第十二讲多元正态分布的参数估计与检验

三、均值的检验
（一） 协差阵V已知时，均值 的检验
设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正态总
体 N p( ,V )的简单样本，其中V 已知。考虑假设
检验问题
H0： 0，H1： 0
令 D n( X 0 )TV 1( X 0 ), 则可以证明当
H0 成立时，即 0时， D～ 2( p)
时拒绝 H0 ，否则接受H0 ，即拒绝域为
W F : F F1 ( p,n p)
（三） 两个正态总体均值相等的检验 设 X1, X 2 ,, X n1 (n1 p) 是来自多元正态总
体N p (1,V )的简单样本，Y1,Y2 ,,Yn2 (n2 p)是来 自多元正态总 N p(2 ,V ) 的简单样本，且两个样本
其中Vˆ
n1
1 n2
2 (S1
S2 )是协方差阵V
的估
计量。
可以证明当 H0成立时， 即1 2时，
F ～ F ( p, n1 n2 p 1)
而当
H
不成立时，
0
F
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ，拒绝域为
W F : F F1 ( p, n1 n2 p 1)
计。为简单计，仅考虑V 0 的情形。
设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正态总
体 N p( ,V )的简单样本，令
1 n
X n k1 X k
——样本均值向量
n
S ( Xk X )( Xk X )T —样本离差阵
k 1
定理18.1 设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正
（6）设X ～ N p(,V )，则 rank(V ) m的充要条
件是存在 m p 矩阵 B (BBT V )使得
X BY
其中Y ～ Nm (0, Im )。
证明 充分性由性质3立得。下证必要性。
由于 V 是秩 m为的非负定阵，则必存在正
交矩阵 U 使得
1
0
0
0
U TVU
态总体 N p( ,V )的简单样本，且V 0，则 X 是 的极大似然估计， 1 S 是V的极大似然估计。
n 定理18.2 设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正
态总体 N p( ,V )的简单样本，且V 0，则 X 是 的一致最小方差无偏估计， 1 S是V 的一致
n1 最小方差无偏估计。
n1 n2
而当
H
不成立时，
0
D
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ，当
D
n1n2 n1 n2
(X
Y
)T V
1( X
Y
)
2 1
(
p)
时拒绝 H0 ，否则接受H0 ，即拒绝域为
W
D
:
D
2 1
(
p)
（2）V 未知
检验统计量
F n1n2(n1 n2 p 1) ( X Y )TVˆ 1( X Y ) p(n1 n2 )(n1 n2 2)
一、多元正态分布
定义 如果 p维随机向量 (随机变量)
X ( X1, X2 ,, X p )T
(联合)概率密度函数为
f
( x1,
x2 ,,
xp
)
(2
1
p
)2 |V
1
|2
exp
1(X 2
)T V
1( X
)
则称随机向量 X为 p维正态随机向量，其中
称为均值向量，V 为协方差矩阵(协差阵)，且
V 0. 对于一般情形V 0, 仍可定义多维正
而当
H
不成立时，
0
D
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ，当
D
n( X
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0 )TV
1( X
0 )
2 1
(
p)
时拒绝 H0 ，否则接受H0 ，即拒绝域为
W
D
:
D
2 1
(
p)
（二） 协差阵V未知时，均值 的检验
设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正态总
体 N p( ,V )的简单样本，其中V 未知。考虑假设
1
2V
1
2(X
)
(V
1
2(X
))T
(V
1
2(
X
))
令Y
V
1
2(X
),
则 Y TY , 且Y～N p (0, I p ).
由性质3知 Y 的每个分量 Yi服从标准正态分布，
且相互独立， 故 2 分布的定义知 Y TY ～ 2( p).
二、参数的估计
在此给出多元正态分布的参数 和 V的估
X
U
1
2
0
I
0
pm
Z
U
1
2
0
Y
.
若记
B
U
1
2
,
它是 p m 矩阵，即有
0
X BY
（7） 若 X ～ N p(,V ), 且 |V | 0， 则
( X )TV 1( X ) ～ 2( p).
证明
由
|V
|
0
可知
V 是正定矩阵，
所以 V
1 2
存在且为对称矩阵， 这样
(X
)TV
态随机向量， 记为X ～ N p(,V )。 当 V 0时，
X有前面的密度表示，而当 |V | 0 时，X 的分 布是退化的正态分布。
多元正态分布的性质：
（1） p 维正态分布由其均值向量和协方差阵唯 一确定。
（2） 对于任一 p 维向量及p 阶非负定矩阵V ，
必存在 p 维正态随机向量X ～ N p(,V )。 （3） 设 X ～ N p(,V )，A 是 m p 常数矩阵，b
是m 维向量， 若令Y AX b, 则
Y ～N p( A b, AVAT ).
（4） X为 p 维正态随机向量的充要条件为对任
一 p维向量c， cT X 是一维正态随机变量。
（5）
设X
(
X
T 1
,
X
T 2
)T 为多维正态随机向量，
则
X
1与
X
互不相关的充要条件是
2
X
与
1
X2
相互独立。
注： 若 Cov( X ,Y ) 0，则称X与Y互不相关。
0
0
m
0
0 0
0
0
0 0 0 0
其中 i 0,i 1,,m。
1
令
0
0
2
0
0
,
则有
0 0 m
1 2
0
I
0
pm
U
TVU
0
1 2
I
0
pm
Im 0
0 D. 0
令
Z
Y W
1
2 0
I
0
pm
U T
(X
)
则由性质3知 Z～ N p (0, D)，且Y～ Nm (0, Im ), 由上式可得
相互独立，协方差阵V 0 。考虑假设检验问题
H0：1 2，H1：1 2
根据协方差阵V 已知和未知分两种情形：
（1）V 已知
检验统计量
D n1n2 ( X Y )TV 1( X Y )
n1 n2
可以证明当 H0成立时， 即1 2时，
D n1n2 ( X Y )TV 1( X Y ) ～ 2( p)
检验问题
H0： 0，H1： 0
令
F
n (n p
p)( X
0 )T
S 1( X
0 ),
则可以证
明当 H0 成立时，即 0时，F ～ F ( p,n p)
而当
H
不成立时，
0
F
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ，当
F
n p
(n
p)( X
0 )T
S 1( X
0 )
F1 ( p, n
p)