备战中考数学压轴题专题复习——一元二次方程的综合附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建

材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.

（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？

（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1

%2

a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2

%23

a ，求a 的值.

【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】

（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；

（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】

（1）设销售A 品牌的建材x 件.

根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.

（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得

()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

令%a y =，整理这个方程，得2

1030y y -=，

解这个方程，得1230,10

y y ==

， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】

本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

2．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.

月份

用水量（吨）

水费（元）

四月

35

59.5

五月

80

151

【答案】

3．关于x 的方程()2

204

k

kx k x +++

=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；

()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存

在，求出k 的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】

()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式

0>，由此可以得到关于k 的不等

式，解不等式即可求出k 的取值范围.

()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等

于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在

()1中的取值范围内.

【详解】

解：()1依题意得2

(2)404

k

k k =+-⋅

>， 1k ∴>-，

又

0k ≠，

k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；

()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平

方根，

理由是：设方程()2

204

k

kx k x +++

=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k

x x +⎧

+=-⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩

，

又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，

21

2

k k +∴-

=， 43

k ∴=-，

由()1知，1k >-，且0k ≠，

4

3

k ∴=-不符合题意，

因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】

本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】

（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,

（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】

解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,

设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),