离散考试试卷

选择和填空：
1.P ：你努力，Q ：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 Q P →⌝；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。

2、论域D={1，2}，指定谓词P
则公式),(x y yP x ∃∀真值为 T 。

3.集合关系表示，如：
A ，
B ，
C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

4.判断真值，如：
设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真
值= 1。

5.找通路长度，如：
图 中 从v 1到v 3长度为3 的通路有（ D ）条。

A ． 0；
B ． 1；
C ． 2；
D ． 3。

6.集合闭包，如：
下列是真命题的有（ C D ） A ． }}{{}{a a ⊆；
B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；
C ． }},{{ΦΦ∈Φ；
D ． }}{{}{Φ∈Φ。

7. 找二元关系
设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 3
32⨯； D ． 2
23
⨯。

8.判断结点个数，如：
在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ A ）个4度结点。

A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4 。

9. 设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= {<1,2>,<1,3>,<2,1>} ；A 上既是对称的又是反对称的关系R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 。

10. 根据条件列举出集合
设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>} （列举法）。

R 的关系矩阵M R = ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛00000
11111110001111111111。

11. n 个结点的无向完全图K n 的边数为 )
1(21
-n n ，欧拉图的充要条件是
图中无奇度结点且连通。

12.判断关系图的性质（自反性、对称型、传递性、反自反、反传递），如： 设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
则R 具有（ D ）性质。

A ．自反性、对称性、传递性；
B ．反自反性、反对称性；
C ．反自反性、反对称性、传递性；
D ．自反性 。

13.判断一个图是否为欧拉图，如：
在如下各图中（ B ）欧拉图。

解答题：
1.证明“等价性”，类似于：
设R 是A 上一个二元关系，
)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个试证明若
R 是A 上一个等价关系。

证明：
（1） S 自反的
A a ∈∀，由R 自反，),(),(R a a R a a >∈<∧>∈<∴，S a a >∈∴<,
（2） S 对称的
传递
对称定义R S
a b R R b c R c a S R b c R c a S b a A
b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<⇒>∈<∈∀,),(),()
,(),(,,
（3） S 传递的
定义
传递S S
c a R R c b R b a R c e R e b R b
d R d a S
c b S b a A
c b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∈∀,),(),(),(),(),(),(,,,,
由（1）、（2）、（3）得；S 是等价关系。

2.给定R ，求r(R)、s(R)和t(R),类似于：
(1)设R={<a,b>,<b,c><c,a>},试求r(R),s(R)
解：r(R)=｛<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,a>,<b,b>,<c,c>｝;
s(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,a>,<a,c>};
t(R)=｛<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<a,a>,<c,c>,<b,a>,<b,b>,<c,b>}
(2) 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}
要求 (1)写出R 的关系矩阵和关系图。

（4分）
(2)用矩阵运算求出R 的传递闭包。

（6分）(即t(R)) 解： （1）
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=0000100001010010
R M ；
关系图
（2）
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛==000000001010
01012
R R R M M M ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛==000000000101
10102
3R R R M M M
2
3
4000000001010
0101R R R R M M M M =⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛==
,,4635R R R R M M M M == ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=+++=0000100011111111
4
32)(R R R R R t M M M M M
∴ t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c ,
d > }。

3.数理逻辑，原题：
如果考试及格，那我高兴。

若我高兴，那么我饭量增加。

我的饭量没增加，所以我考
试没有及格。

试对上述论证构造证明。

解：设P:我考试及格。

Q ：我高兴。

R ：我饭量增加。

则此论证可表示为
(P →Q)∧(Q →R)∧┐R ⇒┐P 证: 1 P →Q P 2 Q →R P 3 ┐R P 4 ┐Q T ，2，3 I 11 5 ┐P T ，1，4 I 11
4.求主析取范式和主合取范式，自己找题目
5.证明题：
空集Φ是唯一的。

（性质1：对于任何集合A ，都有Φ A。

） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则
因为Φ1是空集，则由性质1得 Φ1 Φ2 。

因为Φ2是空集，则由性质1得 Φ2 Φ1 。

所以Φ1=Φ2 。

6.半欧拉图
图10.4.5(a)是一幢房子的平面图形，前门进入一个客厅，由客厅通向4个房间。

如果要求每扇门只能进出一次，现在你由前门进去，能否通过所有的门走遍所有的房间和客厅，然后从后门走出。

7.CP规则证明
8.最小生成树和最优二叉树
9.令P(x)，L(x)，R(x, y)和E(x, y)分别表示“x是一个点”，
“x是一条直线”，“x在y上”和“x和y平行”。

请将句子“过
直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

”符号化。

(另有相
似的一道题见教材P62 T(2))
解：
(∀x)(∀y)((P(x)∧L(y)⌝∧R(x, y)) →(!∃z)(L(z)∧R(x, z)∧E(y, z))
或
(∀x)(∀y)(!∃z)((P(x)∧L(y)⌝∧R(x, y)) →(L(z)∧R(x, z)∧E(y, z))
10.“即使集合A上的关系ρ是对称且可传递的，A也未必自反的。

”
的说法正确吗？如果正确请说明理由，否则举出反例。

•解：说法正确。

•要证明该说法正确，只需证明“如果集合A上的关系ρ是对称且可传递的，则A必也是自反的。

”的说法是错误的即可。

而
证明“如果集合A上的关系ρ是对称且可传递的，则A必也是
自反的。

”的说法是错误，则只需举个反例即可。

举反例如下：•设A={a, b, c}, A上的关系ρ={<a, b>, <b, a>}，关系ρ是对称的且可传递的，但显然ρ不是自反的。

11.用真值表法证明：A→(B→A) ⇔⌝A→(A→⌝B)。

•从真值表可以看出(A→(B→A))↔(⌝A→(A⌝→B))为永真式，•因此，A→(B→A) ⇔⌝A→(A⌝→B)
12.用等值演算法求X→(Y→X)的主析取范式。

解: X→(Y→X)
⇔⌝X∨(⌝Y∨X)
⇔⌝X∨⌝Y∨X
⇔⌝X∨X∨⌝Y
⇔1∨⌝Y ⇔1
⇔m0∨m1∨m2∨m3 13.
设图G 有n 个结点，2n 条边，且存在度数为3的结点。

证明：
G 中至少有一个结点度数≥5。

证明：反证法。

假设不存在度大于或等于5的顶点。

即∀vi ∈G ，deg(vi) ≤ 4. 又因为存在度等于3的顶点，我们不妨设vk 的度等于3，即deg(vk) = 3. 则
而
≤ 4*(k-1),
≤ 4*(n-k)
所以
≤ 4*(k-1)+3+4*(n-k)
即 < 4*n ............①
另因为图G 中有2n 条边，根据定理：在无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍，即
= 2*2n = 4*n ............②
①、②矛盾，所以上面的假设是不成立的，原题得证
∑∑∑-=+==++=11
1
1
))
deg(()deg())deg(()deg(k i n
k j j
k
i
n i i
v v v v ∑-=1
1
)deg(k i i v ∑+=n k j j v 1
)deg(∑∑∑-=+==++=11
1
1
))
deg(()deg())deg(()deg(k i n
k j j
k
i
n i i
v v v v ∑=n
i i v 1
)deg(∑=n
i i v 1
)deg(
14.设A、B、C是任意集合，证明A⨯(B⋃C)=(A⨯B)⋃(A⨯C)。

证明：
设<x,y>∈A×(B∪C)。

则x∈A且y∈(B∪C)，即x∈A且y∈B或y∈C，即x∈A且y∈B或x∈A 且y∈C，即<x,y>∈A×B或<x,y>∈A×C，即<x,y>∈ (A×B)∪(A×C) 所以，A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C) ............①
又设<x,y>∈ (A×B)∪(A×C)。

则<x,y>∈A×B或<x,y>∈A×C，即x∈A且y∈B或x∈A且y∈C，即x∈A 且y∈B或y∈C，即x∈A且y∈(B∪C)，即<x,y>∈ A×(B∪C)。

所以，(A×B)∪(A×C) ⊆ A×(B∪C) ............②
综合①、②，得 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
15.下图给出了集合A={1, 2, 3, 4, 5. 6}上的关系ρ的关系图，试画出ρ4和ρ7的关系图。

ρ
解: 16.
某地有5个风景点。

若每个景点均有两条道路与其他景点相通，
问是否可经过每个景点恰好一次而游完这5处？并说明理由。

解：
将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有５个结点的无向图。

由题意，对每个结点v i ，有de g(v i)＝2（i ∈Ｎ5）。

则对任两点v i ，v j （i ，j ∈Ｎ5）均有
de g(vi )＋de g(v j)＝2＋2＝4＝5－1
根据定理：设G ＝〈V ,E 〉是有n 个结点的简单图，如果任两结点u ，
v ∈V ，均有de g(u )＋de g(v )≥n －1，则在G 中存在一条汉密尔顿路；
可知此图一定有一条汉密尔顿路，本题有解。

17.
今有a, b, c, d, e, f, g 7人，已知下列事实：a 会讲英语；
b 会讲英语和汉语；
c 会讲英语和意大利语；
d 会讲日语和汉语；
e 会讲德语和意大利语；
f 会讲法语和日语；
g 会讲法语和德语。

试问这7人如何排座位（圆桌），才能使每个人和他左右两边的人交谈？
ρ
解：根据题意，作图。

语言种类有：英语、汉语、意大利语、日语、德语、法语。

由于会讲英语的只有：a 、b 、c ，则a 、b 、c 构成K3完全 图，即图中存在边(a,b)、(a,c)、(b,c)。

由于会讲汉语的只 有：b 、d ，则图中存在边(b, d)。

由于会讲意大利语的只 有：c 、e ，因此图中存在边(c,e)。

由于会讲日语的只有：d 、 f ，因此图中存在边(d,f)。

由于会讲德语的只有：e 、g ，因 此图中存在边(e,g)。

由于会讲法语的只有：f 、g ，因此图 中存在边(f,g)。

最后在图中可以找到一条哈密尔顿回路 a →b →d →f →g →e →c →a ，该哈密尔顿回路即为本题的解。

18.
符合化下列命题，并构造推理证明：三角函数都是周期函数，
有些三角函数是连续函数，所以有些周期函数是连续函数。

解：1 符号化
P(x):x 是三角函数 Q(x):x 是周期函数 R(x):连续函数
前提：(∀x)(P(x)→Q(x)), (∃x)(P(x)∧R(x)) 结论：(∃x)(Q(x)∧R(x))
a
c b e
g
f
d
2 推理：
①∃x(P(x)∧R(x)) P
② P(c)∧R(c) ES ①
③ P(c) T ②
④ R(c) T ②
⑤∀x(P(x)→Q(x)) P
⑥ P(c)→Q(c) US ⑤
⑦ Q(c) T ③⑥
⑧ Q(c)∧R(c) T ④⑦
⑨∃x(Q(x)∧R(x)) EG ⑧。