【精编】人教A版高中数学选修2-1课件椭圆的简单几何性质2-第二定义课件-精心整理

(x 1)2 y2 1
3答案
25 16
3.点 P 与定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线 : x 22 的
距离之比为
3:5,则点
P
的轨迹方程是__(_x__1_)_2 __.y2
3
1
解:设点 P ( x, y) . 则它到定直线
:x
22 的距离 d

25
x 22
16
( x0 c)2 y02 =
(
x0

c)2

b2

b2 x02 a2
=
c2 x02 a2
2x0c a2
=
c a
x0
a
= ex0 a = a ex0
y P(x0, y0)
F左 o F右
x
思考:
椭圆 x2 9

y2 4
1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的
动点，当 F1PF2 为钝角时，则点 P 的横坐标的取值范围
x2 y2 A. 1.
9 16
C）
x2 y2 B. 1.
25 16
C . x2 y2 1或 x2 y2 1.
x2 y2 D. 1
25 16
16 25
16 25
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴
都对称的是（ D ）
A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4

(c,0)
c
e c PF左 或 PF右
a d左
d右
e c PF左 或 PF右 a d左 d右
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
d
e c PF下 或 PF上
a d下
d上
焦点：F1(0,c)、F2 (0, c)
准线：y a2 c
e c PF下 或 PF上 a d下 d上
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义， 定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。 而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。
演示
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。 结束本课
定义 1
图形
离心率e 定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
d
焦点：F1
准线：x
(c,a02)、F2
法二:(数形结合)以 F1F2 为直径的圆交椭圆于 P1，P2
x2 y2 5
xP1

xP

xP2，而P1、P2
的坐标可由

x2 9

y2 4
1
解得xP1


3 55 ，xP2

35 5
练习:
1.点 P 与定点 F (3, 0) 的距离和它到定直线
: x 25 的
距离之比为 3:5,则点 P 的轨迹方程是_x__2____y_2_. 1 3
设a2 c2 b2 ,则方程可化成 x2 y2 a2 b2 1(a b 0).
的距离和它到定直线
l : x a2 的距离的比是常数 c
c
a
(a c 0)，求点M的轨迹。
这是椭圆的标准方程， 所以点M的轨迹是长轴、短轴长
分别为2a、2b的椭圆.
椭圆的第二定义：
椭圆是平面内一 与个定点的距离和它到一条 定直线的距离的比是常数 e c (0 e 1) a 的点的轨迹。
dH
法1
迹就是集合
P {M MF 4}, 法2 d 5 由椭圆的第二定义可知：点M
由此得
( x 4)2 y2 4 . 的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，
25 x
5 且c=4，a=5，b=3
4 将上式两边平方 , 并化简得
所以，点M的轨迹方程是 x2 y2 1. 25 9
9 x2 25 y2 225,
e为离心率，则
Y
也可以用(椭第圆二的定第义一) 定义去推导
P
（ax说22a>明bby>22：0x）01P左F1a焦c2 点 ac为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上F一1 点O ，F则2
X
|PF1|=a+ex0，|Pc F2|=a-ae2x0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
9
5 x2 1
F1PF2为钝角 1

cos F1 PF2

0，即
1

ห้องสมุดไป่ตู้
9 2(9

5x2
)

0
9
解之得 3 5 x 3 5 .
55
法二
思考:
椭圆 x2 9
y2
4
1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的
动点，当 F1 PF2 为钝角时，则点 P 的横坐标的取值范围 是____________.
平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
的比是常数
e c (0 e 1) a
的点的轨迹。
例1： 例 2:点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线l : x 25
4
的距离的比是常数 4 ,求点M的轨迹. 5
解 : 设d是点M到直线l : x 25的距离,根据题意,点M的轨 4
巩固练习
2
3、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。 2
1
4、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。 3
5、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=______5____
探究：若点M (x, y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l : x a2 的距离的比是常数 c (a c 0)，求点M的轨迹。
A1
|x|≤ b,|y|≤ a
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
ec/a
a2=b2+c2
巩固练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆
的标准方程为（
上一节,我们得到了一个结论:
已知点 P( x0 ,
y0 ) 是椭圆
x2 a2

y2 b2
1 ( a b 0 )上任
一 点 , 左 焦 点 F左 (c, 0) , 右 焦 点 F右 (c, 0) , 则
PF左 a ex0 , PF右 a ex0 ( e 是离心率)
推导: PF右
标准方程 图形
范围 顶点坐标 焦点坐标 对称性 半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
x2 y2 1(a b 0)
b2 a2 A2 y
F2 B2
B1 O x F1
|x|≤ a,|y|≤ b
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
（|PFa同1>ay|=22b理a>bx+P0:22eF）y11a0c下，2PF焦a|P2x(点Fx0 20|为=aacF-ce1，y) 0。上a其焦中e点x|0P为F1F|、2，|PP0F（2|叫x0,焦y0半）径为.椭圆上一点，则
PF2

c a2 (
ac
x0 ) a ex0
25 16
2.点 P 与定点 F (0, 3) 的距离和它到定直线 : y 25 的 3
距离之比为 3:5,则点 P 的轨迹方程是_x__2____y_2_. 1
16 25
3. 点 P 与定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线 : x 22 的 3
距离之比为 3:5,则点 P 的轨迹方程是_________.
c
（或l : y a2 ）时，对应的轨迹方程又是怎样呢 ？
c
归纳
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
由此可得：
P M

MF d

c a
,
(x c)2 y2 c
.
a2
a
x
c
将上式两边平方，并化 简，得
（a2 c2 )x2 a2 y2 a2(a2 c2 ). 若点M (x, y)与定点F (c，0)
c
a
思考上面探究问题，并回答下列问题：
（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹
（2）解答过程
（3）若点M ( x, y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l : x a2 的距离的比是常数 c (a c 0)，此时点M的
c
a
轨迹还是同一个椭圆吗 ？ （4）当定点改为F(0， c（) 或F(0，c)），定直线改为l : y a2
x 8 的距离的比为 1 ,则动点 M 的轨迹方程为(D )
(A)
x2

y2
2
1
(B) x2 y2 1
43
87
(C) x2 y2 1
16 12
(D)3x2 4y2 8x 60 =0
小结：
作业：P50-B组-1T、2T、3T 《学海导航》
即
x2 y2 1
25 9
所以,点M的轨迹是焦点在x轴，长轴、短轴长分别 为
10、6的椭圆，其轨迹方程是 x2 y2 1 25 9
继续探究
已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分别是椭圆的左、右焦 点，且
PF1 a ex0 , PF2 a ex0 。
,
3
3
PF ( x 2)2 y2 ,
依题意 PF 3 , d5
∴
( x 3)2 y2 3 ①,
x 22
5
3
方程①两边平方化简整理得 ( x 1)2 y2 1
25 16
这就是所求的轨迹方程.
制作不易 尽请参考
选做作业:1.点 M (x, y) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线
是____________.
设 P(x,y)，则| PF1 | a ex 3
5 3
x，| PF2
|
a

ex

3
5x 3
由余弦定理,有 cosF1PF2

|
PF1
|2 | PF2 |2 | F1F2 2 | PF1 | | PF2 |
|2

5 x2 1 9 2(9 5 x2)