me 7 × 106 =− = −35.7MPa π WP × 1003 16
σ
x
y
τ yx τ xy
C
σα −
x
=
cos 2α − τ xy sin 2α
斜截面上应力分量为：
σ σ ° τ τ -30 ° xy τ yx
-30
x 30° n
τα =
2
sin 2α + τ xy cos 2α
σ −30 =
o
σx + 0 σx − 0
+
τ −30
o
2 2 = 16.9MPa σ −0 = x sin 2α + τ xy cos 2α = −45.4MPa 2
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cos ( −60o ) − τ xy sin ( −60o )
两边平方后求和可得：
σx +σy ⎞ ⎛ ⎛σx −σ y ⎞ 2 2 ⎜σα − ⎟ + τα = ⎜ ⎟ + τ xy 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
圆方程为：
2
2
(x − a )2 + ( y − b )2 = R 2
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3


应力状态
2.平面应力状态
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应力状态
2.平面应力状态
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(x − a )2 + ( y − b )2 = R 2
在 σ 为水平轴、 τ 为垂直轴的坐标系下的一个圆， 其圆心坐标(a, b)为：
⎛σ x +σ y ⎞ ⎜ , 0⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
τ
⎛σx −σ y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy ⎝ 2 ⎠
2
应力圆上点的坐标（σα，τα）对应单元体斜截面上应力。

圆心一定在σ 轴上。

只要知道应力圆上的两点 （即单元体两个面上的应 力），即可确定应力圆。

O C
τ
⎛σx −σ y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy ⎝ 2 ⎠
2
(σ α , τ α )
(σ α , τ α )
半径R为：
⎛σx −σy ⎞ 2 R= ⎜ ⎟ + τ xy 2 ⎠ ⎝
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2
O C
σ
σ
σ x +σ y
2
应力圆
σ x +σ y
2
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Wang Yue-Sheng
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Wang Yue-Sheng
应力状态
应力圆的画法
2.平面应力状态
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应力状态
τ
D1 (σ x ,τ xy )
2.平面应力状态
τ
D1 (σ x ,τ xy )
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τ
E
已知σx、σy、τxy、τyx， 如右图，假定σx>σy。

a
y
2α C
D2 (σ y ,τ yx )
D1 (σ x ,τ xy )
τ yx σy
d
α
n
C
D2 (σ y ,τ yx )
σ
C
D2 (σ y ,τ yx )
σ
σ
• 在σ、τ 坐标系内按比例
确定两点：
τ xy e σx α
f
σx τxy σy τ yx
c
τ
x
D1 (σ x ,τ xy )
b
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与σ 轴交于C点。

• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。

• 从D1点按斜截面角 α的转向转动2α得到E点，该点的坐标值 即为斜截面上的应力分量值。

σ
D2 (σ y ,τ yx )
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
应力状态
OC = OB2 + B2C
ΔD2 B2C ≅ ΔD1 B1C
2.平面应力状态
τ
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应力状态
OC = OB2 + B2C
2.平面应力状态
τ
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证明：对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：
E
E
τyx
C F
B1 A1
τyx
O
A2 B2
2α 0
τxy
O
A2 B2 C F D2
τxy
σ
σ2
2
D1
ΔD2 B2C ≅ ΔD1 B1C
σ
σ2
2
D1
α
2α 0
α
B1 A1
B2 C = B1C
σy D 2 σx σ1
σy
B2 C = B1C
σx σ1
2 2
OC = OB2 + B1 B2 / 2 = σ y +
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σ x −σ y
2
=
σ x +σ y
2
⎛BB ⎞ 2 ⎛σ −σ y ⎞ 2 CD1 = ⎜ 1 2 ⎟ + B1 D1 = ⎜ x ⎟ + τ xy ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
4


应力状态
2.平面应力状态
τ E
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应力状态
2.平面应力状态
τ
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics E
τxy
σ2
O A2 B2
2
D1
τyx
C F
B1 A1
σy D 2 σx σ1
τyx
σ
O
A2 B2 C F
τxy
σ
2α 0
σ2
2
D1
α
α
2α 0
B1 A1
σy D 2
E点横坐标为：
同理可得E点的纵坐标为：
σx σ1
σ E = OF = OC + CF = OC + CE cos(2α + 2α 0 )
= OC + CE cos 2α 0cos 2α − CE sin 2α 0sin 2α
即：
τ E = EF =
σx −σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α = τ α
σE =
σx +σy
2
+
σx −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α = σ α
汪越胜 Wang Yue-Sheng
可见，E点坐标值即为α斜截面上的应力分量值。

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应力状态
σ y σ2 σ1 σx α0 τxy σ1
2.平面应力状态
A1 (σ max , 0)
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应力状态
y
30MPa
2.平面应力状态
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主平面和主应力
例 求图a所示应力状态的主应力及方向。

τ xy=40MPa
100MPa
A2 (σ min , 0)
主应力
x
主平面：剪应力τ =0的平面
σ1 ⎫ σ x + σ y ⎛σx −σ y ⎞ 2 ± ⎜ ⎬= ⎟ + τ xy σ2⎭ 2 ⎝ 2 ⎠
2
解：(1) 应力圆图解法： σ x = 100MPa τ xy = −40MPa
σ y = −30MPa τ yx = 40MPa
σ2 τ
τyx
τ
Dy A3
(a)
D1 A2 O D2
α0
2α0
A1 σ
tan 2α 0 =
− D1 B1 CB1
=
−2τ xy σx −σ y
D x (100,−40 )
2α0 A1
Dx
D y (− 30,40 )
σ
C
B1
tan α 0 =
−τ xy
σ x − σ min
=
−τ xy
按比例作出应力圆（图b）。

σ max − σ y
(b)
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应力状态
2.平面应力状态
σ 2 = −40MPa
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应力状态
(2) 解析法 ：
y
30MPa
2.平面应力状态
σ1 = σx +σy
2
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由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：
σ 1 = 110MPa 2α 0 = 30 o16'
y
30MPa
α 0 = 15o 8'
y
⎛σx −σ y ⎞ 2 + ⎜ ⎟ + τ xy = 110MPa 2 ⎠ ⎝
2
主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：
σ1 τ xy=40MPa
100MPa
τ xy=40MPa
100MPa
x
σ2 =
σx +σy
2
⎛σx −σy ⎞ 2 − ⎜ ⎟ + τ xy = −40MPa 2 ⎠ ⎝
2
σ2
x
α0
x
(a)
tan 2α 0 =
−2τ xy −2 × ( −40 ) 8 = = σ x − σ y 100 − ( −30 ) 13
o ⇒ α 0 = 15 8'
(a)
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σ1
(c)
Wang Yue-Sheng
2α 0 = 30 o16'
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜
汪越胜
Wang Yue-Sheng
5


应力状态 主 应 力 迹 线
2.平面应力状态
m q
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应力状态
2.平面应力状态
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分析简支梁截面各点的应力状态，并确定各点的主应力
拉 压 x m
dx
思考题: 如图所示，已知通过一点A处的两个平 面上的应力（单位为MPa），试求主应力和主 平面，并用单元体表示出主应力。

τ σ
σ3 σ1
北京交通大学工程力学研究所
汪越胜
Wang Yue-Sheng
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
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Institute of Engineering Mechanics
应力状态
y
3.空间应力状态
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τyx σx τxy
σy τ yz τzy
法向平行x轴的平面：
σz τ τzx xz τxyσ x
σ x , τ xy , τ xz
法向平行y轴的平面：
3. 空间应力状态
O z
τxzτzx σz τzy τ yz τyx σ y
σ y , τ yx , τ yz
x
法向平行z轴的平面：
σ z , τ zx , τ zy
在切应力的下标中，第一个表示所在平面的法向， 第二个表示应力的方向。

北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng 北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
应力状态
3.空间应力状态
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应力状态
3.空间应力状态
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Institute of Engineering Mechanics
根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个：
σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx
思考: 求任意斜截面上的力
y B y B
可以证明: 对任一应力状态一定可找到一个单元体， 其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
该单元体称为主单元体。

σ1 σ3
σ2 σ3
σ1
σx
C O z
τzy σz τxy τzx τ yz τxz τyx σ y
A
σx
C x O z
汪越胜
τzy n σz τxy τ τn τ yz zx τxz τyx σ y
σ
n
A
空间应力状态：三个主应力都不等于零； 平面应力状态：两个主应力不等于零；
x
σ2
单向应力状态：只有一个主应力不等于零。

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北京交通大学工程力学研究所
Wang Yue-Sheng
6


应力状态
y B
3.空间应力状态
y
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应力状态
3.空间应力状态
y
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由主应力状态计算任意斜截面上的应力。

σ2 σ3
A O x C B
σ n = pxl + p y m + pz n
= σ1 l 2 + σ 2 m2 + σ 3 n2
2 2 2 2 σ n + τ n = px + p y + pz2
B
n (l, m, n)
σ3
px A
x
n (l, m, n)
σ3
px A
x
σ1
C z y
py
Op
σ1 σ3
C z
σ1
σ1
py
Op
2 2 2 τ n = σ 12l 2 + σ 2 m 2 + σ 32 n 2 − σ n
z
l + m + n =1
2 2 2
σ2
B
z
σ2
σ2
∑F
x
=0
∑F
z
y
=0
∑F
τ 2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) l = n (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )
2
z
=0
σn
n
A x
m2 =
px = σ 1l
py = σ 2m
汪越胜
pz = σ 3 n
Wang Yue-Sheng
2 τ n + (σ n − σ 3 )(σ n − σ 1 ) (σ 2 − σ 3 )(σ 2 − σ 1 ) 2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) 2 n = (σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 )
O C z
汪越胜
τn
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Wang Yue-Sheng
应力状态
l2 =
2 τ n + (σn − σ 2 )(σn − σ3 ) (σ1 − σ 2 )(σ1 − σ3 )
3.空间应力状态
m2 =
2 τn + (σn − σ3 )(σn −σ1 ) (σ2 − σ3 )(σ2 −σ1 )
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应力状态
2
3.空间应力状态
2
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n2 =
2 τ n + (σn − σ1 )(σn − σ 2 ) (σ 3 − σ1 )(σ 3 − σ 2 )
max σ2 + σ3 ⎞ ⎛ ⎛ σ − σ3 ⎞ 2 2 = 2 ⎜σ n − ⎟ + τ n ≥⎜ ⎟ + l (σ 1 − σ 2 )(σ1 − σ 3 ) B 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ≥0
τ
σ
σ2 + σ3 ⎞ ⎛ ⎛ σ −σ3 ⎞ 2 2 = 2 ⎜σ n − ⎟ + τ n ≥⎜ ⎟ + l (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ≥0
σ 3 + σ1 ⎞ ⎛ ⎛ σ 3 − σ1 ⎞ 2 2 ⎜σ n − ⎟ +τn = ⎜ ⎟ + m (σ 2 − σ 3 )(σ 2 − σ 1 ) 2 ⎠ 2 ⎠ ≤⎝ ⎝
2 2
2
2
σ 3 + σ1 ⎞ ⎛ ⎛ σ 3 − σ1 ⎞ 2 2 ⎜σ n − ⎟ +τn = ⎜ ⎟ + m (σ 2 − σ 3 )(σ 2 − σ 1 ) 2 ⎠ 2 ⎠ ≤⎝ ⎝ O
σ3
2 2
2
2
τ max
A
D
≤0
σ
≤0
σ2 σ1 + σ 2 ⎞ ⎛ ⎛σ −σ2 ⎞ 2 2 = 1 ⎜σ n − ⎟ + τn ≥⎜ ⎟ + n (σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ σ 1 ≥0
σ1 + σ 2 ⎞ ⎛ ⎛σ −σ2 ⎞ 2 2 = 1 ⎜σ n − ⎟ + τ n ≥⎜ ⎟ + n (σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
2
2
τ max =
≥0
σ1 −σ 3
2
(B点)
τmax作用面与σ2平行，与σ1或σ3成45°角。

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应力状态
3.空间应力状态
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应力状态
τ
3.空间应力状态
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例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面， 最大切应力τmax及作用面。

y 20MPa 20 20MPa 40MPa 20MPa z x 40 20
图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。

(c)
D2 A B O C D1
20 20
σ
40
(b) (a)
解：由图示应力状态可知 σ z=20MPa为一主应力，则与该应 力平行的斜截面上的应力与其无关。

可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。

北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
σ3
σ1
(b)
σ 1 = 46MPa
σ 2 = 20MPa
汪越胜
σ 3 = −26MPa
Wang Yue-Sheng
北京交通大学工程力学研究所
7


应力状态
(c)
D2
3.空间应力状态
(d)
D2 A
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应力状态
解析法：
3.空间应力状态
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τ
τ
B
τ max
σ max ⎫ 1 ⎧ 46.1MPa 1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ x = ⎨ ⎬ = (σ + σ y ) ± σ min ⎭ 2 x 2 ⎩ −26.1MPa
σ
B
O C D1
σ
A B O
2α 0
C
α 0 = tan −1
1 2
−2τ x = 16.85o σx −σ y
y 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa z x
D1
σ3
σ1
σ3
σ2
σ1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。

再计算出最大切应力(=36MPa).
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
σ 1 = 46.1MPa σ 2 = 29MPa σ 3 = −26.1MPa σ −σ3 τ max = 1 = 36.1MPa
2
北京交通大学工程力学研究所
(a)
汪越胜 Wang Yue-Sheng
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Institute of Engineering Mechanics
平面应变状态
y’ y
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
x’
α
4. 关于应变状态
应变分量的坐标转换公式：
O
x
ε x′ =
γ x ′y ′
2
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
εx + ε y
2
εx −εy
2
+
εx −εy
2
cos 2α −
cos 2α
γ xy
2
sin 2α
=
sin 2α +
γ xy
2
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汪越胜
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平面应变状态
主应变及其方向：
存在相互垂直的两个方向, 切 应变为零, 正应变取极值: y’ y
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x’
tan 2α 0 = −
γ xy εx − εy
2
α0
O
2
x
5. 广义胡克定律
ε max ⎫ ε x + ε y ⎛ ε − ε y ⎞ ⎛ γ xy ⎞ ± ⎜ x ⎬= ⎟ +⎜ ⎟ ε min ⎭ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
应变圆、应变的测量…… 空间应变状态:
(主应变)
ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx
汪越胜 Wang Yue-Sheng 北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
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8


广义胡克定律
1、广义胡克定律(各向同性材料) 1）单向应力状态：
y x
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广义胡克定律
3）空间应力状态：
y
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
σ ≤ σ P 时， ε x =
横向线应变：
σ
E
σ
τ yx
ε y = −ν
σ
E
ε z = −ν
σ
E
O z
σx
τxy
σy τ yz τzy
六个应力分量:
σz τ τzx xz τxyσ x
σ x , σ y , σ z ; τ xy , τ yz , τ zx
六个应变分量:
x
2）纯剪应力状态：
τxzτzx σz τzy τ yz τyx σ y
τ ≤ τ P 时，
τx
ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx
γ xy =
τ xy
G
E G= 2(1 +ν )
γxy
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
广义胡克定律
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Institute of Engineering Mechanics
广义胡克定律
y
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Institute of Engineering Mechanics
三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
y
τyx σx τxy
τ yx σx τxy
σy τ yz τzy
ε′ = x
σz τ τzx xz τxyσ x
σx
E
σy τ yz τzy
εx =
σz τ τzx xz τxyσ x
τxzτzx σz τzy τ yz
O z
′ ε x′ = −ν
σy
τxzτzx σz τzy τ yz
O z
τyx σ y
x
′ ε x′′ = −ν
σz
E
E
τ yx σ y
x
1 σ x −ν (σ y + σ z ) E 1 ε y = [σ y −ν (σ x + σ z )] E 1 ε z = [σ z −ν (σ x + σ y )] E
[
]
切应变~切应力:
γ xy =
τ xy
G
γ yz =
τ yz
G
γ zx =
τ zx
G
1 ε x = ε ′ + ε ′′ + ε ′′′ = σ x −ν (σ y + σ z ) x x x E
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[
]
广义胡克定律(线弹性/小变形/各向同性材料)
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广义胡克定律
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
广义胡克定律
⎧ ⎪ε 1 = ⎪ ⎪ 用主应力和主应变表示： ⎨ε 2 = ⎪ ⎪ε 3 = ⎪ ⎩
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Institute of Engineering Mechanics
对平面应力状态：设σz=0，τxz=0，τyz=0，有：
εx =
1 (σ x −νσ y ) E 1 ε y = (σ y −νσ x ) E
1 [σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 )] E 1 [σ 2 − ν (σ 1 + σ 3 )] E 1 [σ 3 −ν (σ 1 + σ 2 )] E
εz = − γ xy
ν
E 1 = τ xy G
(σ
x +σ y )
1 ⎧ ⎪ ε 1 = E (σ 1 − νσ 2 ) ⎪ 1 ⎪ 平面应力状态： ⎨ ε 2 = (σ 2 − νσ 1 ) E ⎪ (σ 3 = 0) ⎪ ν ⎪ ε 3 = − E (σ 1 + σ 2 ) ⎩
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
≠0
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汪越胜
Wang Yue-Sheng
9


体积应变和应力
σ3
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Institute of Engineering Mechanics
体积应变和应力
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
单位体积的体积改变，称为体积应变，即： θ
=
ΔV V
dy dz
主单元体变形前体积：
对平面纯剪应力状态： σ 1 = −σ 3 = τ xy；σ 2 = 0 1 − 2ν (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 0 θ= E
小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。

材料的体积应变只与三个线应变有关：
σ2
dx
σ1
V = dxdydz
变形后体积：
V ′ = (1 + ε 1 )d x ⋅ (1 + ε 2 )d y ⋅ (1 + ε 3 )d z = (1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 )d x d y d z
θ=
1 − 2ν (σ x + σ y + σ z ) = 1 −E2ν (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) E
(体积应力，第一不变量)
θ = (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) =
1 − 2ν (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) E
Wang Yue-Sheng
σm =
σ1 + σ 2 + σ 3
3
=
σx +σy +σz
3
K=
E 3(1 − 2ν )
(平均应力/静水压力)
(体积弹性摸量)
任一点处的体积应变与三主应力之和成正比!
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜
σ m = Kθ
K ≥ 0 ⇒ ν ≤ 0.5
汪越胜
（ “=”: 不可压）
Wang Yue-Sheng
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广义胡克定律 例1
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广义胡克定律 例1
联立两式可解得：
σ1 =
σ3 =
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已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为 ε 1=240×10-6 ， ε 3=–160×10-6 。

材 料 的 弹 性 模 量 E =210GPa，泊松比 ν =0.3。

求该点处的主应力值 数，并求另一应变ε2的数值和方向。

解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
E 210 × 109 ε + νε 3 ) = ( 240 − 0.3 × 160 ) × 10−6 = 44.3MPa 2 ( 1 1 −ν 1 − 0.32
E 210 × 109 (ε 3 + νε1 ) = ( −160 + 0.3 × 240 ) × 10−6 = −20.3MPa 1 −ν 2 1 − 0.32
σ2 = 0
即为平面应力状态，有
主应变ε2为：
ε2 = − ν
E
(σ 1 + σ 3 ) = −
ε1 =
1 (σ 1 −νσ 3 ) E
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ε3 =
汪越胜
1 (σ 3 −νσ 1 ) E
Wang Yue-Sheng
0.3 ( 44.3 − 20.3) × 106 = −34.3 × 10−6 210 × 109
其方向必与ε1和ε3垂直，沿构件表面的法线方向。

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广义胡克定律 例2
20 100 50
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广义胡克定律 例2
40 100 60
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求图示各应力状态下的体积应变。

因为： σ 1 + σ 2 + σ 3 = 70MPa
因为： σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0 所以：
(a)
40 80 50
1 − 2ν 所以： θ a = × 70MPa E
因为： σ 1 + σ 2 + σ 3 = 70MPa
θc = 0
σ
(c)
σ=τ τ σ=τ
因为： σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0 所以：
(b)
1 − 2ν × 70MPa E 可见： θ a = θ b
所以： θ b =
汪越胜 Wang Yue-Sheng
θd = 0
(d)
可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。

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10


北京交通大学工程力学研究所
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边长a =0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a 所示。

已知铜的弹性模量E =100GPa ，泊松比ν=0.34。

当受到合力F =300kN 的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切
应力。

解：铜块应力状态如图b 所示，横截面上的压应力为：
σy
σx
σz
(b)
y
x
z
(a)
F a
a
a
广义胡克定律例3
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()[]
01
=+−=
z y x x E σσνσε()[]
1
=+−=x y z z E
σσνσε联立解得：
()MPa 5.15112
−=−+=
=y z x σνννσσMPa 30−=−
=A
F
y σ受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力:
广义胡克定律例3
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7.25MPa
2
3
1max =−=
σστ利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：
则铜块的主应力为：
MPa
30MPa 5.15321−=−==σσσ，由此可得其体应变为：
()43211095.121−×−=++−=σσσν
θE
广义胡克定律例3
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已知图示简支梁C 点45°方向的线应变ε，材料的弹性模量为E ，横向变形系数为ν, 求载荷F 。

l /3
2l /3F
C
45°
b
h
广义胡克定律例4
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l /3
2l /3F
C
45°
b
解：C 点的应力状态为纯剪应力状态。

广义胡克定律例4
τ
C
45°
σ3=−τ
σ1=τ
τ
σστσ−===3210，，()()()τντντνσσεεE
E E +=−−=−=
=111
3145o
bh
F bh F bh F S 23/2323===
τ⇒ν
ε
+=
12bhE F 北京交通大学工程力学研究所
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图示圆截面杆，已知d =100mm, E =200GPa,
ν=0.3, . 求F 、M 。

0
,P
F M
A W εστ=
=0E
σ
ε=
解：取单元体
6456010400ε,10500ε0
0−−×=×=F F
M M
σ
τ
广义胡克定律例5
0785kN
F EA ε==
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o
4501[()()]
2
211[
(1)]2
1(1)[
(1)]2P
E E E M
E W σσ
ετντν
σντνεν=
+−−−=++−=++o 0451() 6.79kNm 12
P EW M νεεν−=
−=+σ
τ
广义胡克定律例5
旋转45o 利用广义胡克定律
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6. 应变能
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V
V v d d ε
ε=应变能密度—单位体积的应变能：1、单向应力状态
2
2
22121d d ε
σσεεεE
E V V v ====应变能密度
2、三向应力状态
应变能与加载方式/次序无关, 设定比例加载：主单元体各面上的应力按同一比例增加直至最终值。

d z
d y
d x
σ
σ
d z d y
d x
σ2
σ1
σ3
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()()()()()()112233111
d d d d dzd d d d d 222
V y z x x y x y z εσεσεσε=
⋅+⋅+⋅每一主应力仅仅在其对应的主应变上做功，而在与其它主应力对应的主应变上不做功：
应变能密度
()1122331
d d d 2
x y z σεσεσε=++()3322112
1
d d εσεσεσεε++==
V V v 应变能密度为：
d V
d z d y
d x
σ2
σ1
σ3
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Institute of Engineering Mechanics
广义虎克定律:
()[]()[]()[]⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+−=+−=+−=213331223211111σσυσεσσυσεσσυσεE E E
()[]
313221232221221σσσσσσνσσσε++−++=E
v 应变能密度
()zx zx yz yz xy xy z z y y x x v γτγτγτεσεσεσε+++++=2
1
对一般空间应力状态：
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()m 1231
3
σσσσ=
++3、体积改变能和畸变能=
+
主单元体上主应力的分解:
平均应力：
应变能密度
(仅有体积改变)(仅有形状改变)
v ε
V
v d
v =
+
1
σ2
σ3
σσm
σm
σm
σ2−σm =σ2'
σ1−σm =σ1
'σ3−σm =σ3
'(体积改变能密度)(畸变能密度)
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体积改变能密度:
()m m m m m 112E E
ν
εσνσσσ−=
⎡−+⎤=⎣⎦m m m m m m
111
222
V v σεσεσε=++()()
2
2m m m 123312312226V v E E
ννσεσσσσ−−===++应变能密度
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()[]()[]()[]⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
′+′−′=′′+′−′=′′+′−′=′21333122
3211
111σσνσεσσνσεσσνσεE E E 332211d 2
1
2121εσεσεσ′′+′′+′′=v ()()()[]
2
31232221d 61σσσσσσν
−+−+−+=
E
v 应变能密度
畸变能密度:
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应变能密度
4、E, G, ν的关系
τ纯剪切状态的应变能密度: 2
2v G
ετ
=σ
σ=τ
σ=τ纯剪切状态的主应力:
()[]
313221232221221
σσσσσσνσσσε++−++=
E
v τ
σστσ−===3210，，2(1)E τν+=()
ν+=12E G 北京交通大学工程力学研究所
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回顾
1、空间应力状态的概念
最大剪应力2
3
1max σστ−=
2、广义胡克定律
()[]()[]()[]⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+−=+−=+−=213331223211111σσνσεσσνσεσσνσεE E E 主应力
三向应力圆
σ
τ
O
σ3
σ2
σ1
σmax
B
D
A
τm a x
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()()
()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+−=−=−=21312221111σσυενσσενσσεE E E
平面应力状态：3、各向同性材料的体积应变
()z y x E
σσσν
θ++−=21回顾
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4、空间应力状态下的应变能密度
()[]
313221232221221
σσσσσσνσσσε++−++=
E
v 畸变能密度:
()()()[]
2
31232221d 61σσσσσσν
−+−+−+=
E
v ()2
321621σσσν
++−=
E
v V 体积改变能密度:
回顾
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7. 强度理论
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σ
σ
max []
σσ≤1）单向应力状态：
塑性屈服：[]s
n
σσ=脆性断裂：
σs 和σb 可由实验测得,
n 为安全系数。

强度理论
[]b
n
σσ=
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max []
ττ≤1）纯剪应力状态：
塑性屈服：[]s
n
ττ=脆性断裂：
τs 和τb 可由实验测得,
n 为安全系数。

强度理论
[]b
n
ττ=
τ
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]
[max ττ≤3）复杂应力状态
不能分别用上述公式来建立强度条件，因为σ与τ之间会相互影响。

]
[max σσ≤?
强度理论
τ
σ实验→推理→假说→失效原因→强度条件
简单应力状态的实验结果→复杂应力状态的强度条件
强度理论
北京交通大学工程力学研究所
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•塑性屈服型：4）材料主要的破坏形式（常温、静载）
•脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭转等；
低碳钢：三向拉应力状态。

低碳钢：拉伸、扭转等；
铸铁：三向压缩应力状态。

例如：例如：控制强度的力学参量：应力、应变、应变能密度
强度理论
max σ脆性断裂：max
ε塑性断裂：max
τd
v 北京交通大学工程力学研究所
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1b
σσ=强度条件：b
1[]
n σσσ≤
=1）最大拉应力理论(第一强度理论)
假设最大拉应力σ1是引起材料脆性断裂的因素。

不论在什么应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力σ1达到极限应力σb ，材料就发生脆性断裂，即：a) 与σ2、σ3无关；
b) 应力σb 可用单向拉伸试验来确定。

强度理论—四个常用的强度理论
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实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与
该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。

存在问题：没有考虑σ2、σ3对脆断的影响; 无法用于没有拉应力的状态(如石料单压时的纵向开裂)。

b 1[]
n σσσ≤
=强度理论—四个常用的强度理论北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-Sheng
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假设最大伸长线应变ε1是引起断裂的主要因素，
不论在什么应力状态下，只要最大伸长线应变ε1达到极限值εu ，材料就发生断裂，即：
1u
εε=εu 由单向拉伸测定：b
u E
σε=
2）最大伸长线应变理论(第二强度理论)因此有：
()123b σνσσσ−+=强度条件为：()b
123[]
n σσνσσσ−+≤
=()()32111
σσνσε+−=E
因为：
强度理论—四个常用的强度理论北京交通大学工程力学研究所
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实验验证：
a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝；
b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；c) 对铸铁拉-压二向应力状态偏于安全，但可用。

()b
123[]
n
σσνσσσ−+≤
=强度理论—四个常用的强度理论北京交通大学工程力学研究所汪越胜
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2
3
1max σστ−=
对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由
45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力τu 可由单拉时的屈服应力求得，即：
u 2
s
στ=3）最大切应力理论(第三强度理论)
max u ττ=假设最大切应力τmax 是引起材料塑性屈服的因素，
即无论什么应力状态, 只要：
, 材料就屈服.]
[31σσσσ=≤
−n
s
强度理论—四个常用的强度理论北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-Sheng
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实验验证：
b) 二向应力状态基本符合，偏于安全。

b) 仅适用于拉压性能相同的材料。

a) 低碳钢单拉(压)与45°滑移线吻合；
存在问题：
a)没考虑σ2对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；
]
[31σσσσ=≤
−n
s
强度理论—四个常用的强度理论北京交通大学工程力学研究所
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假设畸变能密度v d 是引起材料塑性屈服的因素，
即无论什么应力状态, 只要：
, 材料就屈服.()d d u v v =s σσ=10
32==σσ4）畸变能密度理论(第四强度理论)
单拉屈服时有：()d u v 可通过单拉试验来确定。

()()2d u
126s v E
ν
σ+=
()()()[]
2
31232221d 61σσσσσσν−+−+−+=E
v 强度理论—四个常用的强度理论()()()[]
s σσσσσσσ=−+−+−2312322212
1。